Convergence and adiabatic elimination for a driven dissipative quantum harmonic oscillator

We prove that a harmonic oscillator driven by Lindblad dynamics where the typical drive and loss channels are two-photon processes instead of single-photon ones, converges to a protected subspace spanned by two coherent states of opposite amplitude. We then characterize the slow dynamics induced by a perturbative single-photon loss on this protected subspace, by performing adiabatic elimination in the Lindbladian dynamics.Comment: submitted to IEEE-CDC 201

Robustness under saturated feedback: Strong iISS for a class of nonlinear systems

International audienceThis note proposes sufficient conditions under which a nonlinear system can be made Strongly iISS in the presence of actuator saturation. This property, recently proposed as a compromise between the strength of ISS and the generality of iISS, ensures boundedness of all solutions provided that the disturbance magnitude is below a certain threshold. We also show that, under a growth rate condition, the bounded feedback law proposed by Lin and Sontag for the stabilization of the disturbance-free system based on the knowledge of a control Lyapunov function, ensures Strong iISS in the presence of perturbations. We illustrate our findings on the angular velocity control of a spacecraft with limited-power thrusters

Elimination adiabatique pour systèmes quantiques ouverts

This thesis addresses the model reduction problem for open quantum systems with differenttime-scales, also called adiabatic elimination. The objective is to derive a generic adiabaticelimination technique preserving the quantum structure for the reduced model.We consider an open quantum system, described by a Lindblad master equation withtwo time-scales, where the fast time-scale drives the system towards an equilibrium state.The cases of a unique steady state and a manifold of steady states (decoherence-free space)are considered. The slow dynamics is treated as a perturbation. Using the time-scaleseparation, we developed a new adiabatic elimination technique to derive at any orderthe reduced model describing the slow variables. The method, based on an asymptoticexpansion and geometric singular perturbation theory, ensures the physical interpretationof the reduced second-order model by giving the reduced dynamics in a Lindblad formand the mapping defining the slow manifold as a completely positive trace-preserving map(Kraus map) form. We give explicit second-order formulas, to compute the reduced model,for composite systems with weak - Hamiltonian or cascade - coupling between the twosubsystems and preliminary results on the third order. For systems with decoherence-freespace, explicit second order formulas are as well derived.Cette thèse traite du problème de la réduction de modèle pour les systèmes quantiquesouverts possédant différentes échelles de temps, également connu sous le nom d’éliminationadiabatique. L’objectif est d’obtenir une méthode générale d’élimination adiabatiqueassurant la structure quantique du modèle réduit.On considère un système quantique ouvert, décrit par une équation maîtresse deLindblad possédant deux échelles de temps, la dynamique rapide faisant converger lesystème vers un état d’équilibre. Les systèmes associés à un état d’équilibre unique ouune variété d’états d’équilibre ("decoherence-free space") sont considérés. La dynamiquelente est traitée comme une perturbation. En utilisant la séparation des échelles de temps,on développe une nouvelle technique d’élimination adiabatique pour obtenir, à n’importequel ordre, le modèle réduit décrivant les variables lentes. Cette méthode, basée sur undéveloppement asymptotique et la théorie géométrique des perturbations singulières, assureune bonne interprétation physique du modèle réduit au second ordre en exprimant ladynamique réduite sous une forme de Lindblad et la paramétrisation définissant la variétélente dans une forme de Kraus (préservant la trace et complètement positif). On obtientainsi des formules explicites, pour calculer le modèle réduit jusqu’au second ordre, dans lecas des systèmes composites faiblement couplés, de façon Hamiltonienne ou en cascade;des premiers résultats au troisième ordre sont présentés. Pour les systèmes possédant unevariété d’états d’équilibre, des formules explicites pour calculer le modèle réduit jusqu’ausecond ordre sont également obtenues

Adiabatic elimination for open quantum systems

Cette thèse traite du problème de la réduction de modèle pour les systèmes quantiquesouverts possédant différentes échelles de temps, également connu sous le nom d’éliminationadiabatique. L’objectif est d’obtenir une méthode générale d’élimination adiabatiqueassurant la structure quantique du modèle réduit.On considère un système quantique ouvert, décrit par une équation maîtresse deLindblad possédant deux échelles de temps, la dynamique rapide faisant converger lesystème vers un état d’équilibre. Les systèmes associés à un état d’équilibre unique ouune variété d’états d’équilibre ("decoherence-free space") sont considérés. La dynamiquelente est traitée comme une perturbation. En utilisant la séparation des échelles de temps,on développe une nouvelle technique d’élimination adiabatique pour obtenir, à n’importequel ordre, le modèle réduit décrivant les variables lentes. Cette méthode, basée sur undéveloppement asymptotique et la théorie géométrique des perturbations singulières, assureune bonne interprétation physique du modèle réduit au second ordre en exprimant ladynamique réduite sous une forme de Lindblad et la paramétrisation définissant la variétélente dans une forme de Kraus (préservant la trace et complètement positif). On obtientainsi des formules explicites, pour calculer le modèle réduit jusqu’au second ordre, dans lecas des systèmes composites faiblement couplés, de façon Hamiltonienne ou en cascade;des premiers résultats au troisième ordre sont présentés. Pour les systèmes possédant unevariété d’états d’équilibre, des formules explicites pour calculer le modèle réduit jusqu’ausecond ordre sont également obtenues.This thesis addresses the model reduction problem for open quantum systems with differenttime-scales, also called adiabatic elimination. The objective is to derive a generic adiabaticelimination technique preserving the quantum structure for the reduced model.We consider an open quantum system, described by a Lindblad master equation withtwo time-scales, where the fast time-scale drives the system towards an equilibrium state.The cases of a unique steady state and a manifold of steady states (decoherence-free space)are considered. The slow dynamics is treated as a perturbation. Using the time-scaleseparation, we developed a new adiabatic elimination technique to derive at any orderthe reduced model describing the slow variables. The method, based on an asymptoticexpansion and geometric singular perturbation theory, ensures the physical interpretationof the reduced second-order model by giving the reduced dynamics in a Lindblad formand the mapping defining the slow manifold as a completely positive trace-preserving map(Kraus map) form. We give explicit second-order formulas, to compute the reduced model,for composite systems with weak - Hamiltonian or cascade - coupling between the twosubsystems and preliminary results on the third order. For systems with decoherence-freespace, explicit second order formulas are as well derived

Structure-preserving adiabatic elimination for open bipartite quantum systems

International audienceWe consider a quantum system composed of a fast quantum subsystem coupled to a slow one. We provide expressions of the approximate reduced model describing the slow subsystem perturbed by the fast one (adiabatic elimination), based on an asymptotic expansion that we solve up to second order. The specificity of our expressions is to preserve the quantum structure in the reduced model: we provide the reduced dynamics in Lindblad form, and the mapping defining the slow manifold as a completely positive map in Kraus form

Strong iISS for a class of systems under saturated feedback

International audienceThis paper proposes sufficient conditions under which a system can be made Strongly iISS in the presence of actuator saturation. This property was recently proposed as a compromise between the strength of ISS and the generality of iISS. It ensures in particular that solutions are bounded provided that the disturbance magnitude is below a certain threshold, and that they tend to the origin in response to any vanishing disturbance. We show that, under a growth rate condition, the bounded feedback law proposed by Lin and Sontag for the stabilization of the disturbance-free system based on the knowledge of a control Lyapunov function, ensures Strong iISS in the presence of perturbations. We illustrate our findings on the angular velocity control of a spacecraft with limited-power thrusters. In the specific case of linear time-invariant systems with neutrally stable internal dynamics, we provide a simple static state-feedback that ensures Strong iISS in presence of actuator saturations. This second result is illustrated by the robust stabilization of the harmonic oscillator. In both cases, we provide an estimate of the maximum disturbance amplitude that can be tolerated without compromising solutions' boundedness

Towards generic adiabatic elimination for bipartite open quantum systems

International audienceWe consider a composite open quantum system consisting of a fast subsystem coupled to a slow one. Using the time scale separation, we develop an adiabatic elimination technique to derive at any order the reduced model describing the slow subsystem. The method, based on an asymptotic expansion and geometric singular perturbation theory, ensures the physical interpretation of the reduced second-order model by giving the reduced dynamics in a Lindblad form and the state reduction in Kraus map form. We give explicit second-order formulas for Hamiltonian or cascade coupling between the two subsystems. These formulas can be used to engineer, via a careful choice of the fast subsystem, the Hamiltonian and Lindbald operators governing the dissipative dynamics of the slow subsystem