УПРАВЛЕНИЕ АСИНХРОННЫМ СПЕКТРОМ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПРАВЫМ БЛОКОМ НЕПОЛНОГО РАНГА

We consider a linear control periodic system with reverse communication. It is supposed that a right block of coefficint matrix has an imperfect column rank. The control problem of an asynchronous spectrum is solved.Рассматривается линейная система управленияx = A(t)x + Bu, t є R, x є Rn, n ≥ 2,где A(t) - непрерывная ω-периодическая (n x и)-матрица, В - постоянная (n x n) -матрица, у которой первые d ≥ 0 столбцов нулевые, а остальные столбцы линейно независимы. Предполагается, что матрица коэффициентов без среднего имеет некоторый правый блок неполного столбцового ранга. Выбором управления в виде обратной связи u = U (t)x с непрерывной ω-периодической (n x n)-матрицей U (t) решается задача управления асинхронным спектром

Достаточное условие неразрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с диагональным усреднением матрицы коэффициентов

We consider a linear control system with an almost periodic matrix of the coefficients. The control has the form of feedback that is linear on the phase variables. It is assumed that the feedback coefficient is almost periodic and its frequency modulus, i. e. the smallest additive group of real numbers, including all the Fourier exponents of this coefficient, is contained in the frequency modulus of the coefficient matrix. The following problem is formulated: choose a control from an admissible set for which the system closed by this control has almost periodic solutions with the frequency spectrum (a set of Fourier exponents) containing a predetermined subset, and the intersection of the frequency modules of solution and the coefficient matrix is trivial. The problem is called as the control problem of the spectrum of irregular oscillations (asynchronous spectrum) with the target set of frequencies. At present, this problem has been studied only in a very special case, when the average value of the almost periodic coefficients matrix of the system is zero. In the case of nontrivial averaging, the question remains open. In the paper, a sufficient condition is obtained under which the control problem of the asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with diagonal averaging of the coefficient matrix has no solution.Рассматривается линейная система управления с почти периодической матрицей коэффициентов и управлением в виде обратной связи, линейной по фазовым переменным. Предполагается, что коэффициент обратной связи является почти периодическим и модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого коэффициента, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов. Ставится следующая задача: выбрать такое управление из допустимого множества, чтобы у замкнутой управлением системы появились почти периодические решения, спектр частот (множество показателей Фурье) которых содержит наперед заданное подмножество, а пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. Поставленная задача названа задачей управления спектром нерегулярных колебаний (асинхронным спектром) с целевым множеством частот. К настоящему времени она изучена только в весьма частном случае, когда среднее значение почти периодической матрицы коэффициентов системы является нулевым. В случае же ненулевого усреднения вопрос остается открытым. В работе получено достаточное условие, при выполнении которого задача управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с диагональным усреднением матрицы коэффициентов не имеет решения

ЗАДАЧА УПРАВЛЕНИЯ АСИНХРОННЫМ СПЕКТРОМ ЛИНЕЙНЫХ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ С БЛОЧНЫМ ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ УСРЕДНЕНИЯ МАТРИЦЫ КОЭФФИЦИЕНТОВ

We conseder a linear quasiperiodic control system closed by the phase variables-linear feedback. It is assumed that the average coefficient matrix has a block representation. The control problem of an asynchronous multifrequency spectrum is solved.Рассматривается линейная квазипериодическая система управления, замкнутая линейной по фазовым переменным обратной связью. Предполагается, что усредненная матрица коэффициентов имеет блочное представление. Решается задача управления асинхронным многочастотным спектром

О СИЛЬНО НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ЛИНЕЙНОГО ОДНОРОДНОГО ДИСКРЕТНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

 In 1950 J. Massera proved that a fi rst-order scalar periodic ordinary differential equation has no strongly ira proved that a first-order scalar periodic ordinary differential equation has no strongly irregular periodic solutions, that is, such solutions whose period of solution is incommensurable with the period of equation. For difference equations with discrete time, strong irregularity means that the period of the equation and the period of its solution are relatively prime numbers. It is known that in the case of discrete equations, the above result of J. Massera has no complete analog.The purpose of this article is to investigate the possibility to realize Massera’s theorem for certain classes of difference equations. To do this, we consider the class of linear difference equations. It is proved that a first-order linear homogeneous non-stationary periodic discrete equation has no strongly irregular non-stationary periodic solutions. В 1950 г. Х. Массера доказал, что скалярное периодическое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка не имеет сильно нерегулярных периодических решений, т. е. таких, что период решения несоизмерим с периодом уравнения. Для разностных уравнений с дискретным временем сильная нерегулярность означает, что период уравнения является взаимно простым по отношеню к периоду его решения. Известно, что в случае дискретных уравнений упомянутый результат Х. Массеры полного аналога не имеет.Цель работы – исследовать возможность реализации аналога теоремы Х. Массеры для некоторых классов разностных уравнений. Для этого рассматривается класс линейных разностных уравнений. Доказано, что линейное однородное нестационарное периодическое дискретное уравнение первого порядка не имеет сильно нерегулярных периодических решений, отличных от постоянных

Необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с нулевым средним матрицы коэффициентов

We consider a linear control system with an almost periodic matrix of coefficients. The control has a form of feedback and is linear in phase variables. It is assumed that the feedback coefficient is almost periodic and its frequency modulus, i.e. the smallest additive group of real numbers, including all Fourier exponents of this coefficient, is contained in the frequency module of the coefficient matrix.The following problem is formulated: choose such a control from an admissible set so that the closed system has almost periodic solutions, the frequency spectrum (a set of Fourier exponents) of which contains a predetermined subset, and the intersection of the solution frequency modules and the coefficient matrix is trivial. The problem is called the control problem of the spectrum of irregular oscillations (asynchronous spectrum) with a target set of frequencies.The aim of the work aws to obtain a necessary solvability condition for the control problem of the asynchronous spectrum of linear almost periodic systems with trivial averaging of coefficient matrix The estimate of the power of the asynchronous spectrum was found in the case of trivial averaging of the coefficient matrix.Рассматривается линейная система управления с почти периодической матрицей коэффициентов и управлением в виде обратной связи, линейной по фазовым переменным. Предполагается, что коэффициент обратной связи является почти периодическим и модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого коэффициента, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов.Формулируется следующая задача: выбрать такое управление из допустимого множества, чтобы у замкнутой управлением системы появились почти периодические решения, спектр частот (множество показателей Фурье) которых содержит наперед заданное подмножество, а пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. Поставленная задача названа задачей управления спектром нерегулярных колебаний (асинхронным спектром) с целевым множеством частот.Цель работы – получить необходимое условие разрешимости задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем в случае, когда усреднение матрицы коэффициентов является тривиальным. В рассматриваемом случае найдена оценка мощности асинхронного спектра

О сильно нерегулярных периодических решениях линейного неоднородного дискретного уравнения первого порядка

As is proved earlier (the Massera theorem), the first-order scalar periodic ordinary differential equation does not have strongly irregular periodic solutions (solutions with a period incommensurable with the period of the equation). For difference equations with discrete time, strong irregularity means that the equation period and the period of its solution are relatively prime numbers. It is known that in the case of discrete equations, the mentioned result has no complete analog.The purpose of this paper is to investigate the possibility of realizing an analog of the Massera theorem for certain classes of difference equations. To do this, we consider the class of linear difference equations. It is proved that a linear nonhomogeneous non-stationary periodic discrete equation of the first order does not have strongly irregular non-stationary periodic solutions.Как уже было доказано ранее (теорема Массеры) скалярное периодическое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка не имеет сильно нерегулярных периодических решений, т. е. таких, что период решения несоизмерим с периодом уравнения. Для разностных уравнений с дискретным временем сильная нерегулярность означает, что период уравнения является взаимно простым по отношению к периоду его решения. Известно, что в случае дискретных уравнений упомянутый результат полного аналога не имеет.Цель настоящей работы – исследовать возможность реализации аналога теоремы Массеры для некоторых классов разностных уравнений. Для этого рассматривается класс линейных разностных уравнений. Доказано, что линейное неоднородное нестационарное периодическое дискретное уравнение первого порядка не имеет сильно нерегулярных периодических решений, отличных от постоянных

Разрешимость задачи управления асинхронным спектром линейных почти периодических систем с нижнетреугольным представлением усреднения матрицы коэффициентов

A linear control system with an almost periodic matrix of coefficients and control in the form of the feedback linear in phase variables is considered. It is assumed that the feedback coefficient is almost periodic and its frequency module, i. e. the smallest additive group of real numbers, including all the Fourier exponents of this coefficient, is contained in the frequency module of the coefficient matrix. The system under consideration is studied in the case of a triangular average value of the matrix of coefficients. For the described class of systems, the control problem of the asynchronous spectrum with a target set of frequencies is solved. This task is to construct such a control from an admissible set that the system closed by this control has almost periodic solutions, a set of the Fourier exponents of which contains a predetermined subset, and the intersection of the solution frequency modules and the coefficient matrix is trivial. The necessary and sufficient conditions for the solvability of this problem are obtained.Рассматривается линейная система управления с почти периодической матрицей коэффициентов и управлением в виде обратной связи, линейной по фазовым переменным. Предполагается, что коэффициент обратной связи является почти периодическим и модуль его частот, т. е. наименьшая аддитивная группа вещественных чисел, включающая все показатели Фурье этого коэффициента, содержится в частотном модуле матрицы коэффициентов. Изучается случай, когда матрица при управлении является вырожденной, а усреднение матрицы коэффициентов приводится к нижнетреугольному виду. Для описанного класса систем ставится задача управления асинхронным спектром с целевым множеством частот, которая заключается в построении такого управления из допустимого множества, чтобы у замкнутой этим управлением системы появились почти периодические решения, множество показателей Фурье которых содержит наперед заданное подмножество, а пересечение модулей частот решения и матрицы коэффициентов тривиально. В работе получены необходимые и достаточные условия разрешимости поставленной задачи

Аппроксимация изолированной волны эпидемического процесса с помощью комбинации экспонент

The most commonly used methods for the medium- and long-term forecasting of epidemic processes are based on the classical SIR (susceptible – infected – recovered) model and its numerous modifications. In this approach, the dynamics of the epidemic is approximated using the solutions of differential or discrete equations. The forecasting methods based on the approximation of data by functions of a given class are usually focused on obtaining a short-term forecast. They are not used for the long-term forecasts of epidemic processes due to their insufficient efficiency for forecasting nonstationary processes. In this paper, we formulated a hypothesis that the primary waves of the COVID-19 pandemic, which took place in a number of European countries, including the Republic of Belarus, in the spring-summer of 2020 are isolated and therefore can be regarded as processes close to stationary. On the basis of this hypothesis, a method of approximating isolated epidemic process waves by means of generalized logistic functions with an increased number of exponents was proposed. The developed approach was applied to predict the number of infected people in the Republic of Belarus for the period until August 2020 based on data from the beginning of the epidemic until June 12, 2020.Наиболее часто применяемыми методами средне- и долгосрочного прогнозирования развития эпидемических процессов являются методы, основанные на использовании классической модели SIR (восприимчивые – инфицированные – выздоровевшие) и ее многочисленных модификаций. При этом подходе динамика эпидемии аппроксимируется с помощью решений дифференциальных или дискретных уравнений. Методы прогнозирования, основанные на аппроксимации данных функциями заданного класса, как правило, ориентированы на получение краткосрочного прогноза. Для долгосрочных прогнозов эпидемических процессов они не используются по причине их недостаточной эффективности для прогнозирования нестационарных процессов. В настоящей работе сформулирована гипотеза, что первичные волны пандемии COVID-19, которые проходили весной – летом 2020 г. в ряде европейских стран, в том числе и в Республике Беларусь, являются изолированными, и поэтому могут рассматриваться как процессы, близкие к стационарным. На основе этой гипотезы предложен способ аппроксимации изолированных волн эпидемического процесса с помощью обобщенных логистических функций с увеличенным количеством экспонент. Разработанный подход применен для прогнозирования количества инфицированных в Республике Беларусь на период до августа 2020 г. по данным от начала эпидемии до 12 июня 2020 г