El problema de la distribución de puntos en la esfera

RESUMEN: Los puntos bien distribuidos en un espacio aparecen de forma natural en problemas de muy diversa índole. A lo largo de las páginas de esta tesis estudiamos distintas definiciones que responden a este concepto, así como distintos conjuntos de puntos que verifican esas definiciones. En particular, en esta tesis demostramos la existencia de t-designs en variedades algebraicas con un número de puntos comparable a la dimensión del espacio de polinomios de grado acotado en la variedad. Además definimos sendos procesos determinantales en la esfera de dimensión arbitraria d y al espacio proyectivo complejo de dimensión arbitraria d que producen puntos muy bien distribuidos en los sentidos de minimizar las energías de Riesz y Green, respectivamente. Por último, definimos una estructura en la esfera de dimensión 2 a la que denominamos estructura de diamante y que depende de varios parámetros. Para cualquier elección de parámetros, obtenemos familias de puntos aleatorios en la esfera para los que podemos calcular la asintótica de la esperanza de su energía logarítmica.Esta tesis se ha desarrollado en el marco de un contrato predoctoral FPI (Formación del Personal Investigador) asociado a los proyectos MTM2014-57590-P y MTM2017- 83499-P del Ministerio de Economía y Competitividad, Gobierno de España. Mi participación en congresos durante este periodo ha sido cofinanciada por los proyectos anterior-mente citados, el proyecto del convenio Banco Santander y Universidad de Cantabria (21.SI01.64658) y la Red Temática de Cálculo Simbólico, Álgebra Computacional y Aplicaciones. La formación específica de este periodo ha sido proporcionada por el Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación de la Universidad de Cantabria. Al que he de agradecer también la posibilidad que me brindó de participar de la docencia de varios grados de la Universidad de Cantabria. The Institute for Computational and Experimental Research in Mathematics, associated to Brown University, subsidized my stay in their institution for three months. El Institut de Matemática de la Universitat de Barcelona me acogió como profesora visitante durante dos meses. The universities Technische Universität Graz, Universität Wien and University of Michigan have welcomed me in short stays during these three years

A generalization of the spherical ensemble to even-dimensional spheres

In a recent article [1], Alishahi and Zamani discuss the spherical ensemble, a rotationally invariant determinantal point process on S2. In this paper we extend this process in a natural way to the 2d-dimensional sphere S2d. We prove that the expected value of the Riesz s-energy associated to this determinantal point process has a reasonably low value compared to the known asymptotic expansion of the minimal Riesz s-energy

Aspectos computacionales de la descomposición primaria

La descomposición primaria es una construcción fundamental en tanto en el Álgebra Conmutatíva como en la Geometría Algebraica. Desde un punto de vista algebraico, esta operación generaliza el concepto de factorización, mientras que está conectada, desde un punto de vista geométrico, con la descomposición de una variedad en componentes irreducibles. A lo largo de este trabajo, vamos a estudiar varios métodos computacionales efectivos que nos permitan realizar dicha operación; nos centraremos en particular en el conocido método desarrollado por Gianni, Trager y Zacharias. Este trabajo ha supuesto un punto de inflexión en el desarrollo de métodos efectivos para la construccíón de una descomposición primaria, ya que propone utilizar las bases de Gröbner para la obtención de la descomposicíón. Es por esto que dedicaremos una parte del trabajo a estudiar las propiedades de dichas bases. Para finalizar, veremos también dos casos particulares de descomposición primaria: los casos en los que tratemos con ideales monomiales y binomiales.Grado en Matemática

A sequence of polynomials with optimal condition number

We find an explicit sequence of univariate polynomials of arbitrary degree with optimal condition number. This solves a problem posed by Michael Shub and Stephen Smale in 1993.The first and second authors were partially supported by Ministerio de Econom´ıa y Competitividad, Gobierno de Espa˜na, through grants MTM2017-83816-P and MTM2017-90682-REDT, and by the Banco de Santander and Universidad de Cantabria grant 21.SI01.64658. The second author was also supported by the Austrian Science Fund FWF project F5503 (part of the Special Research Program (SFB) Quasi-Monte Carlo Methods: Theory and Applications). The third and fourth authors have been partially supported by grant MTM2017-83499-P by the Ministerio de Econom´ıa y Competitividad, Gobierno de Espa˜na and by the Generalitat de Catalunya (project 2017 SGR 358)

5 Electrons

RESUMEN: Imaginemos un conjunto de cinco electrones moviéndose en la superficie de una esfera. En un primer instante, pueden encontrarse todos juntos entorno a un punto de la superficie, luego, pueden moverse hacia los lados, pueden situarse los cinco en una circunferencia sobre la superficie, pueden separarse más y más... De hecho ¿cuánto es lo máximo que pueden separarse unos de otros? Dicho de una manera algo más formal, ¿cuál es el máximo del producto de las distancias entre cada dos pares de electrones? Esta pregunta, de fácil enunciado no fue contestada correctamente hasta hace apenas dos años, nada en comparación con los cien años que llevaba abierta. La pregunta forma parte de un conjunto de muchas otras que se interrogan sobre la buena colocación de un número fijo de puntos en la esfera. A lo largo de este trabajo abordaremos la cuestión para el caso de cinco puntos, estudiaremos las respuestas parciales que se han aportado e intentaremos hacer, nosotros también, nuestra propia aportación a este bonito problema.ABSTRACT: Think about five electrons moving on the surface of a sphere, it is easy to imagine. They can be placed all together on the north pole, or they can be more separated. Actually, how much separated can they be? Let us be a little more rigorous, what is the maximal product of their mutual distances? (that is called, the Riesz energy of order zero). Well, it seems to be an easy question, but in fact, more than a hundred years have passed until we have finally had the answer. What if we want to know the minimal sum of their distances? And the minimal sum of the inverse of their mutual distances? In this project, we will explore the answer of the first question we made, as well as other similar questions that have to do with the placement of five points on a two-dimensional sphere.Máster en Matemáticas y Computació

The Diamond ensemble: A constructive set of spherical points with small logarithmic energy

We define a family of random sets of points, the Diamond ensemble, on the sphere S2 depending on several parameters. Its most important property is that, for some of these parameters, the asymptotic expected value of the logarithmic energy of the points can be computed rigorously and shown to attain very small values, quite close to the conjectured minimal value.This research has been partially supported by Ministerio de Economía y Competitividad, Gobierno de España, through grants MTM2017-83816-P, MTM2017-90682-REDT, and by the Banco de Santander and Universidad de Cantabria grant 21.SI01.64658