СПЕКТРАЛЬНЫЙ РАДИУС СБАЛАНСИРОВАННОГО ДВУДОЛЬНОГО ГРАФА И ЕГО ГАМИЛЬТОНОВОСТЬ

In this article, an improved lower bound for the spectral radius of a balanced bipartite graph of quite a large order giving the condition of existence of a Hamiltonian cycle in it and depending on the lower bound of the minimum degree of the graph has been obtained. В данной работе получена улучшенная нижняя оценка для спектрального радиуса сбалансированного двудольного графа достаточно большого порядка, дающая условие существования гамильтонового цикла в нем и зависящая от инварианта графа – нижней границы минимальной степени графа.

Главные собственные значения графа и его гамильтоновость

The concept of (κ,τ)-regular vertex set appeared in 2004. It was proved that the existence of many classical combinatorial structures in a graph like perfect matchings, Hamiltonian cycles, effective dominating sets, etc., can be characterized by (κ,τ)-regular sets the definition whereof is equivalent to the determination of these classical combinatorial structures. On the other hand, the determination of (κ,τ)-regular sets is closely related to the properties of the main spectrum of a graph. This paper generalizes the well-known properties of (κ,κ)-regular sets of a graph to arbitrary (κ,τ)-regular sets of graphs with an emphasis on their connection with classical combinatorial structures. We also present a recognition algorithm for the Hamiltonicity of the graph that becomes polynomial in some classes of graphs, for example, in the class of graphs with a fixed cyclomatic number.Понятие (κ,τ)-регулярного множества вершин впервые появилось в 2004 г. Оказалось, что существование многих классических комбинаторных структур в графе, таких как совершенные паросочетания, гамильтоновы циклы, эффективные доминирующие множества и др., может быть охарактеризовано с помощью (κ,τ)-регулярных множеств, определение которых эквивалентно нахождению этих классических комбинаторных структур. В свою очередь определение (κ,τ)-регулярных множеств тесно связано со свойствами главного спектра графа. В статье обобщаются известные свойства (κ,κ)-регулярных множеств графа на произвольные (κ,τ)-регулярные множества графов с акцентом на связь их с классическими комбинаторными структурами. Также приводится алгоритм распознавания гамильтоновости графа, который становится полиномиальным в некоторых классах графов, например в классе графов с фиксированным цикломатическим числом

Спектральные достаточные условия существования максимальной цепи в графе и его трассируемость

It is known that the existence of many classical combinatorial structures in a graph, such as perfect matchings, Hamiltonian cycles, effective dominating sets, etc., can be characterized using (κ,τ)-regular sets, whose determination is equivalent to the determination of these classical combinatorial structures. On the other hand, the determination of (κ,τ)regular sets is closely related to the properties of the main spectrum of a graph. We use the previously obtained generalized properties of (κ,τ)-regular sets of graphs to develop a recognition algorithm of the traceability of a graph. We also obtained new sufficient conditions for the existence of a longest simple path in a graph in terms of the spectral radius of the adjacency matrix and the signless Laplacian of the graph.Известно, что существование многих классических комбинаторных структур в графе, таких как совершенные паросочетания, гамильтоновы циклы, эффективные доминирующие множества и другие, может быть охарактеризовано с помощью (κ,τ)-регулярных множеств, определение которых эквивалентно нахождению этих классических комбинаторных структур. В свою очередь, определение (κ,τ)-регулярных множеств тесно связано со свойствами главного спектра графа. Нами используются полученные ранее обобщенные свойства (κ,τ)-регулярных множеств графов для разработки алгоритма распознавания трассируемости графа. Также получены новые достаточные условия существования максимальной простой цепи в графе в терминах спектрального радиуса матрицы смежности и беззнаковой матрицы Лапласа графа

СПЕКТРАЛЬНЫЙ РАДИУС ГРАФА БЕЗ МИНОРА K2,4

In this article, upper bounds of spectral radii of K2,4-minor-free graphs have been obtained.В данной работе найдены верхние оценки спектральных радиусов для графов, свободных от минора K2,4

О СОВМЕСТИМОСТИ ТРИАНГУЛЯЦИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГРАФОВ

In this article universal sets of points in the plane for compatible triangulations have been found; it is shown that the disjoint compatible matching graph, in general, is not connected; it has been proved that an arbitrary perfect matching has a disjoint compatible spanning tree.В данной работе найдены универсальные множества точек на плоскости для совместимых триангуляций; показано, что граф дизъюнктно совместимых совершенных паросочетаний, вообще говоря, не является связным; доказано, что произвольное совершенное паросочетание обладает дизъюнктно-совместимым остовным деревом

Аналог гипотезы Брауэра для беззнакового лапласиана кографов

In this paper, we consider the class of cographs and its subclasses, namely, threshold graphs and anti-regular graphs. In 2011 H. Bai confirmed the Grone – Merris conjecture about the sum of the first k eigenvalues of the Laplacian of an arbitrary graph. As a variation of the Grone – Merris conjecture, A. Brouwer put forward his conjecture about an upper bound for this sum. Although the latter conjecture was confirmed for many graph classes, however, it remains open. By analogy to Brouwer’s conjecture, in 2013 F. Ashraf et al. put forward a conjecture about the sum of k eigenvalues of the signless Laplacian, which was also confirmed for some graph classes but remains open. In this paper, an analogue of the Brouwer’s conjecture is confirmed for the graph classes under our consideration for the eigenvalues of their signless Laplacian for some natural k which does not exceed the order of the considered graphs.Рассматривается класс кографов и его подклассы: пороговые графы и анти-регулярные графы. В 2011 г. Х. Бай подтвердил гипотезу Гроне – Меррис о сумме первых k собственных значений лапласиана произвольного графа. Как вариант указанной гипотезы А. Брауэр выдвинул свою гипотезу о верхней оценке этой суммы, которая хотя и была подтверждена для многих классов графов, однако по-прежнему остается открытой. По аналогии с гипотезой Брауэра в 2013 г. Ф. Ашрафом и другими была предложена гипотеза для суммы k собственных значений беззнакового лапласиана, которая также была впоследствии подтверждена для некоторых классов графов, но остается открытой. В настоящей работе для рассматриваемых нами классов графов подтверждается аналог гипотезы Брауэра для собственных значений их беззнакового лапласиана при некоторых натуральных значениях k, не превосходящих порядка рассматриваемых графов

Дистанционный спектральный радиус и гамильтоновость графа

In recent years, the eigenvalues of the distance matrix of a graph have attracted a lot of attention of mathematicians, since there is a close connection between its spectrum and the structural properties of the graph. Thus, quite recently an interesting result was obtained, relating the Hamiltonicity of a graph to the distance spectral radius of the graph, on the basis of which a more general conjecture about the Hamiltonicity of a graph was formulated. We confirm this conjecture put forward for a k-connected graph, when k Î{2;3}, and also establish similar sufficient conditions for the traceability of a k-connected graph, when k Î{1; 2}.В последние годы собственные значения матрицы расстояний графа привлекают все большее внимание математиков, поскольку существует тесная связь ее спектра со структурными свойствами графа. Так, совсем недавно был получен интересный результат, связывающий гамильтоновость графа с дистанционным спектральным радиусом графа, на основе которого была сформулирована более общая гипотеза о гамильтоновости графа. Мы подтверждаем выдвинутую гипотезу для k-связного графа, когда k Î{2;3}, а также устанавливаем аналогичные достаточные условия трассируемости k-связного графа, когда k Î{1; 2}

Спектральные условия существования максимального цикла в графе

A graph parameter – a circumference of a graph – and its relationship with the algebraic parameters of a graph – eigenvalues of the adjacency matrix and the unsigned Laplace matrix of a graph – are considered in this article. Earlier we have obtained the lower estimates of the spectral radius of an arbitrary graph and a bipartitebalanced graph for existence of the Hamiltonian cycle in it. Recently the problem of existence of a cycle of length n – 1 in a graph depending on the values of its above-mentioned spectral radii has been investigated. This article studies the problem of existence of a cycle of length n – 2 in a graph depending on the lower estimates of the values of its spectral radius and the spectral radius of its unsigned Laplacian and the spectral conditions of existence of the circumference of a graph (2-connected graph) are obtained.Рассматривается графовый параметр – окружность графа – и его взаимосвязь с алгебраическими параметрами графа – собственными значениями матрицы смежности и беззнаковой матрицы Лапласа графа. Ранее нами были получены нижние оценки спектрального радиуса произвольного графа и двудольного сбалансированного графа для существования в нем гамильтонового цикла. Недавно была исследована задача существования цикла длины n – 1 в графе в зависимости от значений его вышеназванных спектральных радиусов. В настоящей работе изучается задача существования цикла длины n – 2 в графе в зависимости от нижних оценок значений его спектрального радиуса и спектрального радиуса его беззнакового лапласиана и получены спектральные условия существования максимального цикла в графе (двухсвязном графе)

НЕПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ КОНФИГУРАЦИИ В ДОПОЛНЕНИЯХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ГРАФОВ И ДИЗЪЮНКТНАЯ СОВМЕСТИМОСТЬ

In this article, for any non-crossing perfect matching a disjoint compatible spanning tree with a maximum vertex degree no more than 4 is constructed with the complexity O(n4 log n) The criterion of existence of a non-crossing perfect matching in the complement of a star of the order less than 2n in K2n has been obtained. It has been proved that there exists a noncrossing perfect matching in the complement of a tree of the order (n + 1) in K2n with the number of inner vertices no more than (n – 1).В работе для произвольного непересекающегося совершенного паросочетания за время O(n4 log n) строится дизъюнктно совместимое остовное дерево максимальной степени вершин не больше 4. Получен критерий существования непересекающегося совершенного паросочетания в дополнении звезды порядка меньше 2n в K2n. Доказано существование непересекающегося совершенного паросочетания в дополнении дерева порядка (n + 1) в K2n с числом внутренних вершин, не превышающим (n – 1)