Integro-differential models for evolutionary dynamics of populations in time-heterogeneous environments

Cette thèse porte sur l'étude qualitative de plusieurs équations paraboliques de type Lotka-Volterra issues de la biologie évolutive et de l'écologie, équations qui prennent en compte un taux de croissance périodique en temps et un phénomène de compétition non locale. Dans une première partie nous étudions d'abord la dynamique des populations phénotypiquement structurées sous l'effet des mutations et de la sélection dans des environnements qui varient périodiquement en temps, puis nous étudions l'impact d'un changement climatique sur ces populations, en considérant que les conditions environnementales varient selon une tendance linéaire, mais de manière oscillatoire. Dans les deux problèmes nous commençons par étudier le comportement en temps long des solutions. Ensuite nous utilisons une approche basée sur les équations de Hamilton-Jacobi pour l'étude asymptotique de ces solutions en temps long lorsque l'effet des mutations est petit. Nous prouvons que lorsque l'effet des mutations disparaît, la densité phénotypique de la population se concentre sur un seul trait (qui varie linéairement avec le temps dans le deuxième modèle), tandis que la taille de la population oscille périodiquement. Pour le modèle de changement climatique nous fournissons également un développement asymptotique de la taille moyenne de la population et de la vitesse critique menant à l'extinction de la population, ce qui est lié à la dérivation d'un développement asymptotique de la valeur propre de Floquet en fonction du taux de diffusion. Dans la deuxième partie, nous étudions quelques exemples particuliers de taux de croissance en donnant des solutions explicites et semi-explicites au problème, et nous présentons quelques illustrations numériques pour le modèle périodique. De plus, étant motivés par une expérience biologique, nous comparons deux populations évoluant dans des environnements différents (constants ou périodiques). En outre, nous présentons une comparaison numérique entre les modèles stochastiques et déterministes pour le phénomène de transfert horizontal des gènes. Dans un contexte Hamilton-Jacobi, nous parvenons à reproduire numériquement le sauvetage évolutif d'une petite population que nous observons dans le modèle stochastique.This thesis focuses on the qualitative study of several parabolic equations of the Lotka-Volterra type from evolutionary biology and ecology taking into account a time-periodic growth rate and a non-local competition term. In the initial part we first study the dynamics of phenotypically structured populations under the effect of mutations and selection in environments that vary periodically in time and then the impact of a climate change on such population considering environmental conditions which vary according to a linear trend, but in an oscillatory manner. In both problems we first study the long-time behaviour of the solutions. Then we use an approach based on Hamilton-Jacobi equations to study these long-time solutions asymptotically when the effect of mutations is small. We prove that when the effect of mutations vanishes, the phenotypic density of the population is concentrated on a single trait (which varies linearly over time in the second model), while the population size oscillates periodically. For the climate change model we also provide an asymptotic expansion of the mean population size and of the critical speed leading to the extinction of the population, which is closely related to the derivation of an asymptotic expansion of the Floquet eigenvalue in terms of the diffusion rate. In the second part we study some particular examples of growth rates by providing explicit and semi-explicit solutions to the problem and present some numerical illustrations for the periodic model. In addition, being motivated by a biological experiment, we compare two populations evolved in different environments (constant or periodic). In addition, we present a numerical comparison between stochastic and deterministic models modelling the horizontal gene transfer phenomenon. In a Hamilton-Jacobi context, we are able to numerically reproduce the evolutionary rescue of a small population that we observe in the stochastic model

Horizontal gene transfer: numerical comparison between stochastic and deterministic approaches

Horizontal gene Transfer (HT) denotes the transmission of genetic material between two living organisms, while the vertical transmission refers to a DNA transfer from parents to their offspring. Consistent experimental evidence report that this phenomenon plays an essential role in the evolution of certain bacterias. In particular, HT is believed to be the main instrument of developing the antibiotic resistance. In this work, we consider several models which describe this phenomenon: a stochastic jump process (individual-based) and the deterministic nonlinear integrodifferential equation obtained as a limit for large populations. We also consider a Hamilton-Jacobi equation, obtained as a limit of the deterministic model under the assumption of small mutations. The goal of this paper is to compare these models with the help of numerical simulations. More specifically, our goal is to understand to which extent the Hamilton-Jacobi model reproduces the qualitative behavior of the stochastic model and the phenomenon of evolutionary rescue in particular

Epidemic Dynamics via Wavelet Theory and Machine Learning with Applications to Covid-19

We introduce the concept of epidemic-fitted wavelets which comprise, in particular, as special cases the number I(t) of infectious individuals at time t in classical SIR models and their derivatives. We present a novel method for modelling epidemic dynamics by a model selection method using wavelet theory and, for its applications, machine learning-based curve fitting techniques. Our universal models are functions that are finite linear combinations of epidemic-fitted wavelets. We apply our method by modelling and forecasting, based on the Johns Hopkins University dataset, the spread of the current Covid-19 (SARS-CoV-2) epidemic in France, Germany, Italy and the Czech Republic, as well as in the US federal states New York and Florid

Sélection et mutation dans un environnement changeant et fluctuant

International audienceWe study the evolutionary dynamics of a phenotypically structured population in a changing environment , where the environmental conditions vary with a linear trend but in an oscillatory manner. Such phenomena can be described by parabolic Lotka-Volterra type equations with non-local competition and a time dependent growth rate. We first study the long time behavior of the solution to this problem. Next, using an approach based on Hamilton-Jacobi equations we study asymptotically such long time solutions when the effects of the mutations are small. We prove that, as the effect of the mutations vanishes, the phenotypic density of the population concentrates on a single trait which varies linearly with time, while the size of the population oscillates periodically. In contrast with the case of an environment without linear shift, such dominant trait does not have the maximal growth rate in the averaged environment and there is a cost on the growth rate due to the climate shift. We also provide an asymptotic expansion for the average size of the population and for the critical speed above which the population goes extinct, which is closely related to the derivation of an asymptotic expansion for the Floquet eigenvalue in terms of the diffusion rate. By mean of a biological example, this expansion allows to show that the fluctuations on the environment may help the population to follow the climatic shift in a better way.Nous étudions la dynamique évolutive d'une population phénotypiquement structurée dans un environnement changeant, où les conditions environnementales varient avec une tendance linéaire mais de manière oscillatoire. De tels phénomènes peuvent être décrits par des équations paraboliques de type Lotka-Volterra avec une concurrence non locale et un taux de croissance dépendant du temps. Nous étudions d'abord le comportement à long terme de la solution à ce problème. Ensuite, en utilisant une approche basée sur les équations de Hamilton-Jacobi, nous étudions asymptotiquement ces solutions à long terme lorsque les effets des mutations sont faibles. Nous prouvons qu'à mesure que l'effet des mutations disparaît, la densité phénotypique de la population se concentre sur un seul caractère qui varie linéairement dans le temps, tandis que la taille de la population oscille périodiquement. Contrairement au cas d'un environnement sans déplacement linéaire, ce trait dominant n'a pas le taux de croissance maximal dans l'environnement moyenné et il y a un coût sur le taux de croissance en raison du déplacement climatique. Nous fournissons également une expansion asymptotique pour la taille moyenne de la population et pour la vitesse critique à partir de laquelle la population disparaît, ce qui est étroitement lié à la dérivation d'une expansion asymptotique de la valeur propre du Floquet en termes de taux de diffusion. Au moyen d'un exemple biologique, cette expansion permet de montrer que les fluctuations de l'environnement peuvent aider la population à mieux suivre le changement climatique

Modèles intégro-différentiels pour la dynamique évolutive de populations dans des environnements hétérogènes en temps

This thesis focuses on the qualitative study of several parabolic equations of the Lotka-Volterra type from evolutionary biology and ecology taking into account a time-periodic growth rate and a non-local competition term. In the initial part we first study the dynamics of phenotypically structured populations under the effect of mutations and selection in environments that vary periodically in time and then the impact of a climate change on such population considering environmental conditions which vary according to a linear trend, but in an oscillatory manner. In both problems we first study the long-time behaviour of the solutions. Then we use an approach based on Hamilton-Jacobi equations to study these long-time solutions asymptotically when the effect of mutations is small. We prove that when the effect of mutations vanishes, the phenotypic density of the population is concentrated on a single trait (which varies linearly over time in the second model), while the population size oscillates periodically. For the climate change model we also provide an asymptotic expansion of the mean population size and of the critical speed leading to the extinction of the population, which is closely related to the derivation of an asymptotic expansion of the Floquet eigenvalue in terms of the diffusion rate. In the second part we study some particular examples of growth rates by providing explicit and semi-explicit solutions to the problem and present some numerical illustrations for the periodic model. In addition, being motivated by a biological experiment, we compare two populations evolved in different environments (constant or periodic). In addition, we present a numerical comparison between stochastic and deterministic models modelling the horizontal gene transfer phenomenon. In a Hamilton-Jacobi context, we are able to numerically reproduce the evolutionary rescue of a small population that we observe in the stochastic model.Cette thèse porte sur l'étude qualitative de plusieurs équations paraboliques de type Lotka-Volterra issues de la biologie évolutive et de l'écologie, équations qui prennent en compte un taux de croissance périodique en temps et un phénomène de compétition non locale. Dans une première partie nous étudions d'abord la dynamique des populations phénotypiquement structurées sous l'effet des mutations et de la sélection dans des environnements qui varient périodiquement en temps, puis nous étudions l'impact d'un changement climatique sur ces populations, en considérant que les conditions environnementales varient selon une tendance linéaire, mais de manière oscillatoire. Dans les deux problèmes nous commençons par étudier le comportement en temps long des solutions. Ensuite nous utilisons une approche basée sur les équations de Hamilton-Jacobi pour l'étude asymptotique de ces solutions en temps long lorsque l'effet des mutations est petit. Nous prouvons que lorsque l'effet des mutations disparaît, la densité phénotypique de la population se concentre sur un seul trait (qui varie linéairement avec le temps dans le deuxième modèle), tandis que la taille de la population oscille périodiquement. Pour le modèle de changement climatique nous fournissons également un développement asymptotique de la taille moyenne de la population et de la vitesse critique menant à l'extinction de la population, ce qui est lié à la dérivation d'un développement asymptotique de la valeur propre de Floquet en fonction du taux de diffusion. Dans la deuxième partie, nous étudions quelques exemples particuliers de taux de croissance en donnant des solutions explicites et semi-explicites au problème, et nous présentons quelques illustrations numériques pour le modèle périodique. De plus, étant motivés par une expérience biologique, nous comparons deux populations évoluant dans des environnements différents (constants ou périodiques). En outre, nous présentons une comparaison numérique entre les modèles stochastiques et déterministes pour le phénomène de transfert horizontal des gènes. Dans un contexte Hamilton-Jacobi, nous parvenons à reproduire numériquement le sauvetage évolutif d'une petite population que nous observons dans le modèle stochastique

Long time evolutionary dynamics of phenotypically structured populations in time periodic environments

International audienceWe study the long time behavior of a parabolic Lotka-Volterra type equation considering a time-periodic growth rate with non-local competition. Such equation describes the dynamics of a phenotypically struc-tured population under the effect of mutations and selection in a fluctuating environment. We first prove that, in long time, the solution converges to the unique periodic solution of the problem. Next, we describe this periodic solution asymptotically as the effect of the mutations vanish. Using a theory based on Hamilton-Jacobi equations with constraint, we prove that, as the effect of the mutations vanishes, the solution concentrates on a single Dirac mass, while the size of the population varies periodically in time. When the effect of the mutations are small but nonzero, we provide some formal approximations of the moments of the population's distribution. We then show, via some examples, how such results could be compared to biological experiments

Bifurcación de Hopf subcrítica para el modelo reversible no Lineal de Gray-Scott con difusión

International audienceTo investigate Hopf Bifurcation, can be made in several models, including dynamics models of reaction-diffusion. An important system of this type can be represented when the term of reaction is a reversible nonlinear model of Gray-Scott, which is the simpler consistent with chemical principles. Proposed by Gray and Scott in 1983, the model have been studied in a great form like a simple polynomial of mass action model, which has a rich dynamic. The reversible model of Gray-Scott is an expansion of original model and it is derived from a set of two reversible chemical reactions with inert product, and it's represented with two variables, but if it suppose that the product isn't inert, then the model has three dimensions, from the point of view of variables. In this work the objective was to do an analysis about the subcritical Hopf bifurcation in the reaction-diffusion system which represent the nonlinear reversible model of Gray-Scott. For this it is used the Hopf bifurcation general theory and Center Manifold theorem.La investigación de la ocurrencia de bifurcación de Hopf, se puede llevar a cabo en una infinidad de modelos, incluyendo sistemas dinámicos de tipo reacción-difusión. Un sistema importante de este tipo queda representado cuando el término de reacción está dado por un modelo reversible no lineal de Gray-Scott, que es el más simple consistente con principios químicos. Propuesto en 1983 por Gray y Scott, el modelo ha sido estudiado en gran medida como un simple modelo polinomial de acción de masa, que tiene una dinámica rica. El modelo reversible de Gray-Scott es una expansión del modelo original y está derivado del conjunto de dos reacciones químicas reversibles. El modelo original corresponde a dos reacciones irreversibles, donde el producto es inerte, y por tanto se modela con dos variables, pero si se supone que no lo sea entonces se tiene un modelo con tres dimensiones, desde el punto de vista de las variables. En este trabajo se realizó un análisis sobre la ocurrencia de bifurcación de Hopf subcrítica del sistema de reacción-difusión que representa el modelo reversible no lineal de Gray-Scott. Para este análisis se utilizó la teoría general de la bifurcación en cuestión y la correspondiente al Teorema de la Variedad Central

Horizontal gene transfer: numerical comparison between stochastic and deterministic approaches

International audienceHorizontal gene Transfer (HT) denotes the transmission of genetic material between two living organisms, while the vertical transmission refers to a DNA transfer from parents to their offspring. Consistent experimental evidence report that this phenomenon plays an essential role in the evolution of certain bacterias. In particular, HT is believed to be the main instrument of developing the antibiotic resistance. In this work, we consider several models which describe this phenomenon: a stochastic jump process (individual-based) and the deterministic nonlinear integrod-ifferential equation obtained as a limit for large populations. We also consider a Hamilton-Jacobi equation, obtained as a limit of the deterministic model under the assumption of small mutations. The goal of this paper is to compare these models with the help of numerical simulations. More specifically, our goal is to understand to which extent the Hamilton-Jacobi model reproduces the qualitative behavior of the stochastic model and the phenomenon of evolutionary rescue in particular.Le transfert horizontal de gènes (HT) est la transmission de matériel génétique entre deux organismes vivants, contrairement à la transmission verticale qui désigne le transfert d'ADN d'un parent à sa progéniture. Il est prouvé que ce phénomène joue un rôle important dans l'évolution de certaines bactéries, notamment pour le développement d'une résistance aux antibiotiques. Nous considérons ici un processus stochastique à saut individu-centré, et l'équation intégro-differentielle non linéaire obtenue comme limite pour une population de grande taille. En supposant que les mutations sont petites, après un changement de variable et un passage à la limite, nous obtenons une équation d'Hamilton Jacobi. L'objectif de ce travail est de comparer ces differents modèles à l'aide de simulations numériques, et de déterminer si l'équation d'Hamilton-Jacobi parvient à capturer les phénomènes qualitatifs du modèle stochastique, notamment le sauvetage évolutif