Well-posedness, regularity, asymptotic behavior and analyticity for some plate-membrane type transmission problems

In this thesis some plate-membrane type transmission problems are studied. Three dampings are considered on the structure: thermal and structural for the plate, and global viscoelastic of Kelvin-Voigt type on the membrane. Sometimes some damping is removed from the structure. The plate may or may not have an inertial term. In the presence and/or absence of any of the elements mentioned above, we establish existence and uniqueness of solution of the system, which depends continuously on the initial data. We also obtain results of regularity, stability and analyticity. We use the semigroup approach to show the well-posedness our system. Following an idea of proof of regularity developed by Avalos and Lasiecka, we prove that if the inertial term is present or absent then the boundary and transmission conditions hold in the strong sense of the trace when the initial data are smooth enough. Then, using a general criteria of Arendt-Batty, we show the strong stability of our system when the membrane is damped and the plate is with or without rotational inertia. Employing a spectral approach, we indirectly prove exponential stability when the plate has rotational inertia and the structure is totally damped. This asymptotic behavior of the solutions is lost when we remove the viscoelastic component of the membrane. Under this situation, we impose a geometrical condition on the membrane boundary and obtain that the solutions decay polynomially with a rate of order at least 1/25 when the plate has rotational inertia and structural damping. Finally, using a well-known Liu-Zheng criterion we prove by contradiction the analyticity of the system when the membrane has Kelvin-Voigt damping and the thermoelastic plate is considered without inertial term and without structural damping.DoctoradoDoctor en Ciencias Naturale

Stability results of an elastic/viscoelastic transmission problem of locally coupled waves with non smooth coefficients

We investigate the stabilization of a locally coupled wave equations with only one internal viscoelastic damping of Kelvin-Voigt type. The main novelty in this paper is that both the damping and the coupling coefficients are non smooth. First, using a general criteria of Arendt-Batty, combined with an uniqueness result, we prove that our system is strongly stable. Next, using a spectrum approach, we prove the non-exponential (uniform) stability of the system. Finally, using a frequency domain approach, combined with a piecewise multiplier technique and the construction of a new multiplier satisfying some ordinary differential equations, we show that the energy of smooth solutions of the system decays polynomially of type t^{-1}.Comment: arXiv admin note: text overlap with arXiv:1805.10430 by other author

Regularity and Asymptotic Behaviour for a Damped Plate-Membrane Transmission Problem

Barraz Martínez B, Denk R, Hernández Monzón J, Kammerlander F, Nendel M. Regularity and Asymptotic Behaviour for a Damped Plate-Membrane Transmission Problem. Center for Mathematical Economics Working Papers. Vol 596. Bielefeld: Center for Mathematical Economics; 2018.We consider a transmission problem where a structurally damped plate equation is coupled with a damped or undamped wave equation by transmission conditions. We show that exponential stability holds in the damped-damped situation and polynomial stability (but no exponential stability) holds in the damped-undamped case. Additionally, we show that the solutions first defined by the weak formulation, in fact have higher Sobolev space regularity

Modeling and simulation of cell-cel and cell-matrix interactions

Las propiedades químicas y físicas del medio ambiente regulan diversos procesos como la diferenciación celular, la proliferación o la apoptosis. Las células necesitan adaptarse rápidamente a las características ambientales para poder moverse. Éstas son capaces de sentir las propiedades de su entorno mediante la formación de adhesiones y la transmisión de fuerza a través de ellas. La interacción entre la célula y la matriz extracelular (ECM) está mediada por adhesiones focales (FA) o complejos focales que presentan una alta concentración de los receptores de adhesión de la familia de las integrinas. Las células también interactúan con otras células a través de diferentes estructuras adhesivas como uniones adherentes, que también contienen altos niveles de otros receptores transmembrana conocidos como cadherinas. Estas adhesiones de células-ECM y célula-célula son cruciales en los procesos mecano sensores, siendo responsables de la transmisión de las fuerzas generadas por las células a su entorno y participando en la transducción de señales mecánicas en señales bioquímicas. La influencia de estas estructuras adhesivas en el movimiento celular es crucial. Las células las utilizan para sentir su entorno, reorganizar su estructura y ejercer las fuerzas necesarias para su movimiento. Además, el movimiento y la forma de las células varían significativamente dependiendo de la rigidez de los sustratos o de si la migración ocurre en sustratos planos o matrices tridimensionales. La presencia de otras células también tiene un impacto importante en la migración. Cuando las células se mueven colectivamente, se forma una colaboración entre ellas (a través de las adhesiones célula-célula) para lograr una migración más eficiente. La estabilidad de la unión célula-célula en algunas monocapas celulares, como el endotelio, es crucial durante diversos procesos, incluyendo la inflamación y la metástasis del cáncer. La ruptura de las adhesiones provoca la formación de huecos que pueden permitir que las células inmunes o cancerosas transmigren a través del endotelio.En esta tesis, se estudia, desde un punto de vista mecánico, el papel de estas diferentes estructuras de adhesión en diversos procesos como la migración celular o la integridad de la unión de células endoteliales. Este trabajo se centra en cómo las propiedades mecánicas del entorno influyen en la formación de la adhesión y la transmisión de fuerzas. Para lograr este objetivo, se diseñan cuatro modelos computacionales diferentes para simular el proceso de transmisión de fuerza a través de las adhesiones célula-matriz o célula-célula en diferentes escenarios y estudiar el comportamiento emergente del sistema en cada caso. En el capítulo 2, se ha propuesto un modelo computacional discreto para simular las adhesiones de ECM-célula en sustratos planos durante la retracción de un filopodio. Este modelo incluye un filamento de actina, proteínas adhesivas y una matriz extracelular con una distribución espacial de los sitios de unión, también conocidos como ligandos. El filamento de actina se simula como una barra rígida, y el sustrato y las proteínas adhesivas (complejos de adhesión) como barras deformables. Los complejos de adhesión se pueden unir, desacoplar y desplegar de forma dinámica dependiendo de la fuerza que soportan. Son ellos los que unen los monómeros del filamento de actina con los ligandos en el sustrato. Para reproducir el movimiento por el medio de los complejos de adhesión que se encuentran completamente libres se utiliza dinámica Browniana. El objetivo de este modelo es estudiar cómo las diferentes propiedades mecánicas del sustrato influyen en la transmisión de fuerza, la velocidad de actina y el tamaño de adhesión. A su vez, este modelo se amplía en el material suplementario añadiendo la posibilidad de simular el fenómeno de refuerzo de la adhesión.En el tercer capítulo, se adapta el modelo del capítulo anterior para simular el proceso de retracción de una protusión adherida a una fibra tridimensional de la matriz extracelular. La simulación de las protusiones de actina y de los complejos de adhesión se realizan con los modelos del capítulo 2. Sin embargo, la matriz extracelular se simula como una fibra en tres dimensiones, rígida y que es capaz de rotar y moverse en función de las fuerzas a las que está sujeta y de las propiedades mecánicas de la unión entre distintas fibras. Este modelo permite estudiar cómo la orientación inicial entre la célula y la fibra matricial y las propiedades de las proteínas reticuladas de las fibras matriciales son cruciales para que la célula pueda unirse a la matriz. El modelo también pone de manifiesto la importancia de diferentes aspectos como el despliegue de proteínas, la concentración o densidad de ligandos y el diámetro de la fibra en la adhesión célula-matriz.En el capítulo 4, se modifica el modelo del capítulo 2 y se simula una célula completa para medir el nivel de durotaxis que una sola célula o un grupo de células muestran en diferentes condiciones. Este modelo combina ambas interacciones: célula-ECM y célula-célula. Todos los elementos del modelo se simulan como elementos barra con propiedades elástico lineales. Las células son barras que tienen una parte contráctil en el centro de la célula y dos zonas adhesivas a ambos lados de la zona contráctil donde se colocan los monómeros de actina. Finalmente, tienen dos zonas protrusivas en ambos extremos de la célula donde la célula crece y polimeriza. Se implementan sustratos con diferentes gradientes de rigidez para simular el fenómeno de durotaxis. Las células también pueden colocarse solas o unidas entre sí formando una monocapa con proteínas de cadherina. De esta manera, se puede simular tanto la migración celular individual como la colectiva. Se propone un mecanismo de equilibrio de fuerza entre ambos extremos de la célula para explicar el fenómeno de durotaxis. Posteriormente, el modelo se emplea para observar las diferencias entre la migración celular individual y colectiva y para observar cómo diferentes condiciones como las fuerzas de la miosina, el tamaño de la monocapa o el nivel de adhesión influyen en el proceso de durotaxis.En el quinto capítulo, se propone un modelo discreto, diferente a los anteriores, para simular la ruptura de la adhesión célula-célula y la consiguiente generación de huecos en una monocapa endotelial. Se propone un modelo basado en agentes donde las células son simuladas como objetos 2D formados por dos tipos de barras que representan la membrana y las fibras de esfuerzo. Se utilizan elementos Kelvin-Voigt para simular tanto fibras de esfuerzo como estructuras de membrana. Las células se unen entre sí a través de complejos de cadherina. Estas cadherinas se unen y separan dinámicamente, de la misma manera que lo hacían los complejos de adhesión en los modelos anteriores. Este modelo permite identificar la frecuencia, ubicación, tamaño y vida de los huecos que se generan como consecuencia de la ruptura las adhesiones. Además, ofrece la posibilidad de identificar cómo diferentes factores como las propiedades mecánicas de las células, las fuerzas generadas por la miosina, las características de las uniones y la densidad de cadherinas influyen en la generación de los huecos, su propagación, estabilización y finalmente sellado de los mismos. <br /

Un problema de transmisión para un Sistema Barra-Banda-Barra con amortiguamientos locales

Como trabajo de grado para la Maestría en Matemáticas, se considera estudiar el buen planteamiento y estabilidad exponencial de un problema de transmisión en un sistema barra-banda-barra con amortiguamientos locales. Se busca entonces mostrar resultados de existencia y unicidad de soluciones para el problema planteado en el Capítulo 1 y resultados relacionados a su estabilidad exponencial usando teoría de ecuaciones diferenciales parciales, en particular se utiliza el enfoque de semigrupos fuertemente continuos sobre ciertos espacios de Sobolev para el buen planeamiento y el método de la energía para la estabilidad exponencial. El trabajo de grado está organizado de la siguiente manera. En el Capítulo 1, se realiza la descripción al problema de transmisión junto con sus condiciones de transmisión y de frontera. En el Capítulo 2, se presentan conceptos y resultados preliminares de la teoría de análisis funcional y de la teoría de semigrupos de operadores. En el Capítulo 3, se muestra como un resultado importante que, para este tipo de estructura el problema de Cauchy asociado posee una única solución y esta depende continuamente de los datos iniciales. En el Capítulo 4, se presenta como resultado principal que, para este tipo de estructura la solución del sistema asociado presenta un decaimiento exponencial si los amortiguamientos se aplican de forma total en cada pieza que la conforma.MaestríaMagister en Matemática