A Kalman rank condition for the localized distributed controllability of a class of linear parabolic systems

We present a generalization of the Kalman rank condition to the case of $n\times n$ linear parabolic systems with constant coefficients and diagonalizable diffusion matrix. To reach the result, we are led to prove a global Carleman estimate for the solutions of a scalar $2n-$order parabolic equation and deduce from it an observability inequality for our adjoint system

A generalization of the Kalman rank condition for time-dependent coupled linear parabolic systems

In this paper we present a generalization of the Kalman rank condition for linear ordinary differential systems to the case of systems of n coupled parabolic equations (posed in the time interval (0,T) with T > 0) where the coupling matrices A and B depend on the time variable t . To be precise, we will prove that the Kalman rank condition rank [A|B](t0) = n, with t0 ∈ [0,T], is a sufficient condition (but not necessary) for obtaining the exact controllability to the trajectories of the considered parabolic system. In the case of analytic matrices A and B (and, in particular, constant matrices), we will see that the Kalman rank condition characterizes the controllability properties of the system. When the matrices A and B are constant and condition rank [A|B] = n holds, we will be able to state a Carleman inequality for the corresponding adjoint problem.Agence Nationale de la rechercheDirección General de Enseñanza Superio

Etude analytique et numérique de quelques problèmes à frontière libre et modèles de champ de phase

In this thesis we study some free boundary problems and phase field models.The first part of this work is devoted to the study of free boundary problems where the mean curvature explicitely appears in the expression of the problems. We consider in Chapter 1 the sta­ tionary flow of a viscous liquid known as Marangoni type flow. The main difficulty here is that the interface between liquid metal and air intersects the boundary of the domain. This leads us to in­ troduce weighted Holder spaces in order to prove the existence and uniqueness of a smooth solution.In Chapter 2 , we present the numerical study of a one phase Stefan problem with surface tension. The discretization of the heat equation in the liquid part uses a semi-implicit scheme in time and a finite element method in space based on an adaptative mesh algorithm. The computation of the discretized interface uses a front traking method.The second part of this thesis bears on a study of phase field models from the point of view of dynamical systems. When some small parameters tend to zero, the solution of the Caginalp phase field model converges to the solution of the viscous Cahn-Hilliard equation or to that of the Cahn-Hilliard equation. The purpose here is to obtain related properties for the corresponding maximal attractors. We consider in Chapter 3 the case that the nonlinear function appearing in the equations is of polynomial type and prove that the corresponding maximal attractor is upper- semicontinuous. In Chapter 4 we extend these results to the case of a logarithmic nonlinearity.Cette thèse est consacrée à l'étude de problèmes à frontière libre et de modèles de champ de phase.Nous considérons dans la première partie des problèmes pour lesquels la courbure movenne de la frontière libre apparait explicitement dans l'une des équations qui la décrivent. Nous étudions tout d'abord un problème stationnaire, connu sous le nom d'écoulement Marangoni. La présence d'une paroi rigide rencontrant l'interface air-métal en des points anguleux nous conduit à utiliser des espaces de Hölder pondérés pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution régulière.Nous effectuons ensuite l'étude numérique d'un problème de Stefan à une phase avec tension superficielle apparaissant en théorie de la corrosion aqueuse. Nous utilisons une méthode d'éléments finis pour la discrétisation de l'équation de diffusion dans la phase liquide et une discrétisation explicite en temps pour le calcul du déplacement du front. La méthode s'appuie sur un algorithme de remaillage qui permet à la triangulation de suivre l'évolution de l'interface discrète.Dans la deuxième partie, nous nous intéressons au comportement pour les grands temps des solutions de modèles de champ de phase. La théorie des systèmes dynamiques de dimension infinie constitue la base de notre étude. Les modèles considérés possèdent un attracteur maximal. Le problème plus spécifique qui nous intéresse ici est d'expliciter la relation entre quelques-uns des modèles les plus standards en transition de phase, et en particulier de montrer que l'on peut passer continûment des équations de champ de phase aux équations de Cahn-Hilliard visqueuse et de Cahn-Hilliard. Nous démontrons que l'attracteur du modèle de champ de phase est semi-continu supérieurement, tout d'abord dans le cas où la fonction non linéaire apparaissant dans les équations est polynomiale puis celui où elle est logarithmique

CONTROLLABILITY TO THE TRAJECTORIES OF PHASE-FIELD MODELS BY ONE CONTROL FORCE

International audienceIn this article, westudy thecon trollability to thetra jectories of 2 × 2 nonlinear parabolic systems for control forces acting on a single equation of the system. This result, which in particular applies to Caginalp's phase-field model, actually extends those obtained for the semilinear heat equations. The proof relies on Kakutani's fixed point theorem and makes use of an observability estimate for the associated linearized system

Null-controllability of some systems of parabolic type by one control force

We study the null controllability by one control force of some linear systems of parabolic type. We give sufficient conditions for the null controllability property to be true and, in an abstract setting, we prove that it is not always possible to control

Controllability for a class of reaction-diffusion systems: the generalized Kalman's condition

In this article, we study the controllability of a class of parabolic systems of the form Yt = (D∆+A)Y +Bχωu with Dirichlet conditions on the boundary of a bounded domain Ω, where ω ⊂ Ω is a subdomain. Here D, A ∈ L(R n ), B ∈ L(R m; R n ) and we prove that the algebraic Kalman condition extends to such systems.Dans cet article, on étudie la contrôlabilité d’une classe de systèmes paraboliques de la forme Yt = (D∆ + A)Y + Bχωu avec des conditions de Dirichlet sur le bord d’un domaine born Ω, o`u ω ⊂ Ω est un sous-domaine. Ici D, A ∈ L(R n ), B ∈ L(R m; R n ) et on montre que la condition algébrique de Kalman s’étend à de tels systèmes

Null-controllability of some reaction–diffusion systems with one control force

International audienceThis work is concerned with the null-controllability of semilinear parabolic systems by a single control force acting on a subdomain