Newton og Leibniz´ arbeid med utviklingen av kalkulus sett i lys av dagens lærebøker : med spesiell vekt på hovedteoremet i kalkulus og regnemåter

I denne oppgaven har jeg arbeidet med den historiske kalkulusen til Newton og Leibniz og sammenliknet den med tilsvarende kapitler i norske lærebøker. Jeg har lagt spesielt vekt på måten hovedteoremet i kalkulus blir behandlet og hvilke regnemåter som blir benyttet. Jeg har sett på arbeidet Newton og Leibniz gjorde ved deres oppdagelse og utvikling av kalkulus. Derfor har jeg tatt for meg hver enkelt matematiker og hans utvikling, metoder og beviser for det nye matematiske feltet. Etter dette valgte jeg ut flere lærebøker som hører til den videregående skolen i Norge og som omfatter dette begrepet. Bøkene har jeg analysert med hensyn på emnet og sett på likheter og forskjeller mellom disse og den historiske kalkulusen til Newton og Leibniz. En av de store forskjellene mellom dagens kalkulus og de til Newton og Leibniz er konseptet og opperasjonene man benytter seg av. Newton og Leibniz benyttet seg av uavhengige variabler og implisitte funksjoner som inneholdt disse variablene, de regnet også med uendelig små enheter, kalt fluxioner/moments eller infinitesimaler, som man ikke hadde noen strengt matematisk fundament for og dermed ikke med sikkerhet kunne si at er lovlige å benytte. Dagens lærebøker har derimot funksjoner og opperasjoner på dem som sitt konsept, og opperasjonene er definert ved hjelp av grenseverdier. Dermed har kalkulus fått et strengt matematisk fundament hvor det ikke lenger er noen diskusjon på hvorvidt emnet er matematisk korrekt. Det at Newton og Leibniz så at derivasjon og integrasjon er inverse opperasjoner, en enkel måte å se hovedteoremet i kalkulus på, er den viktigste grunnen til at de blir sett på som oppfinnerne av kalkulus. Etter å ha fått denne innsikten så de raskt hvordan alle de tidligere funnene innenfor emnet, som tidligere matematikere hadde funnet ved hjelp av metoder laget spesielt for den oppgaven, ble løst ved hjelp av hovedteoremet. De fleste av dagens lærebøker inneholder bare derivasjon, men i den læreboken (Sinus R2) som også omfatter integrasjon blir hovedteoremet introdusert på en måte som tydelig viser den inverse sammenhengen mellom opperasjonene. Etter å ha lært om derivasjon får elevene først introdusert integrasjon som den antideriverte, der eleven blir bedt om å finne et uttrykk som derivert gir uttrykket som oppgaven startet med. Læreboken har ellers ikke noen god formulering på hovedteoremet, men benytter den inverse sammenhengen gjennom store deler av emnet. Sett fra et pedagogisk standpunkt så har kalkulus utviklet seg til det bedre fra utgavene til Newton og Leibniz og frem til dagens lærebøker. At emnet har fått et strengt matematisk fundament slik at lærere kan være sikre på at det de lærer bort til elevene er korrekt, og innføringen av funksjoner slik at man ikke lenger behøver selv å bestemme hvilken differensial som det skal utvikles fra, har ført til at kalkulus er et bedre pedagogisk fag. Samtidig har man videreført notasjonsmåten til Leibniz og gått bort fra den til Newton. Leibniz’ skrivemåte er betraktelig lettere for andre matematikere å forstå og regne med så også dette har gjort kalkulus mer pedagogisk riktig

The dream of imitating our Sun: The hopes and prospects for unlimited energy

Master's thesis in Mathematics and physicsThis paper follows the historical development of the fusion research, with an ultimate goal to make a fusion power plant. Starting in the 1950`s, the different methods, setbacks and breakthroughs are explained. Fusion occurs in plasma, and initially the knowledge of hot plasma was limited. Several instabilities and other leakages of the plasma to the walls were early identified, leading to a greater task than first assumed. Reasons why the tokamak machine are the preferred setup amongst many possible ways of confining the hot plasma are given. Results from the greatest tokamaks yet, JET, TFTR and JT-60U, are outlined and discussed. The next step towards a fusion power plant is ITER, a bigger and more powerful machine that are being built in France. The specifications and objectives of ITER are given, together with a discussion on the scientific meaning of the expected results. At the end, an overview of different power plant designs will show how the future of fusion depends on what results ITER gives

Visualisation of limb movements by accelerometers in sedated patients

Bakgrunn Vurdering av nevrologisk prognose for intensivpasienter er i dag utfordrende. Kliniske undersøkelser og scoringsskjema tas i bruk, der ulike motoriske responser er verdifulle variabler. Sensorer med akselerometer gir oss muligheten til å presist og objektivt måle unormale bevegelser i ekstremitetene, men dette potensialet utnyttes ikke i dag. Vi har tatt i bruk slike sensorer i en kontrollert postoperativ setting med mål om å evaluere bevegelsesdata fra pasienter som våkner fra sedasjon. Datasettet består av 12 kontinuerlige variabler fra hver pasient (tre akser fra fire ekstremiteter), og er vanskelige å tolke for en kliniker. Vi har derfor også hatt som mål å utvikle en metode for terskelregistrering og visualisering av bevegelsesdata som kan inkorporeres i en elektronisk pasientjournal. Metode Vi inkluderte 10 pasienter som gjennomgikk elektiv hjertekirurgi i narkose, etterfulgt av oppvåkning på intensivavdeling. Studieansvarlig observerte pasientene under oppvåkning og samlet bevegelsesdata fra alle fire ekstremiteter med akselerometriske sensorer. Data fra hver pasient ble importert til en tids-serie matrix der hver ekstremitet ble lagt sammen til én akselerometrisk vektor. En algoritme for deteksjonterskel ble konstruert manuelt basert på data fra perioden pasienten lå i ro. Til slutt summerte vi akeselerasjonstopper i epoker på ett minutt for å visualisere bevegelsesdata i varmekart. Resultat Sensorene detekterte bevegelse i ekstremitetene i samsvar med observasjoner registrert av studieansvarlig. Analysen resulterte i varmekart som visualiserte pasientenes bevegelse av ekstremiteter i perioden de våknet opp fra sedasjon. Konklusjon I denne studien har vi vist at sensorer med akselerometer kan brukes til å detektere bevegelse i alle fire ekstremiteter hos intensivpasienter som våkner fra sedasjon. Vi presenterer en ny metode for prosessering og visualisering av bevegelse, der komplekse data komprimeres til et todimensjonalt varmekart for hver ekstremitet. Mengde bevegelse visualiseres for epoker på ett minutt

Visualisation of Limb Movements by Accelerometers in Sedated Patients

The prognostication of neurological outcome in sedated ICU patients is challenging. Multiple clinical scoring schemes and examinations are used, where different motoric responses are important input variables. Accelerometery is a well-known technology widely applied in different fields of research and everyday electronic products. In medical research, accelerometers have been used in longitudinal epidemiological studies of physical activity and health as well as in ICU studies on the topic of activity, sleep and agitation monitoring. Similarly, accelerometric information could be a candidate to improve future neurological prognostication schemes. To the best of our knowledge, including a systematic review from 2015 [1], there are no published articles on automatic motion registration from ICU patients in connection to neurologic outcome prognosticatio

Publisher Correction: Common brain disorders are associated with heritable patterns of apparent aging of the brain:Common brain disorders are associated with heritable patterns of apparent aging of the brain

An amendment to this paper has been published and can be accessed via a link at the top of the paper

Common brain disorders are associated with heritable patterns of apparent aging of the brain

Common risk factors for psychiatric and other brain disorders are likely to converge on biological pathways influencing the development and maintenance of brain structure and function across life. Using structural MRI data from 45,615 individuals aged 3–96 years, we demonstrate distinct patterns of apparent brain aging in several brain disorders and reveal genetic pleiotropy between apparent brain aging in healthy individuals and common brain disorders

Common brain disorders are associated with heritable patterns of apparent aging of the brain

Common risk factors for psychiatric and other brain disorders are likely to converge on biological pathways influencing the development and maintenance of brain structure and function across life. Using structural MRI data from 45,615 individuals aged 3-96 years, we demonstrate distinct patterns of apparent brain aging in several brain disorders and reveal genetic pleiotropy between apparent brain aging in healthy individuals and common brain disorders