A Nonuniform Fast Fourier Transform Based on Low Rank Approximation

By viewing the nonuniform discrete Fourier transform (NUDFT) as a perturbed version of a uniform discrete Fourier transform, we propose a fast and quasi-optimal algorithm for computing the NUDFT based on the fast Fourier transform (FFT). Our key observation is that an NUDFT and DFT matrix divided entry by entry is often well approximated by a low rank matrix, allowing us to express a NUDFT matrix as a sum of diagonally scaled DFT matrices. Our algorithm is simple to implement, automatically adapts to any working precision, and is competitive with state-of-the-art algorithms. In the fully uniform case, our algorithm is essentially the FFT. We also describe quasi-optimal algorithms for the inverse NUDFT and two-dimensional NUDFTs.The first author’s work was supported by Ministerio de Economía y Competitividad (reference BES-2013-064743). The second author’s work was supported by National Science Foundation grant 164544

Computation of the reverse generalized Bessel polynomials and their zeros

ABSTRACT:It is well known that one of the most relevant applications of the reverse Bessel polynomials \u1d703�n(z) is filter design. In particular, the poles of the transfer function of a Bessel filter are basically the zeros of \u1d703�n(z). In this article we discuss an algorithm to compute the zeros of reverse generalized Bessel polynomials \u1d703�n(z;a). A key ingredient in the algorithm will be a method to compute the polynomials. For this purpose, we analyze the use of recurrence relations and asymptotic expansions in terms of elementary functions to obtain accurate approximations to the polynomials. The performance of all the numerical approximations will be illustrated with examples.The authors acknowledge financial support from Ministerio de Ciencia e Innovación, Spain, project PGC2018-098279-B-I00 (MCIU/AEI/FEDER, UE)

A new type of sharp bounds for ratios of modified Bessel functions

The bounds for the ratios of first and second kind modified Bessel functions of consecutive orders are important quantities appearing in a large number of scientific applications. We obtain new bounds which are accurate in a large region of parameters and which are sharper than previous bounds. The new bounds are obtained by a qualitative analysis of the Riccati equation satisfied by these ratios. A procedure is considered in which the bounds obtained from the analysis of the Riccati equation are used to define a new function satisfying a new Riccati equation which yields sharper bounds. Similar ideas can be applied to other functions.JS acknowledges financial support from Ministerio de Economía y Competitividad, project MTM2012-3478

Geometría tórica

Licenciatura en Matemática

Computación de funciones hipergeométricas y su aplicación a las cuadraturas gaussianas

Dentro de la matemática computacional, el desarrollo de algoritmos eficientes para evaluar funciones matemáticas constituye una línea de incuestionable utilidad, por sus numerosas aplicaciones en diversos campos de la ciencia, ingeniería y economía. Desde esta perspectiva, el cálculo de funciones de tipo hipergeométrico es particularmente relevante. Abordar el problema de obtener un método eficiente para evaluar numéricamente las funciones hipergeométricas para todos los rangos admisibles de parámetros es una tarea complicada que parece que no va a encontrar solución a medio plazo. Sin embargo, ya se dispone de software para la evaluación de este tipo de funciones para algunos casos particulares, como las funciones gamma incompletas y que describimos en el primer capítulo de la tesis. Otros aspectos a tener en cuenta en la obtención de métodos numéricos para la evaluación de funciones es la región de aplicabilidad de dichos procedimientos. En este sentido, es interesante disponer de acotaciones para las funciones involucradas, como tal es el caso de las cotas que describimos en el segundo capítulo de la tesis para cocientes de funciones de Bessel modificadas. Como ya hemos mencionado, las funciones hipergeométricas están presentes en multitud de problemas científicos, pero también aparecen implicadas en diferentes ámbitos de la matemática como el análisis numérico; de hecho, uno de los aspectos centrales de esta tesis es la evaluación numérica de nodos y pesos de una de las reglas de cuadratura numérica más populares: las reglas de cuadratura gaussianas. Para calcular cuadraturas gaussianas de orden moderado, un algoritmo bien conocido es el algoritmo de Golub-Welsch. Sin embargo, dicho método no es eficiente para cuadraturas de orden alto, para las que es preferible usar métodos iterativos. En el último capítulo de la tesis se describen métodos iterativos para el cálculo de las cuadraturas clasicas de Gauss-Hermite y Gauss-Laguerre para órdenes de cuadratura tanto grandes como pequeños y que además tienen convergencia garantizada. Dichos métodos combinan varios esquemas de evaluación numérica de los polinomios ortogonales implicados junto a un método de punto fijo convergente globalmente y con orden de convergencia 4.Al Ministerio de Economía por la ayuda BES-2013-064743, a los miembros del proyecto de investigación MTM2012-34787 por admitirme entre sus filas y a la Universidad de Cantabria por todo lo que me ha enseñado

Numerical evaluation of incomplete gamma functions

RESUMEN: Las funciones gamma incompletas son un tipo de funciones especiales obtenidas al dividir el intervalo de integración de la función gamma. Fueron estudiadas por primera vez por Legendre en 1786, pero a lo largo de la historia no han sido estudiadas de forma intensiva hasta las últimas décadas debido a sus recientes aplicaciones en física, ingeniería y estadística. En este trabajo repasamos algunas de las propiedades básicas de las funciones gamma incompletas tales como expansiones en serie, fracciones continuas o relaciones de recurrencia. Veremos la situación actual de las funciones gamma incompletas en términos de su evaluación. Finalmente, propondremos y analizaremos en este trabajo algunos métodos numéricos que surgieron a partir de experimentar con métodos de cuadratura.ABSTRACT: Incomplete gamma functions are a type of special functions obtained by breaking up the interval of integration of the gamma funcion. They were studied for the rst time by Legendre in 1786, but through history they haven't been studied intensively until the last decades due to it's recent applications in physics, engineering and statistics. In this work we review some of the basic properties of incomplete gamma functions such as series expansions, continued fractions and recurrence relations. We will see the current situation of the incomplete gamma function in terms of it's evaluation. Finally, we will propose and analyze in this work some numerical methods that arised from numerical experimentation with quadrature methods.Máster en Matemáticas y Computació

Algorithm 969: Computation of the Incomplete Gamma Function for Negative Values of the Argument

An algorithm for computing the incomplete gamma function ?*(a, z) for real values of the parameter a and negative real values of the argument z is presented. The algorithm combines the use of series expansions, Poincaré-type expansions, uniform asymptotic expansions, and recurrence relations, depending on the parameter region. A relative accuracy ~10-13 in the parameter region (a, z) ? [- 500, 500] × [- 500, 0) can be obtained when computing the function ?*(a, z) with the Fortran 90 module IncgamNEG implementing the algorithm.The authors acknowledge financial support from Ministe- rio de Econom´ıa y Competitividad, project MTM2012-3478

Nuevos retos profesionales: ciclo de conferencias para fomentar la empleabilidad de los alumnos UCM

El proyecto de innovación docente (curso 2021-2022) tuvo como motivación principal el fomento de la empleabilidad de los estudiantes de la UCM. Más concretamente, la de los estudiantes de la Facultad de Comercio y Turismo. Con tal fin, se organizó un ciclo de conferencias