Aspects of Geometric Algebra in Euclidean, Projective and Conformal Space

This report is meant to be a script of a tutorial on Clifford (or Geometric) algebra. It is therefore not complete in the description of the algebra and neither completely rigorous. The reader is also not likely to be able to perform arbitrary calculations with Clifford algebra after reading this script. The goal of this text is to give the reader a feeling for what Clifford algebra is about and how it may be used. It is attempted to convey the basic ideas behind the use of Clifford algebra in the description of geometry in Euclidean, projective and conformal space

Compiling Geometric Algebra Computations into Reconfigurable Hardware Accelerators

Geometric Algebra (GA), a generalization of quaternions and complex numbers, is a very powerful framework for intuitively expressing and manipulating the complex geometric relationships common to engineering problems. However, actual processing of GA expressions is very compute intensive, and acceleration is generally required for practical use. GPUs and FPGAs offer such acceleration, while requiring only low-power per operation. In this paper, we present key components of a proof-of-concept compile flow combining symbolic and hardware optimization techniques to automatically generate hardware accelerators from the abstract GA descriptions that are suitable for high-performance embedded computing

Fünfdimensionales Licht als Beschreibungsmuster unserer dreidimensionalen Welt

In der Informatik wird die Konforme Geometrische Algebra zur Beschreibung geometrischer Operationen im dreidimensionalen Raum eingesetzt. Die Modellierung und programmtechnische Umsetzung auf Grundlage einer solchen konformen Geometrie überzeugt durch ihre strukturelle Eleganz, eine hohe Recheneffektivität und Robustheit.Schülerinnen und Schüler können mit Hilfe des Programms CLUCalc Modellierungen auf Basis der Konformen Geometrischen Algebra direkt umsetzen und gestalten. Ein solcher Ansatz, der die Konforme Geometrische Algebra als Werkzeug im Sinne einer Black Box einsetzt, wird an der TU Darmstadt sehr erfolgreich mit Schülerinnen und Schülern praktiziert. Dies wird im ersten Teil des Beitrags vorgestellt.Die in der Informatik eingesetzten Werkzeuge lassen sich jedoch auch physikalisch umdeuten und auf Grundlage speziell-relativistischer Ideen didaktisch einbringen: Vektoren einer dreidimensionalen, nicht-relativistischen Welt sind mathematisch Nullvektoren (und somit lichtartigen Vektoren) einer fünfdimensionalen, konformen Welt äquivalent.Eine solche Deutung wird im zweiten Teil des Beitrags auf Grundlage der Geometrischen Algebra diskutiert. Dies führt nicht nur zu einem tieferen physikalischen Weltverständnis, sondern auch zu einer Verknüpfung physikdidaktischer und informatikdidaktischer Ideen.

Fünfdimensionales Licht als Beschreibungsmuster unserer dreidimensionalen Welt

In der Informatik wird die Konforme Geometrische Algebra zur Beschreibung geometrischer Operationen im dreidimensionalen Raum eingesetzt. Die Modellierung und programmtechnische Umsetzung auf Grundlage einer solchen konformen Geometrie überzeugt durch ihre strukturelle Eleganz, eine hohe Recheneffektivität und Robustheit.Schülerinnen und Schüler können mit Hilfe des Programms CLUCalc Modellierungen auf Basis der Konformen Geometrischen Algebra direkt umsetzen und gestalten. Ein solcher Ansatz, der die Konforme Geometrische Algebra als Werkzeug im Sinne einer Black Box einsetzt, wird an der TU Darmstadt sehr erfolgreich mit Schülerinnen und Schülern praktiziert. Dies wird im ersten Teil des Beitrags vorgestellt.Die in der Informatik eingesetzten Werkzeuge lassen sich jedoch auch physikalisch umdeuten und auf Grundlage speziell-relativistischer Ideen didaktisch einbringen: Vektoren einer dreidimensionalen, nicht-relativistischen Welt sind mathematisch Nullvektoren (und somit lichtartigen Vektoren) einer fünfdimensionalen, konformen Welt äquivalent.Eine solche Deutung wird im zweiten Teil des Beitrags auf Grundlage der Geometrischen Algebra diskutiert. Dies führt nicht nur zu einem tieferen physikalischen Weltverständnis, sondern auch zu einer Verknüpfung physikdidaktischer und informatikdidaktischer Ideen.

Quanten-Computing und Geometrische Algebra

Die Quantenmechanik zeigt ungewohnte und mitunter bizarre Phänomene, die auch in ihrer techni­schen Umsetzung dem Alltagsverständnis nur schwer zugänglich sind. Umso wichtiger ist es, den strukturellen Rahmen und die mathematische Sprache, in der diese neuen Phänomene eingeordnet und beschrieben werden, an Bekanntes anzulehnen.In einer Herangehensweise, in der die mathematische Modellierung physikalischer Sachverhalte bereits in der klassischen Physik auf der Geometrischen Algebra aufbaut, kann die konzeptionelle Beschreibung der Quantenmechanik erleichtert werden, da die von David Hestenes didaktisch auf­bearbeitete Geometrische Algebra aufgrund ihrer inneren Struktur als inhärente Algebra der Quan­tenmechanik verstanden werden kann.In diesem Beitrag wird gezeigt, wie mit Hilfe der Geometrischen Algebra das Quanten-Computing als ein typisches quantenmechanisches Phänomen beschrieben werden kann. Dabei steht nicht ein abstrakt statistischer Zugang im Zentrum dieses didaktischen Ansatzes, sondern die elementare Frage ’Was ist ein Zustand in der Quantenmechanik?’

Quanten-Computing und Geometrische Algebra

Die Quantenmechanik zeigt ungewohnte und mitunter bizarre Phänomene, die auch in ihrer techni­schen Umsetzung dem Alltagsverständnis nur schwer zugänglich sind. Umso wichtiger ist es, den strukturellen Rahmen und die mathematische Sprache, in der diese neuen Phänomene eingeordnet und beschrieben werden, an Bekanntes anzulehnen.In einer Herangehensweise, in der die mathematische Modellierung physikalischer Sachverhalte bereits in der klassischen Physik auf der Geometrischen Algebra aufbaut, kann die konzeptionelle Beschreibung der Quantenmechanik erleichtert werden, da die von David Hestenes didaktisch auf­bearbeitete Geometrische Algebra aufgrund ihrer inneren Struktur als inhärente Algebra der Quan­tenmechanik verstanden werden kann.In diesem Beitrag wird gezeigt, wie mit Hilfe der Geometrischen Algebra das Quanten-Computing als ein typisches quantenmechanisches Phänomen beschrieben werden kann. Dabei steht nicht ein abstrakt statistischer Zugang im Zentrum dieses didaktischen Ansatzes, sondern die elementare Frage ’Was ist ein Zustand in der Quantenmechanik?’

Quantum Register Algebra: the mathematical language for quantum computing

We introduce Quantum Register Algebra (QRA) as an efficient tool for quantum computing. We show the direct link between QRA and Dirac formalism. We present GAALOP (Geometric Algebra Algorithms Optimizer) implementation of our approach. Using the QRA basis vectors definitions given in Section 4 and the framework based on the de Witt basis presented in Section 5, we are able to fully describe and compute with QRA in GAALOP using the geometric product. We illustrate the intuitiveness of this computation by presenting the QRA form for the well known SWAP operation on a two qubit register.Comment: 11 page