Um segundo estudo de invasão populacional dinâmica a partir da equação do telégrafo reativo e formulação de elementos de contorno - Um ensaio sobre o crescimento tumoral in vitro

This paper is a continuation of a study already carried out on the use of the reactive-telegraph equation to analyse problems of population dynamics based on a formulation of the boundary element method (BEM). In this paper, the numerical model simulates the evolution of a tumour as a problem of population density of cancer cells from different reactive terms coupled to the reactive-telegraph equation to describe the growth and distribution of the population, similar to the two-dimensional in vitro tumour growth experiment. The mathematical model developed is called D-BEM, uses a time independent fundamental solution and the finite difference method is combined with BEM to approximate the time derivative terms and the Gaussian quadrature is used to calculate the domain integrals. The solution of the system nonlinear of equations is based on the Gaussian elimination method and the stability of the proposed formulation was verified. As the telegraph equation has a wave behaviour, a phase change phenomenon that can lead to the appearance of negative population density may occur, an algorithm was developed to guarantee the solution's positivity. Important results were obtained and demonstrate the effect of the delay parameter on tumour growth. In one of the tested cases, the results indicated an oscillatory behaviour in the tumour growth when the delay parameter assumed increasing values. The results of numerical simulations that sought to represent tumour growth, as well as the entire formulation of the boundary elements are presented below.Este artigo é a continuação de um estudo já realizado sobre o uso da equação do telégrafo reativo para analisar problemas de dinâmica populacional a partir de uma formulação do método dos elementos de contorno (BEM). Neste artigo, o modelo numérico simula a evolução de um tumor como um problema de densidade populacional de células cancerosas a partir de diferentes termos reativos acoplados à equação do telégrafo reativo para descrever o crescimento e distribuição da população, semelhante ao experimento de crescimento do tumor in vitro. O modelo matemático desenvolvido é denominado D-BEM, usa uma solução fundamental independente do tempo e o método das diferenças finitas é combinado com o BEM para aproximar os termos de tempo derivativos e a quadratura Gaussiana é usada para calcular as integrais de domínio. A solução do sistema de equações é baseada no método de eliminação gaussiana e foi verificada a estabilidade da formulação proposta. Como a equação do telégrafo possui comportamento ondulatório, pode ocorrer um fenômeno de mudança de fase que pode levar ao aparecimento de densidade populacional negativa, para tanto, foi desenvolvido um algoritmo que garantir a positividade da solução. Resultados importantes foram obtidos e demonstram o efeito do parâmetro de atraso no crescimento do tumor. Em um dos casos testados, os resultados indicaram um comportamento oscilatório no crescimento tumoral quando o parâmetro de retardo assumiu valores crescentes. O importante resultado dessa antítese para o crescimento do tumor, bem como toda a formulação dos elementos de contorno são apresentados a seguir

A modeling of the carbon-nitrogen cycle transport at Igap\'o I Lake - Londrina, Paran\'a, Brazil

This work is a contribution to better understand the effect that domestic sewage discharges may cause in a water body, specifically Igap\'o I Lake, in Londrina, Paran\'a, Brazil. The simulation of the dynamics of pollutant concentrations all over the water body is conducted by means of structured discretization of the geometry of Igap\'o I Lake, together with the finite differences and the finite elements methods. Firstly, the hydrodynamic flow (without the pollutants), modeled by Navier-Stokes and pressure equations, is numerically resolved by the finite differences method, and associated with the fourth order Runge-Kutta procedure. After that, by using the hydrodynamic field velocity, the flow of the reactive species (pollutants) is described through a transport model, which considers advective and diffusive processes, as well as through a reactions model, restricted to the carbon-nitrogen cycle. The transport and reactions model is numerically resolved by the stabilized finite elements method, by means of a semidiscrete formulation. A qualitative analysis of the numerical simulations conducted in function of the diffusion coefficient provided better understanding of the dynamics of the processes involved in the flow of the reactive species, such as the dynamics of the nitrification process, of the biochemical requirement of oxygen and of the level of oxygen dissolved in the water body at Igap\'o I Lake

Simulação de um modelo matemático de crescimento tumoral utilizando diferenças finitas / Simulation of a mathematical model of tumoral growth using finite differences

O trabalho expõe um estudo do modelo matemático não linear de crescimento tumoral, proposto por Kolev e Zubik-kowal (2011). O modelo é descrito por um sistema composto de quatro equações diferenciais parciais que representam a evolução da densidade de células cancerígenas, densidade da matriz extracelular (MEC), concentração de enzima degradativa da matriz (EDM) e concentração dos inibidores teciduais de metaloproteinases. Para fins de simulações numéricas utiliza-se o método de diferenças finitas, em que os termos temporais das equações são discretizados utilizando um método de dois estágios. Nos termos espaciais, são utilizadas diferenças finitas centrais. Apresenta-se um estudo de convergência numérica para o esquema proposto, utilizando soluções analíticas fabricadas em uma geometria retangular. Por fim, realiza-se simulações do modelo de crescimento tumoral, utilizando uma malha não regular que representa a geometria de uma mama feminina. Para simular o modelo na geometria não regular, emprega-se a técnica que consiste em aproximar o contorno do domínio físico por segmentos de malha. As simulações demonstraram que o modelo apresenta características importantes das interações entre as células tumorais e o tecido circundante

Solitons in Ideal Optical Fibers - A Numerical Development

This work developed a numerical procedure for a system of partial differential equations (PDEs) describing the propagation of solitons in ideal optical fibers. The validation of the procedure was implemented from the numerical comparison between the known analytical solutions of the PDEs system and those obtained by using the numerical procedure developed. It was discovered that the procedure, based on the finite difference method and relaxation Gauss-Seidel method, was adequate in describing the propagation of soliton waves in ideals optical fibers.Comment: Article accepted for publication in Semina: Ci\^encias Exatas e Tecnol\'ogica

Numerical convergence of a Telegraph Predator-Prey System

The numerical convergence of a Telegraph Predator-Prey system is studied. This system of partial differential equations (PDEs) can describe various biological systems with reactive, diffusive and delay effects. Initially, our problem is mathematically modeled. Then, the PDEs system is discretized using the Finite Difference method, obtaining a system of equations in the explicit form in time and implicit form in space. The consistency of the Telegraph Predator-Prey system discretization was verified. Next, the von Neumann stability conditions were calculated for a Predator-Prey system with reactive terms and for a Telegraph system with delay. For our Telegraph Predator-Prey system, through numerical experiments, it was verified tat the mesh refinement and the model parameters (reactive constants, diffusion coefficient and delay term) determine the stability/instability conditions of the model. Keywords: Telegraph-Diffusive-Reactive System. Maxwell-Cattaneo Delay. Discretization Consistency. Von Neumann Stability. Numerical Experimentation.Comment: Submited to journal "Semina: Exact and Technological Sciences

Determinação do parâmetro de relaxação ótimo num procedimento numérico de propagação de sólitons

Neste trabalho, considerando um procedimento numérico desenvolvido para resolver um sistema de equações diferenciais acopladas, complexas e nãolineares, que descreve a propagação de sólitons em fi bras óticas dielétricas, otimizamos o tempo de processamento numérico, em relação ao parâmetro de relaxação do procedimento, para conjuntos relevantes de valores das variáveis dielétricas da fi bra ótica

A numerical development in the dynamical equations of solitons into ideal optical fibers

We develop and evaluate a numerical procedure for a system of nonlinear differential equations, which describe the propagation of solitons into ideal dielectric optical fibers. This problem has analytical solutions known. The numerical solutions of the system is implemented by the finite element method, using methods of stabilization such as Streamline Upwind Petrov-Galerkin (SUPG) and Consistent Approximate Upwind (CAU). Comparing the numerical and analytical solutions, it was found that the numerical procedure adequately describes the dynamics of this system.Comment: In Portugues