Tasks for enriching the understanding of the concept of linear span

The concept of linear span is one of the first abstract notions that students encounter in a course on Linear Algebra. Using the theoretical construct of concept image and concept definition (Tall & Vinner, 1981) along with observations about teaching and learning Linear Algebra, we present two tasks designed to enrich students' concept image regarding linear span. These tasks could be included in a problem workshop of an introductory university course on Linear Algebra. Each task is carefully created and/or selected so as to foster the ground for potential conflict factors to arise and be confronted. A preliminary evaluation shows that the tasks are well received by students and succeed in addressing certain conflicting factors

Η έννοια της γραμμικής θήκης μέσα από τα μάτια ενός πρωτοετή φοιτητή μαθηματικών

Η έννοια της γραμμικής θήκης είναι μια από τις πρώτες αφηρημένες έννοιες που συναντούν οι φοιτητές σε ένα μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται οι σκέψεις και η χρήση της έννοιας από έναν πρωτοετή φοιτητή Μαθηματικών την περίοδο μετάβασης από το εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας στο πρώτο μάθημα αφηρημένης Γραμμικής Άλγεβρας. Χρησιμοποιώντας το θεωρητικό εργαλείο εννοιακή εικόνα – εννοιακός ορισμός (Tall & Vinner, 1981) μελετάμε τα βασικά χαρακτηριστικά της εννοιακής εικόνας του φοιτητή για τη γραμμική θήκη όπως εξελίσσεται τη μεταβατική αυτή περίοδο

Αποδοτική ανάθεση πόρων σε δίκτυα 5G με τεχνικές machine learning

Η παρούσα πτυχιακή εργασία ασχολείται με την εφαρμογή της μηχανικής μάθησης στα δίκτυα 5G και συγκεκριμένα στην αποδοτική ανάθεση πόρων με μεθόδους μηχανικής μάθησης στα δίκτυα πέμπτης γενιάς. Σε πρώτο στάδιο έχουν αναπτυχθεί κάποιες εισαγωγικές έννοιες γενικότερα για τα δίκτυα. Στην συνέχεια, γίνεται μια εκτενής αναδρομή στις προηγούμενες γενιές δικτύων 1G, 2G, 3G και 4G και στην υλοποίηση των δικτύων της σημερινής γενιάς 5G. Επιπρόσθετα, γίνεται μία εισαγωγή στα δίκτυα πέμπτης γενιάς, στη σημασία των δικτύων αυτών, στις διαφορές που υπάρχουν με τα δίκτυα της προηγούμενης γενιάς 4G και στην ανάπτυξη των 5G μέσα από το πέρασμα των χρόνων. Επιπλέον, παρουσιάζονται λεπτομερώς τα χαρακτηριστικά της αρχιτεκτονικής 5G, τα πλεονεκτήματα αλλά και τα μειονεκτήματα των δικτύων 5G. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφέρονται οι βασικές τεχνολογίες που συναντάμε στα δίκτυα πέμπτης γενιάς, οι οποίες έχουν κάνει τόσο ξεχωριστά αυτά τα δίκτυα, ώστε να θεωρούνται από τις μεγαλύτερες τεχνολογικές αναπτύξεις που έχουμε ζήσει μέχρι την επόμενη. Επίσης, παρουσιάζονται οι εφαρμογές του 5G στην καθημερινότητά μας, αλλά και στον κόσμο γενικότερα, που έχουν ως αποτέλεσμα να συναντήσουμε μεγάλες αλλαγές και διευκολύνσεις τα επόμενα χρόνια. Στο έκτο κεφάλαιο υπάρχει η εισαγωγή στην μηχανική μάθηση και μία μικρή αναφορά στην τεχνητή νοημοσύνη. Παρουσιάζονται οι γενικές κατηγορίες των μεθόδων μηχανικής μάθησης και η επιρροή αυτών των μεθόδων σε βασικές τεχνολογίες του 5G, όπως βέβαια και στην κατανομή των πόρων σε αυτά τα δίκτυα. Τέλος, στο έβδομο κεφάλαιο παρουσιάζουμε λεπτομερώς έναν αλγόριθμο reinforcement learning που λύνει το σημαντικό πρόβλημα της κατανομής πόρων και αναγράφονται τα αποτελέσματα και τα συμπεράσματα αυτής της μεθόδου.The present dissertation deals with the application of machine learning in 5G networks and in particular in the efficient allocation of resources with machine learning methods in the fifth generation networks. In the first stage, some introductory concepts have been developed for networks in general. Then, there is an extensive review of the previous generation of 1G, 2G, 3G and 4G networks and the implementation of the current generation 5G networks. In addition, an introduction is made to the fifth generation networks, to the importance of these networks, to the differences that exist with the previous generation 4G networks and to the development of 5G over the years. In addition, the features of the 5G architecture, the advantages and the disadvantages of the 5G networks are presented in detail. The fourth chapter lists the basic technologies found in fifth generation networks, which have made these networks so special that the are considered one of the greatest technological developments we have experienced until the next one. Also, the application of the 5G are presented in our daily life, but also in the world in general, which have as a result to meet great changes and facilities in the coming years. In the sixth chapter there is an introduction to machine learning and a brief reference to artificial intelligence. The general categories of machine learning methods and the influence of these methods on basic 5G technologies are presented, as of course on the distribution of resources in these networks. Finally, in the seventh chapter we present in detail a reinforcement learning algorithm that solves the important problem of resource allocation and state the results and conclusion of this method

Cache-Aware Adaptive Video Streaming in 5G networks

Η τεχνολογία προσαρμοστικής ροής video μέσω HTTP έχει επικρατήσει ως ο κυρίαρχος τρόπος μετάδοσης video στο Internet. Η τεχνολογία αυτή βασίζεται στη λήψη μικρών διαδοχικών τμημάτων video από έναν server. Μία πρόκληση που όμως δεν έχει διερευνηθεί επαρκώς είναι η λήψη τμημάτων video από περισσότερους από έναν servers, με τρόπο που να εξυπηρετεί τόσο τις ανάγκες του δικτύου όσο και τη βελτίωση της Ποιότητας Εμπειρίας του χρήστη (Quality of Experience, QoE). Η συγκεκριμένη διπλωματική εργασία θα διερευνήσει αυτό το πρόβλημα, προσομοιώνοντας ένα δίκτυο με πολλαπλούς video servers και διάφορους video clients. Στη συνέχεια, θα υλοποιήσει τόσο την δυνατότητα επικοινωνίας peer-to-many στα πλαίσια της προσαρμοστικής ροής video όσο και τον αλγόριθμο επιλογής video server. Όλα αυτά θα διερευνηθούν στο περιβάλλον του Mininet, που είναι ένας δικτυακός εξομοιωτής, για να προσομοιωθεί η τεχνολογία DASH με τη βοήθεια των κόμβων του δικτύου του εξομοιωτή. Αρχικά, το βίντεο χωρίστηκε σε μικρά κομμάτια με τη βοήθεια του εργαλείου ffmpeg και στη συνέχεια, υλοποιήθηκαν πειράματα που ένας πελάτης ζητούσε το βίντεο από έναν server προσωρινής αποθήκευσης (cache server). Αν το συγκεκριμένο τμήμα του βίντεο δεν υπήρχε εκεί, τότε στελνόταν αίτημα από τον server προσωρινής αποθήκευσης σε έναν διακομιστή που περιείχε όλα τα τμήματα του βίντεο (main server). Στα πειράματα αυτά εξετάστηκε και η προστιθέμενη δικτυακή κίνηση, με τελικό συμπέρασμα ότι το περιβάλλον του Mininet προκαλεί αναπόφευκτους περιορισμούς στη περίπτωση της δικτυακής κίνησης, καθώς παρατηρήσαμε πως το κανάλι του server βάσης δεδομένων παρέμενε ανενεργό καθ’ όλη τη διάρκεια αιτημάτων από τον server προσωρινής αποθήκευσης, με αποτέλεσμα να δημιουργούνται συνθήκες μη-ρεαλιστικού δικτύου. Γι’ αυτόν τον λόγο, προβήκαμε στην υλοποίηση μιας νέας προσέγγισης, εξαλείφοντας το Mininet περιβάλλον και δουλεύοντας πάνω σε νέες τεχνικές προσθήκης δικτυακής κίνησης και τροποποιώντας την επικοινωνία των διακομιστών μεταξύ τους. Με αυτόν τον τρόπο, καταφέραμε να δείξουμε σαφέστερα τους περιορισμούς της προηγούμενης προσέγγισης αλλά και να συμπεράνουμε ότι η ύπαρξη servers προσωρινής αποθήκευσης είναι ένα χρήσιμο εργαλείο υπό όρους αύξησης της ποιότητας εμπειρίας ενός χρήστη. Η γενική τάση που παρατηρήθηκε ήταν ότι με την αύξηση του διαθέσιμου χώρου αποθήκευσης, η ποιότητα αναπαραγωγής του βίντεο ανέβαινε σε κάποιο βαθμό. Ταυτόχρονα όμως, το ποσοστό βελτίωσης αυτό, είναι άρρηκτα δεμένο με τον αλγόριθμο επιλογής κομματιών βίντεο που χρησιμοποιείται. Για ακόμα καλύτερα αποτελέσματα λοιπόν, θεωρείται αναγκαία η εύρεση της χρυσής τομής μεταξύ χωρητικότητας του χώρου προσωρινής αποθήκευσης και αλγορίθμου επιλογής κομματιών. Στην παρούσα διπλωματική παρουσιάζονται τα εξής κεφάλαια: Στο κεφάλαιο 1 αναφέρεται η ιστορική αναδρομή της τεχνολογίας των δικτύων. Στο κεφάλαιο 2 αναλύεται η τεχνολογία προσαρμοστικής ροής βίντεο μέσω HTTP. Στο κεφάλαιο 3 αναλύονται οι διαφορετικές τεχνικές προσωρινής αποθήκευσης. Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζεται η έννοια της Ποιότητας Εμπειρίας του χρήστη και η συσχέτισή της με πολλούς άλλους παράγοντες. Το κεφάλαιο 5 περιγράφεται αναλυτικά η διαδικασία στησίματος του περιβάλλοντος και τα διάφορα απαραίτητα εργαλεία για την υλοποίησή μας. Το κεφάλαιο 6 αναφέρει τα πειράματα μέσω Mininet, την τοπολογία και όλο το στήσιμο, καθώς και τους λόγους που μας οδήγησαν στην πορεία μιας διαφορετικής προσέγγισης. Στο κεφάλαιο 7 προτείνεται η διαφορετική προσέγγιση και παρουσιάζεται η μεθοδολογία και οι μετρικές. Επίσης, αναλύονται διαγράμματα που εξάχθηκαν από την ανάλυση τω μετρικών. Τέλος, το κεφάλαιο 8 αφορά τα συμπεράσματα και θέματα μελλοντικής έρευνας για βελτίωση της Ποιότητας Εμπειρίας του χρήστη περαιτέρω.Dynamic Adaptive Streaming over HTTP (DASH) has prevailed as the dominant way of video transmission over the Internet. This technology is based on receiving small sequential video segments from a server. However, one challenge that has not been adequately examined, is the obtainment of video segments from more than one server, in a way that serves both the needs of the network and the improvement of the Quality of Experience (QoE). This thesis will investigate this problem by simulating a network with multiple video servers and a video client. It will then implement both the peer-to-many communication in the context of adaptive video streaming and the video server caching algorithm based on proposed criteria that will improve the status of the network and/or the user. All of this will be explored in the environment of Mininet, which is a network emulator, in order to simulate the DASH technology with the help of the emulator network nodes. Initially, the video was split into small segments using the ffmpeg tool, and then experiments were conducted in which a client requested the video from a cache server. If the segment could not be found in the cache server, then a request was sent from the cache server to a server that contained all segments of the video (main server). In these experiments, the added traffic was also examined, by concluded to the fact that the Mininet environment causes unavoidable limitations in the case of the traffic. What we observed was that the main server channel remained inactive throughout the requests of the cache server, resulting in unrealistic network conditions. For this reason, we have explored a new approach, eliminating the Mininet environment and working on new techniques for adding web traffic and modifying the communication of the servers, regarding the requests they receive. In this way, we were able to clearly show the limitations of the previous approach but also to conclude that the existence of caching servers is a useful tool in terms of increasing the quality of experience. The general tendency was that, as the available buffer size increased, the video playback quality increased to some extent. However, at the same time this improvement is linked to the random selection algorithm. For even better results, it is considered necessary to find an appropriate caching selection algorithm in order to take full advantage of the caching technology. The following chapters presented in this thesis are: Chapter 1 mentions the historical background of the networks. Chapter 2 analyzes the Dynamic Adaptive Streaming over HTTP. Chapter 3 analyzes the caching techniques. Chapter 4 presents the concept of Quality of Experience and its correlation with many other factors. Chapter 5 describes in detail the process of setting up the environment and the various necessary tools for our implementation. Chapter 6 refers to the Mininet experiments, the topology, and the set-up, as well as the reasons that led us to a different approach. Chapter 7 proposes the different approach and presents the methodology and the metrics. Also, diagrams extracted from the analysis of the metrics are analyzed in Chapter 7. Finally, Chapter 8 summarizes the conclusions and issues of future research to improve the Quality of Experience even further

Boundary Conformal Field Theories, Limit Sets of Kleinian Groups and Holography

In this paper,based on the available mathematical works on geometry and topology of hyperbolic manifolds and discrete groups, some results of Freedman et al (hep-th/9804058) are reproduced and broadly generalized. Among many new results the possibility of extension of work of Belavin, Polyakov and Zamolodchikov to higher dimensions is investigated. Known in physical literature objections against such extension are removed and the possibility of an extension is convincingly demonstrated.Comment: 62 pages, 5 figure

Coordinates for quasi-Fuchsian punctured torus space,

We consider complex Fenchel-Nielsen coordinates on the quasi-Fuchsian space of punctured tori. These coordinates arise from a generalisation of Kra's plumbing construction and are related to earthquakes on Teichmueller space. They also allow us to interpolate between two coordinate systems on Teichmueller space, namely the classical Fuchsian space with Fenchel-Nielsen coordinates and the Maskit embedding. We also show how they relate to the pleating coordinates of Keen and Series.Comment: 28 pages. Published copy, also available at http://www.maths.warwick.ac.uk/gt/GTMon1/paper22.abs.htm