Incoherence of a concept image and erroneous conclusions in the case of differentiability

The level of the coherence of a concept image conveys how well the cognitive structure concerning the concept is organized. This study considers the relationship between deficiencies in the coherence of the concept image and erroneous conclusions in the case of differentiability. The study is based on an interview where the student made conclusions contradictory to the formal theory of mathematics. He used an erroneous method to study the differentiability of piecewise defined functions. This method became the key factor which maintained the internal coherence of the concept image. It made it possible to build a cognitive structure whose basis was erroneous

Yhteisöllisyyttä, ongelmanratkaisua ja muita 21. vuosisadan taitoja yläkoulun ja lukion matematiikan opetukseen

Vol 7 Nro 2 (2022): LUMATIKKA-ohjelman matematiikan opetuksen teemanumero / Boostia mielekkääseen matematiikan opetukseen yläluokilla ja toisella asteellaTulevaisuudessa tarvittavissa taidoissa korostuvat useiden näkemysten mukaan sekä ajattelun taidot että yhteistyö- ja viestintätaidot. LUMATIKKA-hankkeen luokkien 7–9 ja lukion matematiikan opetukseen suunnatuilla kursseilla painotetaan niin sanottuihin 21. vuosisadan taitoihin liittyen yhteisöllistä oppimista, matemaattista kielentämistä, mallintamista ja ongelmanratkaisua. Näiden asioiden painottuessa matematiikan opetuksesta tulee vuorovaikutteista ja oppilaiden omaa ajattelua aktivoivaa. Oppilaat tarvitsevat kykyä päätellä, perustella ja havainnollistaa ajatteluaan eri tavoin. Tällöin korostuu myös formatiivisen arvioinnin ja erityisesti palautteen merkitys opetuksen osana. LUMATIKKA-täydennyshankkeen yläkoulun 7–9 kurssilla lähtökohtana on oppilaslähtöisyys ja toiminnallisuus. Lukion kurssilla tavoitteena ovat opiskelijakeskeisyys ja opiskelun mielekkyys. Tässä artikkelissa perustelemme tarkemmin näille kursseille valittujen sisältöjen merkitystä.Non peer reviewe

Verkostonalyysiä soveltamalla voidaan tutkia kuinka opettajaopiskelijat näkevät yhteydet opetttajantiedon osa-alueiden välillä

In this article we present a new approach to investigating teacher knowledge. The essay data related to Finnish future teachers' (N = 18) perceptions of the "knowledge required for teaching mathematics" were transformed into a network. We classified the knowledge topics using the Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) framework and examined the relationships between the issues raised with the aid of network analysis. According to the results, the future teachers see the six MKT domains in a hierarchical sequence. As it is not subject specific, this approach is also applicable in the investigation of teacher knowledge of other subjects. (C) 2018 The Authors. Published by Elsevier Ltd. This is an open access article under the CC BY license (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).Peer reviewe

Teachers and their Educators - Views on Contents and their Development Needs in Mathematics Teacher Education

Finland has scored well in international assessments (e.g. PISA, TIMSS), and the pressure to attain excellent scores has activated a drive toward even more effective mathematics teacher education. This article presents the results of a qualitative assessment of the mathematics teacher education provided by the University of Eastern Finland. In this study, the views held by practicing teachers (N=101) and teacher educators (N=19) are compared so that the outstanding development needs of mathematics teacher education in terms of their contents can be revealed. The data was gathered via an electronic survey and was mainly analyzed using data-driven methods. In addition, framework provided by Mathematical Knowledge for Teaching (MKT) was used to categorize the respondents’ views regarding the contents of mathematics teacher education and to develop general guidelines for the reform of mathematics teacher education. The results indicate that mathematics teacher education should include pure mathematical content (Common Content Knowledge, CCK) and mathematical content that will have been designed only for future teachers (Specialized Content Knowledge, SCK). Teacher educators and practicing teachers both held the view that the relevance of CCK studies depend on the connections between university and school mathematics. Pedagogical studies should also be reformed because practicing teachers have realized that effective teaching (Knowledge of Content and Teaching, KCT) requires knowledge about learning mathematics (Knowledge of Content and Students, KCS) that is not offered in the current educational system on a sufficiently broad basis. In this study, suggestions for developing mathematics teacher education were mostly connected to four domains of MKT: (CCK, SCK, KCT and KCS). Interestingly those domains are the same domains which has been empirically tested and better conceptualized

Matematiikan opiskelumotiivien yhteys itse valittujen tehtävien tiedonalapainotukseen

Matematiikan opiskelun motiivit määrittävät opiskelijan opiskelua. Tutkimuksessa tarkastellaan pitkän matematiikan opiskelijoiden (N=88) kokemuksia ja mieluisimman tehtävän valintaa yhtälöparin opiskeluun kehitetyistä erityyppisistä konseptuaalis- ja proseduraalispainotteisista tehtävistä. Opiskelijoiden valinnat ja niiden perusteet vaihtelivat, ja riippuivat opiskelijoiden osaamistasosta ja motiiveista pitkän matematiikan valinnalle. Kiinnostus matematiikka kohtaan oppiaineena osoittautui olevan merkittävä selittävä tekijä sen suhteen valitsevatko opiskelijat konseptuaalis- vai proseduraalispainotteisia tehtäviä mieluisimmaksi tehtäväksi. Konseptuaalispainotteisten tehtävien suosio kasvaa opintomenestyksen kasvaessa. Virheen etsimistä edellyttävä tehtävätyyppi tuo tähän poikkeuksen ja vaikuttaa hyvältä mahdollisuudelta tarkastella konseptuaalista tietoa erilaisista osaamisen kokemuksista huolimatta

KONSEPTUAALINEN JA PROSEDURAALINEN TIETO SEKÄ LUOVA PÄÄTTELY LUKION MATEMATIIKAN ENSIMMÄISEN OPINTOJAKSON HARJOITUSTEHTÄVISSÄ

Lukion matematiikassa on tapahtunut useita muutoksia liittyen muun muassa oppimateriaalien ja opiskeluvälineiden sähköistymiseen ja kaikille yhteisen opintojakson perustamiseen lukio-opintojen alkuun. Tässä tutkimuksessa selvitetään, miten näiden muutosten myötä oppikirjojen tehtävien painotukset lukiomatematiikan ensimmäisellä opintojaksolla ovat muuttuneet toisaalta konseptuaalisen ja proseduraalisen tiedon ja toisaalta matemaattisen luovuuden harjoituttamisen suhteen. Tutkimuksessa analysoitiin yhteensä 400 tehtävää vuosien 2003, 2015 ja 2019 opetussuunnitelmiin pohjautuvista ensimmäisten opintojaksojen oppikirjoista. Tulokset osoittavat, että uudistusten myötä tehtävät ovat muuttuneet selvästi konseptuaalista tietoa painottavampaan suuntaan

Luokanopettajien kokemuksia matemaattisen lahjakkuuden huomioimisesta opetuksessa

Tässä tutkimuksessa selvitettiin, onko luokanopettajilla riittävästi resursseja matemaattisesti lahjakkaiden oppilaiden kanssa toimimiseen. Lisäksi kartoitettiin sitä, miten korkeakouluopinnot ovat hyödyttäneet matemaattisesti lahjakkaiden oppilaiden tunnistamista, ja heidän kanssaan toimimista. Fenomenografisella tutkimusotteella toteutettuun kyselytutkimukseen vastasi 24 luokanopettajaa ja yksi erityisluokanopettaja. Tulosten mukaan luokanopettajilla ei pääsääntöisesti ole riittävästi resursseja matemaattisesti lahjakkaiden oppilaiden kanssa toimimiseen, eivätkä korkeakouluopinnot ole antaneet suurimmalle osalle opettajista riittävästi valmiuksia matemaattisesti lahjakkaiden oppilaiden tunnistamiseen tai heidän kanssaan toimimiseen

Finnish mathematics teacher students' skills and tendencies to use informal and formal reasoning in the case of derivative

The arguments constructed in mathematical reasoning may be either formal or informal: They may be based either on definitions, axioms and previously proven theorems or on concrete interpretations of mathematical concepts and situations. In addition, arguments may be superficial or deep. Results shared in this paper are from three different studies in which both students’ skills to produce informal and formal arguments and their tendencies to choose between informal and formal reasoning in problem solving situations were studied. The students in all these studies were Finnish high school pre-service mathematics teachers, and the data was collected by using a written test and videotaped interviews. The tasks used were about the concept of derivative. Results of the studies indicated that the students’ skills to produce informal and formal arguments were dependent on each other. The difference between the levels of these skills was not significant, but several students had a tendency to avoid the use of the formal definition of derivative, which led to difficulties in problem solving situations. However, this tendency could not be explained by the students’ inadequate skills to handle the definition of derivativ