Modular curves and complex multiplication

In this project we explore the connections between elliptic curves, modular curves and complex multiplication (CM). The main theorem of CM shows that the theory of CM for elliptic curves provides an explicit construction of finite abelian extensions of a quadratic imaginary field. The proof we discuss uses many of the properties of the classical modular curve, which is introduced both as a geometrical object and as a moduli space. This theory together with the Modularity theorem is used in the construction of Heegner points, which are in the heart of the proof of Kolyvagin's theorem, a result closely related with the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

Exceptional zero formulas for anticyclotomic p-adic L-functions

In this note we define anticyclotomic p-adic measures attached to a finite set of places S above p, a modular elliptic curve E over a general number field F and a quadratic extension K/F. We study the exceptional zero phenomenon that arises when E has multiplicative reduction at some place in S. In this direction, we obtain p-adic Gross-Zagier formulas relating derivatives of the corresponding p-adic L-functions to the extended Mordell-Weil group E(K). We describe first the case S={P} depicting the leading coefficient of the anticyclotomic p-adic L-function in terms of Darmon points. Our final result generalizes a recent result which uses the construction of plectic points due to Fornea and Gehrmann. We obtain a general formula for arbitrary S that computes the r-th derivative of the p-adic L-function, where r is the number of places in S where E has multiplicative reduction, in terms of plectic points and Tate periods of E

The Riemann zeta function and its applications

The aim of this thesis is to expose the basic theory of the Riemann zeta function and some of its classical applications in multiplicative number theory, like the prime number theorem and Dirichlet's theorem on arithmetic progressions. In the last chapter we prove Hardy's theorem, a result closely related with the Riemann hypothesis

PROPUESTA DE SECUENCIA OPTIMA PARA IMPLEMENTAR TECNOLOGIAS DE INDUSTRIA 4.0 UTLIZANDO ALGORITMO DE BUSQUEDA TABÚ (OPTIMAL SEQUENCE PROPOSAL TO IMPLEMENT 4.0 INDUSTRY TECHNOLOGIES USING TABOO SERCH ALGORITHM )

Resumen El nuevo esquema de producción propuesto por los alemanes a principios de la segunda década del siglo XXI, denominado como industria 4.0, está principalmente influenciado por el avance de tecnologías relacionadas con la interconectividad que permiten una mejor toma de decisiones y así mismo mejorar los sistemas productivos. La implementación de este tipo de tecnologías en los ámbitos industriales puede generar múltiples beneficios, sin embargo, alcanzar el nivel de conectividad y aplicación de estas herramientas resulta en una tarea ardua llegando costos muy elevados. En este artículo se plantea, a través de la aplicación de técnicas metaheurísticas, específicamente el algoritmo de búsqueda tabú, dar orden lógico a la secuencia de implementación de herramientas industria 4.0, de tal manera que se obtenga el máximo beneficio minimizando los costos que estas conllevan. La aportación de este artículo radica en la innovación de la industria 4.0, al no existir actualmente un orden de implementación, pudiéndose utilizar como referencia a futuros proyectos relacionados con el tema. Palabras Clave: búsqueda tabú, conectividad, tecnologías de industria 4.0 Abstract The new production scheme proposed by the Germans at the beginning of the second decade of the 21st century, called as industry 4.0, mainly influenced by the advancement of technologies related to interconnectivity that will allow better decision-making and improve production systems. The implementation of these types of technologies in industrial controls can generate multiple benefits, however, reaching the level of connectivity and application of these tools resulting in an arduous task reaching very high application costs. This article proposes, through the application of metaheuristic techniques, specifically the taboo search algorithm, to give logical order to the implementation sequence of industry 4.0 tools, in such a way that maximum benefit is obtained by minimizing the costs that these imply. The contribution of this article lies in the innovation of industry 4.0, as there is currently no order of implementation, being able to use as reference future projects related to the subject. Keywords: Taboo search, connectivity, industry technologies 4.0

Innovaciones y mejoras en el proyecto tutoría entre compañeros. Curso 2015-2016

Memoria ID-0137. Ayudas de la Universidad de Salamanca para la innovación docente, curso 2015-2016

Congreso Internacional de Responsabilidad Social Apuestas para el desarrollo regional.

Congreso Internacional de Responsabilidad Social: apuestas para el desarrollo regional [Edición 1 / Nov. 6 - 7: 2019 Bogotá D.C.]El Congreso Internacional de Responsabilidad Social “Apuestas para el Desarrollo Regional”, se llevó a cabo los días 6 y 7 de noviembre de 2019 en la ciudad de Bogotá D.C. como un evento académico e investigativo liderado por la Corporación Universitaria Minuto de Dios -UNIMINUTO – Rectoría Cundinamarca cuya pretensión fue el fomento de nuevos paradigmas, la divulgación de conocimiento renovado en torno a la Responsabilidad Social; finalidad adoptada institucionalmente como postura ética y política que impacta la docencia, la investigación y la proyección social, y cuyo propósito central es la promoción de una “sensibilización consciente y crítica ante las situaciones problemáticas, tanto de las comunidades como del país, al igual que la adquisición de unas competencias orientadas a la promoción y al compromiso con el desarrollo humano y social integral”. (UNIMINUTO, 2014). Dicha postura, de conciencia crítica y sensibilización social, sumada a la experiencia adquirida mediante el trabajo articulado con otras instituciones de índole académico y de forma directa con las comunidades, permitió establecer como objetivo central del evento la reflexión de los diferentes grupos de interés, la gestión de sus impactos como elementos puntuales que contribuyeron en la audiencia a la toma de conciencia frente al papel que se debe asumir a favor de la responsabilidad social como aporte seguro al desarrollo regional y a su vez al fortalecimiento de los Objetivos de Desarrollo Sostenible

Congreso Internacional de Responsabilidad Social Apuestas para el desarrollo regional.

Congreso Internacional de Responsabilidad Social: apuestas para el desarrollo regional [Edición 1 / Nov. 6 - 7: 2019 Bogotá D.C.]El Congreso Internacional de Responsabilidad Social “Apuestas para el Desarrollo Regional”, se llevó a cabo los días 6 y 7 de noviembre de 2019 en la ciudad de Bogotá D.C. como un evento académico e investigativo liderado por la Corporación Universitaria Minuto de Dios -UNIMINUTO – Rectoría Cundinamarca cuya pretensión fue el fomento de nuevos paradigmas, la divulgación de conocimiento renovado en torno a la Responsabilidad Social; finalidad adoptada institucionalmente como postura ética y política que impacta la docencia, la investigación y la proyección social, y cuyo propósito central es la promoción de una “sensibilización consciente y crítica ante las situaciones problemáticas, tanto de las comunidades como del país, al igual que la adquisición de unas competencias orientadas a la promoción y al compromiso con el desarrollo humano y social integral”. (UNIMINUTO, 2014). Dicha postura, de conciencia crítica y sensibilización social, sumada a la experiencia adquirida mediante el trabajo articulado con otras instituciones de índole académico y de forma directa con las comunidades, permitió establecer como objetivo central del evento la reflexión de los diferentes grupos de interés, la gestión de sus impactos como elementos puntuales que contribuyeron en la audiencia a la toma de conciencia frente al papel que se debe asumir a favor de la responsabilidad social como aporte seguro al desarrollo regional y a su vez al fortalecimiento de los Objetivos de Desarrollo Sostenible

Modular curves and complex multiplication

In this project we explore the connections between elliptic curves, modular curves and complex multiplication (CM). The main theorem of CM shows that the theory of CM for elliptic curves provides an explicit construction of finite abelian extensions of a quadratic imaginary field. The proof we discuss uses many of the properties of the classical modular curve, which is introduced both as a geometrical object and as a moduli space. This theory together with the Modularity theorem is used in the construction of Heegner points, which are in the heart of the proof of Kolyvagin's theorem, a result closely related with the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

p-adic L-functions, p-adic Gross-Zagier formulas and plectic points

In this work we generalize the construction of p-adic anticyclotomic L-functions associated to an elliptic curve E/F and a quadratic extension K/F, by defining a measure µ_f^p attached to K/F and an automorphic form. In the case of parallel 2, the automorphic form is associated with an elliptic curve E/F. The first main result is a p-adic Gross-Zagier formula: if E has split multiplicative reduction at p and p does not split at K/F, we compute the first derivative of the p-adic L-function by relating it with the conjugate difference of a Darmon point twisted by a character ¿. The proof uses the reciprocity map provided by class field theory as a natural way to interpret conjugate differences of points in E(Kp) as elements in the augmentation ideal for the aluation at the character ¿. This generalizes a result of Bertolini and Darmon. With a similar argument, after discovering the work of Fornea and ehrmann on plectic points, we prove an exceptional zero formula which relates a higher order derivative of In this work we generalize the construction of p-adic anticyclotomic L-functions associated to an elliptic curve E/F and a quadratic extension K/F, by defining a measure µ_f^p attached to K/F and an automorphic form. In the case of parallel 2, the automorphic form is associated with an elliptic curve E/F. The first main result is a p-adic Gross-Zagier formula: if E has split multiplicative reduction at p and p does not split at K/F, we compute the first derivative of the p-adic L-function by relating it with the conjugate difference of a Darmon point twisted by a character ¿. The proof uses the reciprocity map provided by class field theory as a natural way to interpret conjugate differences of points in E(Kp) as elements in the augmentation ideal for the evaluation at the character ¿. This generalizes a result of Bertolini and Darmon. With a similar argument, after discovering the work of Fornea and Gehrmann on plectic points, we prove an exceptional zero formula which relates a higher order derivative of µ_f^S with plectic points. We find an interpolating measure µ_F^p for µ_f^p attached to an interpolating Hida family F for f. Here µ_F^p can be regarded as a two variable p-adic L-function, which now includes the weight as a variable. Then we define the Hida-Rankin p-adic L-function Lp(f^p, ¿, k) as the restriction of µ_F^p to the weight space. Finally, we prove a formula which relates the weight-leading term of Lp(f^p, ¿, k) with plectic points. In short, the leading term is an explicit constant times Euler factors times the logarithm of the trace of a plectic point. This formula is a generalization of a result of Longo, Kimball and Hu, which has been used to prove the rationality of a Darmon point under some hypotheses.En aquesta tesi generalitzem la construcció de funcions L p-àdiques anticiclotòmiques associades a una corba el·líptica E/F i una extensió quadràtica K/F, definint una mesura µ_f^p associada a K/F i una forma automorfa. En el cas de pes paral·lel 2, la forma automorfa s’associa a una corba el·líptica E/F. El primer resultat és una fórmula p-àdica de Gross-Zagier: si E té reducció multiplicativa split a p i p descomposa a K/F, calculem la primera derivada de la funció L p-àdica relacionant-la amb la diferència conjugada d’un punt de Darmon twistat per un caràcter ¿. La demostració utilitza l’aplicació de reciprocitat de la teoria de cossos com una manera natural d’interpretar les diferències conjugades de punts de E(Kp) com elements en l’ideal d’augmentació de l’avaluació en el caràcter ¿. Això generalitza un resultat de Bertolini i Darmon. Amb un argument semblant, després de descobrir el treball de Fornea i Gehrmann sobre els punts plèctics, demostrem una fórmula de zero excepcional que relaciona una derivada d’ordre superior de µ_f^S amb punts plèctics. Trobem una mesura d’interpolació µ_F^p per a µ_f^p associada a la família de Hida F que passa per f. Aquí µ_F^p es pot considerar com una funció L de dues variables, que ara inclou el pes com a variable. Aleshores definim una funció L de Hida-Rankin p-àdica Lp(f^p, ¿, k) com la restricció de µ_F^p a l’espai de pesos. Finalment, demostrem una fórmula que relaciona el terme principal de Lp(f^p, ¿, k) respecte al pes amb punts plèctics. En resum, el terme principal és una constant explícita multiplicada per factors d’Euler i pel logaritme de la traça d’un punt plèctic. Aquesta fórmula és una generalització d’un resultat de Longo, Kimball i Hu, que s’ha utilitzat per demostrar la racionalitat d’un punt de Darmon sota certes hipòtesis.Postprint (published version

Modular curves and complex multiplication

In this project we explore the connections between elliptic curves, modular curves and complex multiplication (CM). The main theorem of CM shows that the theory of CM for elliptic curves provides an explicit construction of finite abelian extensions of a quadratic imaginary field. The proof we discuss uses many of the properties of the classical modular curve, which is introduced both as a geometrical object and as a moduli space. This theory together with the Modularity theorem is used in the construction of Heegner points, which are in the heart of the proof of Kolyvagin's theorem, a result closely related with the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture