10 research outputs found
The role of the next-to-leading order triangle-shaped diagram in two-body hadronic decays
The next-to-leading-order contribution to the amplitude of a two-body decay
process is a triangle-shaped diagram in which the unstable state is exchanged
by the emitted particles. In this work we calculate this diagram in the
framework of a scalar quantum field theory and we estimate its role in hadronic
physics, i.e., we apply our results to the well-known scalar-isoscalar
resonances , , , ,
and the scalar-isovector resonance . It turns out
that, with the exception of the broad resonance , the
next-to-leading-order contribution is small and can be neglected.Comment: 18 pages, 6 figures, 1 tabl
Korrekturen 3. Ordnung zum SΊΊZerfall
Das Ziel dieser Bachelorarbeit war es, einen Ăberblick ĂŒber die GröĂe der, durch Einbeziehung des Loop-Level-Diagrammes entstehenden, Korrekturen zu erhalten. Die Ergebnisse sollen eingrenzen, wann diese Korrekturen wichtig oder sogar dominant sind. Der Einfluss der Korrekturen lĂ€sst sich gut mit Hilfe von g0 und g00 einschĂ€tzen. So gilt fĂŒr g0 gerade Întl = 1.33 Î, die Korrekturen sind also fĂŒr die Berechnung wichtig jedoch nicht dominant. FĂŒr g00 beginnen die Korrekturen gerade dominant gegenĂŒber den Berechnungen in erster Ordnung zu werden (es gilt hier Întl = 2 Î). Wie anhand von Tabelle 7.2 zu sehen werden die Korrekturen, abhĂ€ngig von der Massenkonfiguration, ab etwa 1.6 â 2.2mS wichtig und ab etwa 2.2 â 3.4mS dominant. FĂŒr sehr kleine Massen mΊ liegt diese Grenze natĂŒrlich niedriger, es wurde jedoch gezeigt, dass die Korrekturen selbst fĂŒr mΊ = 10â13mS erst ab etwa 0.65mS dominant sind. Praktisch dĂŒrften die Korrekturen daher nur sehr selten, wenn ĂŒberhaupt fĂŒr Werte von g < mS, eine nennenswerte Rolle spielen. Welchen Einfluss die Korrekturen bei realen ZerfallskanĂ€len haben, sollte nun anhand der ZerfĂ€lle von f0(500), f0(980), f0(1370) und f0(1500) in Pionen gezeigt werden. ZusĂ€tzlich wurde fĂŒr den Zerfall von f0(500) die Berechnung ein weiteres Mal mit endlichem (niedrigen) Cutoff durchgefĂŒhrt, um dessen Auswirkungen auf die Ergebnisse zu betrachten. Dies ist dann wichtig, wenn die beobachteten Teilchen eine endliche, rĂ€umliche Ausdehnung haben (beispielsweise wenn wie hier HadronenzerfĂ€lle betrachtet werden). FĂŒr f0(980) und f0(1500) stellen sich die Korrekturen, wie aufgrund der vorherigen Ergebnisse und des sehr kleinen VerhĂ€ltnisses von Zerfallsbreite und Masse bereits erwartet, mit 1.22% beziehungsweise 0.032% als sehr gering heraus. FĂŒr f0(1370) ist das VerhĂ€ltnis bereits deutlich gröĂer, hier sind die Korrekturen mit 7.43% bereits im hohen einstelligen Prozentbereich und damit fĂŒr genaue Rechnungen durchaus wichtig. FĂŒr f0(500) zeigt sich nun wiederum, dass die Korrekturen sehr groĂ sind, die Loop-Level-Kopplungskonstanten ist um 24.57% kleiner. FĂŒr diesen Zerfalll sollte also bereits bei einer AbschĂ€tzung das Loop-Level Diagramm einbezogen werden. Stellt man die Berechnung mit endlichem Cutoff an, so stellt sich heraus, dass sich die exakten Werte zwar durchaus verĂ€ndern, die Ănderungen sind jedoch nicht so groĂ dass die Ergebnisse drastisch abweichen. Die Kopplungskonstante wird bei dem angenommenen Cutoff Î = 0.95 GeV um 6.47% gröĂer. In allen Varitionen fallen die Korrekturen kleiner als 33% aus. Als letztes ist die Genauigkeit der hier erhaltenen Ergebnisse zu beurteilen. Theoretisch sollten die numerischen Berechnungen mit beliebiger Genauigkeit durchfĂŒhrbar sein. Bei den im Rahmen dieser Arbeit durchgefĂŒhrten Berechnungen trat jedoch das Problem auf, dass die numerischen Berechnungen des Integrals fĂŒr Winkel sehr nahe 0° beziehungsweise 180° chaotisch wurden. Die Winkelintegration wurde daher nur von â0.99999 bis 0.99999 durchgefĂŒhrt. Da das Impulsintegral bei diesen Winkeln etwa von der GröĂe 0.1 â 2 ist, abhĂ€ngig von der Massenkonfiguration, entstehen dadurch Fehler der GröĂenordnung 10â5. Die Ursache fĂŒr diesen Fehler liegt vermutlich darin begrĂŒndet, dass sich fĂŒr diese Winkel jeweils der dritte Pol auf den ersten und der vierte Pol auf den zweiten Pol verschiebt. In diesem Fall entsteht zwar an gleicher Stelle im ZĂ€hler eine Nullstelle (schaut man sich P1, P2 und P3 an, so befinden sich an diesen Stellen auch nur einfache Pole), die numerische Berechnung kann dadurch allerdings problematisch werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurde eine Genauigkeit von 4 Nachkommastellen allerdings als ausreichend betrachtet. AbschlieĂend lĂ€sst sich sagen, dass die Korrekturen in (fast) allen betrachteten FĂ€llen klein sind. In EinzelfĂ€llen können sie allerdings durchaus relevante Dimensionen erreichen, wie am f0(500) Zerfall zu sehen ist. In zukĂŒnftigen Arbeiten sollte dieses Thema also auch fĂŒr Wechselwirkungen mit Ableitungen und nicht-skalare Teilchen aufgegriffen werden