Design and Analysis of Multidimensional Data Structures

Aquesta tesi està dedicada al disseny i a l'anàlisi d'estructures de dades multidimensionals, és a dir, estructures de dades que serveixen per emmagatzemar registres $K$-dimensionals que solen representar-se com a punts en l'espai $[0,1]^K$. Aquestes estructures tenen aplicacions en diverses àrees de la informàtica com poden ser els sistemes d'informació geogràfica, la robòtica, el processament d'imatges, la world wide web, el data mining, entre d'altres. Les estructures de dades multidimensionals també es poden utilitzar com a indexos d'estructures de dades que emmagatzemen, possiblement en memòria externa, dades més complexes que els punts.Les estructures de dades multidimensionals han d'oferir la possibilitat de realitzar operacions d'inserció i esborrat de claus dinàmicament, a més de permetre realitzar cerques anomenades associatives. Exemples d'aquest tipus de cerques són les cerques per rangs ortogonals (quins punts cauen dintre d'un hiper-rectangle donat?) i les cerques del veí més proper (quin és el punt més proper a un punt donat?).Podem dividir les contribucions d'aquesta tesi en dues parts: La primera part està relacionada amb el disseny d'estructures de dades per a punts multidimensionals. Inclou el disseny d'arbres binaris $K$-dimensionals al·leatoritzats (Randomized $K$-d trees), el d'arbres quaternaris al·leatoritzats (Randomized quad trees) i el d'arbres multidimensionals amb punters de referència (Fingered multidimensional trees).La segona part analitza el comportament de les estructures de dades multidimensionals. En particular, s'analitza el cost mitjà de les cerques parcials en arbres $K$-dimensionals relaxats, i el de les cerques per rang en diverses estructures de dades multidimensionals. Respecte al disseny d'estructures de dades multidimensionals, proposem algorismes al·leatoritzats d'inserció i esborrat de registres per als arbres $K$-dimensionals i per als arbres quaternaris. Aquests algorismes produeixen arbres aleatoris, independentment de l'ordre d'inserció dels registres i desprès de qualsevol seqüència d'insercions i esborrats. De fet, el comportament esperat de les estructures produïdes mitjançant els algorismes al·leatoritzats és independent de la distribució de les dades d'entrada, tot i conservant la simplicitat i la flexibilitat dels arbres $K$-dimensionals i quaternaris estàndard. Introduïm també els arbres multidimensionals amb punters de referència. Això permet que les estructures multidimensionals puguin aprofitar l'anomenada localitat de referència en cerques associatives altament correlacionades.I respecte de l'anàlisi d'estructures de dades multidimensionals, primer analitzem el cost esperat de las cerques parcials en els arbres $K$-dimensionals relaxats. Seguidament utilitzem aquest resultat com a base per a l'anàlisi de les cerques per rangs ortogonals, juntament amb arguments combinatoris i geomètrics. D'aquesta manera obtenim un estimat asimptòtic precís del cost de les cerques per rangs ortogonals en els arbres $K$-dimensionals aleatoris. Finalment, mostrem que les tècniques utilitzades es poden estendre fàcilment a d'altres estructures de dades i per tant proporcionem una anàlisi exacta del cost mitjà de cerques per rang en estructures de dades com són els arbres $K$-dimensionals estàndard, els arbres quaternaris, els tries quaternaris i els tries $K$-dimensionals.Esta tesis está dedicada al diseño y al análisis de estructuras de datos multidimensionales; es decir, estructuras de datos específicas para almacenar registros $K$-dimensionales que suelen representarse como puntos en el espacio $[0,1]^K$. Estas estructuras de datos tienen aplicaciones en diversas áreas de la informática como son: los sistemas de información geográfica, la robótica, el procesamiento de imágenes, la world wide web o data mining, entre otras.Las estructuras de datos multidimensionales suelen utilizarse también como índices de estructuras que almacenan, posiblemente en memoria externa, datos complejos.Las estructuras de datos multidimensionales deben ofrecer la posibilidad de realizar operaciones de inserción y borrado de llaves de manera dinámica, pero además deben permitir realizar búsquedas asociativas en los registros almacenados. Ejemplos de búsquedas asociativas son las búsquedas por rangos ortogonales (¿qué puntos de la estructura de datos están dentro de un hiper-rectángulo dado?) y las búsquedas del vecino más cercano (¿cuál es el punto de la estructura de datos más cercano a un punto dado?).Las contribuciones de esta tesis se dividen en dos partes:La primera parte está dedicada al diseño de estructuras de datos para puntos multidimensionales, que incluye el diseño de los árboles binarios $K$-dimensionales aleatorios (Randomized $K$-d trees), el de los árboles cuaternarios aleatorios (Randomized quad trees), y el de los árboles multidimensionales con punteros de referencia (Fingered multidimensional trees).La segunda parte contiene contribuciones al análisis del comportamiento de las estructuras de datos para puntos multidimensionales. En particular, damos el análisis del costo promedio de las búsquedas parciales en los árboles $K$-dimensionales relajados y el de las búsquedas por rango en varias estructuras de datos multidimensionales.Con respecto al diseño de estructuras de datos multidimensionales, proponemos algoritmos aleatorios de inserción y borrado de registros para los árboles $K$-dimensionales y los árboles cuaternarios que producen árboles aleatorios independientemente del orden de inserción de los registros y después de cualquier secuencia de inserciones y borrados intercalados. De hecho, con la aleatorización garantizamos un buen rendimiento esperado de las estructuras de datos resultantes, que es independiente de la distribución de los datos de entrada, conservando la flexibilidad y la simplicidad de los árboles $K$-dimensionales y de los árboles cuaternarios estándar. También proponemos los árboles multidimensionales con punteros de referencia, una técnica que permite que las estructuras de datos multidimensionales exploten la localidad de referencia en búsquedas asociativas que se presentan altamente correlacionadas.Con respecto al análisis de estructuras de datos multidimensionales, comenzamos dando un análisis preciso del costo esperado de las búsquedas parciales en los árboles $K$-dimensionales relajados. A continuación, utilizamos este resultado como base para el análisis de las búsquedas por rangos ortogonales, combinándolo con argumentos combinatorios y geométricos. Como resultado obtenemos un estimado asintótico preciso del costo de las búsquedas por rango en los árboles $K$-dimensionales relajados. Finalmente, mostramos que las técnicas utilizadas pueden extenderse fácilmente a otras estructuras de datos y por tanto proporcionamos un análisis preciso del costo promedio de búsquedas por rango en estructuras de datos como los árboles $K$-dimensionales estándar, los árboles cuaternarios, los tries cuaternarios y los tries $K$-dimensionales.This thesis is about the design and analysis of point multidimensional data structures: data structures that store $K$-dimensional keys which we may abstract as points in $[0,1]^K$. These data structures are present in many applications of geographical information systems, image processing or robotics, among others. They are also frequently used as indexes of more complex data structures, possibly stored in external memory.Point multidimensional data structures must have capabilities such as insertion, deletion and (exact) search of items, but in addition they must support the so called {em associative queries}. Examples of these queries are orthogonal range queries (which are the items that fall inside a given hyper-rectangle?) and nearest neighbour queries (which is the closest item to some given point?).The contributions of this thesis are two-fold:Contributions to the design of point multidimensional data structures: the design of randomized $K$-d trees, the design of randomized quad trees and the design of fingered multidimensional search trees;Contributions to the analysis of the performance of point multidimensional data structures: the average-case analysis of partial match queries in relaxed $K$-d trees and the average-case analysis of orthogonal range queries in various multidimensional data structures.Concerning the design of randomized point multidimensional data structures, we propose randomized insertion and deletion algorithms for $K$-d trees and quad trees that produce random $K$-d trees and quad trees independently of the order in which items are inserted into them and after any sequence of interleaved insertions and deletions. The use of randomization provides expected performance guarantees, irrespective of any assumption on the data distribution, while retaining the simplicity and flexibility of standard $K$-d trees and quad trees.Also related to the design of point multidimensional data structures is the proposal of fingered multidimensional search trees, a new technique that enhances point multidimensional data structures to exploit locality of reference in associative queries.With regards to performance analysis, we start by giving a precise analysis of the cost of partial matches in randomized $K$-d trees. We use these results as a building block in our analysis of orthogonal range queries, together with combinatorial and geometric arguments and we provide a tight asymptotic estimate of the cost of orthogonal range search in randomized $K$-d trees. We finally show that the techniques used apply easily to other data structures, so we can provide an analysis of the average cost of orthogonal range search in other data structures such as standard $K$-d trees, quad trees, quad tries, and $K$-d tries

Design and Analysis of Multidimensional Data Structures

Aquesta tesi està dedicada al disseny i a l'anàlisi d'estructures de dades multidimensionals, és a dir, estructures de dades que serveixen per emmagatzemar registres $K$-dimensionals que solen representar-se com a punts en l'espai $[0,1]^K$. Aquestes estructures tenen aplicacions en diverses àrees de la informàtica com poden ser els sistemes d'informació geogràfica, la robòtica, el processament d'imatges, la world wide web, el data mining, entre d'altres. Les estructures de dades multidimensionals també es poden utilitzar com a indexos d'estructures de dades que emmagatzemen, possiblement en memòria externa, dades més complexes que els punts.Les estructures de dades multidimensionals han d'oferir la possibilitat de realitzar operacions d'inserció i esborrat de claus dinàmicament, a més de permetre realitzar cerques anomenades associatives. Exemples d'aquest tipus de cerques són les cerques per rangs ortogonals (quins punts cauen dintre d'un hiper-rectangle donat?) i les cerques del veí més proper (quin és el punt més proper a un punt donat?).Podem dividir les contribucions d'aquesta tesi en dues parts: La primera part està relacionada amb el disseny d'estructures de dades per a punts multidimensionals. Inclou el disseny d'arbres binaris $K$-dimensionals al·leatoritzats (Randomized $K$-d trees), el d'arbres quaternaris al·leatoritzats (Randomized quad trees) i el d'arbres multidimensionals amb punters de referència (Fingered multidimensional trees).La segona part analitza el comportament de les estructures de dades multidimensionals. En particular, s'analitza el cost mitjà de les cerques parcials en arbres $K$-dimensionals relaxats, i el de les cerques per rang en diverses estructures de dades multidimensionals. Respecte al disseny d'estructures de dades multidimensionals, proposem algorismes al·leatoritzats d'inserció i esborrat de registres per als arbres $K$-dimensionals i per als arbres quaternaris. Aquests algorismes produeixen arbres aleatoris, independentment de l'ordre d'inserció dels registres i desprès de qualsevol seqüència d'insercions i esborrats. De fet, el comportament esperat de les estructures produïdes mitjançant els algorismes al·leatoritzats és independent de la distribució de les dades d'entrada, tot i conservant la simplicitat i la flexibilitat dels arbres $K$-dimensionals i quaternaris estàndard. Introduïm també els arbres multidimensionals amb punters de referència. Això permet que les estructures multidimensionals puguin aprofitar l'anomenada localitat de referència en cerques associatives altament correlacionades.I respecte de l'anàlisi d'estructures de dades multidimensionals, primer analitzem el cost esperat de las cerques parcials en els arbres $K$-dimensionals relaxats. Seguidament utilitzem aquest resultat com a base per a l'anàlisi de les cerques per rangs ortogonals, juntament amb arguments combinatoris i geomètrics. D'aquesta manera obtenim un estimat asimptòtic precís del cost de les cerques per rangs ortogonals en els arbres $K$-dimensionals aleatoris. Finalment, mostrem que les tècniques utilitzades es poden estendre fàcilment a d'altres estructures de dades i per tant proporcionem una anàlisi exacta del cost mitjà de cerques per rang en estructures de dades com són els arbres $K$-dimensionals estàndard, els arbres quaternaris, els tries quaternaris i els tries $K$-dimensionals.Esta tesis está dedicada al diseño y al análisis de estructuras de datos multidimensionales; es decir, estructuras de datos específicas para almacenar registros $K$-dimensionales que suelen representarse como puntos en el espacio $[0,1]^K$. Estas estructuras de datos tienen aplicaciones en diversas áreas de la informática como son: los sistemas de información geográfica, la robótica, el procesamiento de imágenes, la world wide web o data mining, entre otras.Las estructuras de datos multidimensionales suelen utilizarse también como índices de estructuras que almacenan, posiblemente en memoria externa, datos complejos.Las estructuras de datos multidimensionales deben ofrecer la posibilidad de realizar operaciones de inserción y borrado de llaves de manera dinámica, pero además deben permitir realizar búsquedas asociativas en los registros almacenados. Ejemplos de búsquedas asociativas son las búsquedas por rangos ortogonales (¿qué puntos de la estructura de datos están dentro de un hiper-rectángulo dado?) y las búsquedas del vecino más cercano (¿cuál es el punto de la estructura de datos más cercano a un punto dado?).Las contribuciones de esta tesis se dividen en dos partes:La primera parte está dedicada al diseño de estructuras de datos para puntos multidimensionales, que incluye el diseño de los árboles binarios $K$-dimensionales aleatorios (Randomized $K$-d trees), el de los árboles cuaternarios aleatorios (Randomized quad trees), y el de los árboles multidimensionales con punteros de referencia (Fingered multidimensional trees).La segunda parte contiene contribuciones al análisis del comportamiento de las estructuras de datos para puntos multidimensionales. En particular, damos el análisis del costo promedio de las búsquedas parciales en los árboles $K$-dimensionales relajados y el de las búsquedas por rango en varias estructuras de datos multidimensionales.Con respecto al diseño de estructuras de datos multidimensionales, proponemos algoritmos aleatorios de inserción y borrado de registros para los árboles $K$-dimensionales y los árboles cuaternarios que producen árboles aleatorios independientemente del orden de inserción de los registros y después de cualquier secuencia de inserciones y borrados intercalados. De hecho, con la aleatorización garantizamos un buen rendimiento esperado de las estructuras de datos resultantes, que es independiente de la distribución de los datos de entrada, conservando la flexibilidad y la simplicidad de los árboles $K$-dimensionales y de los árboles cuaternarios estándar. También proponemos los árboles multidimensionales con punteros de referencia, una técnica que permite que las estructuras de datos multidimensionales exploten la localidad de referencia en búsquedas asociativas que se presentan altamente correlacionadas.Con respecto al análisis de estructuras de datos multidimensionales, comenzamos dando un análisis preciso del costo esperado de las búsquedas parciales en los árboles $K$-dimensionales relajados. A continuación, utilizamos este resultado como base para el análisis de las búsquedas por rangos ortogonales, combinándolo con argumentos combinatorios y geométricos. Como resultado obtenemos un estimado asintótico preciso del costo de las búsquedas por rango en los árboles $K$-dimensionales relajados. Finalmente, mostramos que las técnicas utilizadas pueden extenderse fácilmente a otras estructuras de datos y por tanto proporcionamos un análisis preciso del costo promedio de búsquedas por rango en estructuras de datos como los árboles $K$-dimensionales estándar, los árboles cuaternarios, los tries cuaternarios y los tries $K$-dimensionales.This thesis is about the design and analysis of point multidimensional data structures: data structures that store $K$-dimensional keys which we may abstract as points in $[0,1]^K$. These data structures are present in many applications of geographical information systems, image processing or robotics, among others. They are also frequently used as indexes of more complex data structures, possibly stored in external memory.Point multidimensional data structures must have capabilities such as insertion, deletion and (exact) search of items, but in addition they must support the so called {em associative queries}. Examples of these queries are orthogonal range queries (which are the items that fall inside a given hyper-rectangle?) and nearest neighbour queries (which is the closest item to some given point?).The contributions of this thesis are two-fold:Contributions to the design of point multidimensional data structures: the design of randomized $K$-d trees, the design of randomized quad trees and the design of fingered multidimensional search trees;Contributions to the analysis of the performance of point multidimensional data structures: the average-case analysis of partial match queries in relaxed $K$-d trees and the average-case analysis of orthogonal range queries in various multidimensional data structures.Concerning the design of randomized point multidimensional data structures, we propose randomized insertion and deletion algorithms for $K$-d trees and quad trees that produce random $K$-d trees and quad trees independently of the order in which items are inserted into them and after any sequence of interleaved insertions and deletions. The use of randomization provides expected performance guarantees, irrespective of any assumption on the data distribution, while retaining the simplicity and flexibility of standard $K$-d trees and quad trees.Also related to the design of point multidimensional data structures is the proposal of fingered multidimensional search trees, a new technique that enhances point multidimensional data structures to exploit locality of reference in associative queries.With regards to performance analysis, we start by giving a precise analysis of the cost of partial matches in randomized $K$-d trees. We use these results as a building block in our analysis of orthogonal range queries, together with combinatorial and geometric arguments and we provide a tight asymptotic estimate of the cost of orthogonal range search in randomized $K$-d trees. We finally show that the techniques used apply easily to other data structures, so we can provide an analysis of the average cost of orthogonal range search in other data structures such as standard $K$-d trees, quad trees, quad tries, and $K$-d tries

Maintenance et simulation de graphes aléatoires dynamiques

We study the problem of maintaining a given distribution of randomgraphs under an arbitrary sequence of vertex insertions and deletions. Keeping inmind our objective to model the evolution of dynamic logical networks, we work ina local model where we do not have direct access to the list of all vertices. Instead,we assume access to a global primitive that returns a random vertex, chosen uniformlyfrom the whole vertex set. The maintenance problem has been explored onseveral simple random graph models (Erdos–Rényi random graphs, pairing modelbased random graphs, uniform k-out graphs). For each model, one or several updatealgorithms for the maintenance task have been described and analyzed ; the mostelaborate of them are asymptically optimal. The maintenance task rise several simulationissues linked to our distributed context. In particular, we have focused onmaintenability of random graph distributions and simulability of families of probabilitydistributions over integers in our local random model. Special attention hasbeen paid to efficient simulation of particular distributions we were interested in(certain binomial distributions). The latter has been obtained through the use ofproperties of a new generation tree for permutations, which has been introducedalong the wayNous étudions le problème de maintenir une distribution donnée de graphes aléatoires après une séquence arbitraire d’insertions et de suppressions de sommets. Dans l’objectif de modéliser l’évolution de réseaux logiques dynamiques,nous travaillons dans un modèle local où l’accès à la liste des sommets est restreint. À la place, nous faisons l’hypothèse d’un accès à une primitive globale qui retourne un sommet aléatoire, choisi uniformément dans l’ensemble total des sommets. Le problème de maintenance a été exploré sur plusieurs modèles simples de graphes aléatoires (graphes d’Erdos–Rényi, graphes basés sur le modèle par paires, graphes k-sortants uniformes). Pour chacun des modèles, un ou plusieurs algorithmes pour la tâche de maintenance ont été décris et analysés ; les plus élaborés de ces algorithmes sont asymptotiquement optimaux. Le problème de maintenance soulève plusieurs problèmes de simulation liés à notre contexte distribué. Nous nous sommes intéressé en particulier à la maintenabilité de distributions de graphes et à la simulabilité de familles de distributions de probabilité sur les entiers, dans le modèle d’aléa présenté.Une attention particulière a été portée sur la simulation efficace de lois spécifiques nous intéressant (certaines lois binomiales). Cette dernière a pu être obtenue en exploitant les propriétés d’un nouvel arbre de génération pour les permutations, que nous avons introduit

Use of EDTA Derivatization to Characterize Interactions Between Oligodeoxyribonucleoside Methylphosphonates and Nucleic Acids

Los quad trees propuestos por Bentley en el 1974 son una estructura de datos diseñada para resolver búsquedas asociativas. Esta estructura es una generalización de los árboles binarios de búsqueda y es interesante porque es clásica y es utilizada. Además, es una estructura de datos jerárquica de propósito general que puede ser generalizada fácilmente a múltiples dimensiones. El problema de los quad trees es que es difícil borrar elementos o, dicho de otra manera, que sean dinámicos. Pese a que el borrado en dos dimensiones está definido por H. Samet, el algoritmo es complicado y difícil de implementar. Es más, este algoritmo también es difícil de generalizar para dimensiones mayores a 2. Además, en el algoritmo clásico de inserción, la forma del árbol depende del orden en el que se insertan las llaves. Si las llaves son generadas de manera independiente por una distribución de probabilidad continua, se obtiene un árbol aleatorio cuya altura esperada es logarítmica con respecto al número de llaves del árbol, sin embargo, si las llaves se insertan en orden, la altura del árbol es lineal, lo que tiene un impacto en la eficiencia de las búsquedas exactas en dicho árbol (que en el caso peor son de coste proporcional a la altura del árbol) y también en el de las búsquedas asociativas. En el artículo, Randomized insertion and deletion in point quad trees, se propone, utilizando algoritmos aleatorios, un algoritmo de borrado simple y escalable a más dimensiones. El algoritmo es fácil de describir y de generalizar y es bastante más sencillo de implementar que el de Samet. Además, los algoritmos de inserción y borrado en randomized quad trees garantizan que los quad trees resultantes sean siempre aleatorios. En este trabajo final de grado se estudian los algoritmos randomizados propuestos en el artículo citado anteriormente, se implementan y se propone una implementación alternativa y más eficiente que la original. Finalmente, se analiza experimental y exhaustivamente la eficiencia de los algoritmos de inserción y borrado propuestos. Posteriormente se comparan los resultados con algoritmos alternativos; una implementación con cola de prioridad y una implementación sin randomizar. Los resultados experimentales muestran que los algoritmos randomizados propuestos: 1) funcionan correctamente para cualquier dimensión (de hecho se han probado hasta dimensión 6, pero los algoritmos son válidos para cualquier dimensión, especialmente el borrado), 2) producen árboles aleatorios que cumplen con los costes esperados dados en la literatura, 3) compiten en eficiencia con la implementación con cola de prioridad propuesta especialmente para dimensiones menores de 5, y 4) compiten en eficiencia (son mucho mejores) que el algoritmo de inserción clásico en el caso en el que las llaves a insertar no sean aleatorias o estén dadas en orden. De hecho, este último algoritmo no produce árboles aleatorios cuando las llaves no son generadas de manera aleatoria.The quad trees proposed by Bentley in 1974 are a data structure designed to solve associative queries. This structure is a generalization of binary search trees and is interesting because it is classical and it is used. In addition, it is a general-purpose hierarchical data structure that can easily be generalized to multiple dimensions. The problem with quad trees is that it is difficult to delete elements, or in other words, to be dynamic. Although the two-dimensional deletion is defined by H. Samet, the algorithm is complicated and difficult to implement. Moreover, this algorithm is also difficult to generalize for dimensions greater than 2. In addition, in the classic algorithm of insertion, the shape of the tree depends on the order in which the keys are inserted, if the keys are generated independently by a continuous probability distribution, a random tree is obtained, whose expected height is logarithmic in regard to the number of keys of the tree, however, if the keys are inserted in order, the height of the tree is linear, which has an impact on the efficiency of the exact searches in said tree ( which in worst case their cost is proportional to the height of the tree) and also in the associative queries. In the article, Randomized insertion and deletion in point quad trees, it is proposed, using random algorithms, a simple and scalable deletion algorithm for more dimensions. The algorithm is easy to describe and generalize and is much simpler to implement than the Samet algorithm. In addition, the insertion and deletion algorithms in randomized quad trees guarantee that the resulting quad trees are always random. In this final degree project, the randomized algorithms proposed in the aforementioned article are studied and implemented, and an alternative and more efficient implementation than the original one is proposed. Finally, the efficiency of the proposed insertion and deletion algorithms is experimentally and exhaustively analysed. Subsequently, the results are compared with alternative algorithms; an implementation with priority queue and an implementation without randomization. The experimental results show that the proposed randomized algorithms: 1) work correctly for any dimension (in fact they have been tested up to dimension 6, but the algorithms are valid for any dimension, especially the deletion), 2) produce random trees that meet the costs expected in the literature, 3) compete in efficiency with the implementation with priority queue proposed especially for dimensions less than 5, and 4) compete in efficiency (are much better) than the classical insertion algorithm in the case where the keys to be inserted are not random or are given in order. In fact, this last algorithm does not produce random trees when the keys are not generated randomly

Implementing randomized quad trees

Los quad trees propuestos por Bentley en el 1974 son una estructura de datos diseñada para resolver búsquedas asociativas. Esta estructura es una generalización de los árboles binarios de búsqueda y es interesante porque es clásica y es utilizada. Además, es una estructura de datos jerárquica de propósito general que puede ser generalizada fácilmente a múltiples dimensiones. El problema de los quad trees es que es difícil borrar elementos o, dicho de otra manera, que sean dinámicos. Pese a que el borrado en dos dimensiones está definido por H. Samet, el algoritmo es complicado y difícil de implementar. Es más, este algoritmo también es difícil de generalizar para dimensiones mayores a 2. Además, en el algoritmo clásico de inserción, la forma del árbol depende del orden en el que se insertan las llaves. Si las llaves son generadas de manera independiente por una distribución de probabilidad continua, se obtiene un árbol aleatorio cuya altura esperada es logarítmica con respecto al número de llaves del árbol, sin embargo, si las llaves se insertan en orden, la altura del árbol es lineal, lo que tiene un impacto en la eficiencia de las búsquedas exactas en dicho árbol (que en el caso peor son de coste proporcional a la altura del árbol) y también en el de las búsquedas asociativas. En el artículo, Randomized insertion and deletion in point quad trees, se propone, utilizando algoritmos aleatorios, un algoritmo de borrado simple y escalable a más dimensiones. El algoritmo es fácil de describir y de generalizar y es bastante más sencillo de implementar que el de Samet. Además, los algoritmos de inserción y borrado en randomized quad trees garantizan que los quad trees resultantes sean siempre aleatorios. En este trabajo final de grado se estudian los algoritmos randomizados propuestos en el artículo citado anteriormente, se implementan y se propone una implementación alternativa y más eficiente que la original. Finalmente, se analiza experimental y exhaustivamente la eficiencia de los algoritmos de inserción y borrado propuestos. Posteriormente se comparan los resultados con algoritmos alternativos; una implementación con cola de prioridad y una implementación sin randomizar. Los resultados experimentales muestran que los algoritmos randomizados propuestos: 1) funcionan correctamente para cualquier dimensión (de hecho se han probado hasta dimensión 6, pero los algoritmos son válidos para cualquier dimensión, especialmente el borrado), 2) producen árboles aleatorios que cumplen con los costes esperados dados en la literatura, 3) compiten en eficiencia con la implementación con cola de prioridad propuesta especialmente para dimensiones menores de 5, y 4) compiten en eficiencia (son mucho mejores) que el algoritmo de inserción clásico en el caso en el que las llaves a insertar no sean aleatorias o estén dadas en orden. De hecho, este último algoritmo no produce árboles aleatorios cuando las llaves no son generadas de manera aleatoria.The quad trees proposed by Bentley in 1974 are a data structure designed to solve associative queries. This structure is a generalization of binary search trees and is interesting because it is classical and it is used. In addition, it is a general-purpose hierarchical data structure that can easily be generalized to multiple dimensions. The problem with quad trees is that it is difficult to delete elements, or in other words, to be dynamic. Although the two-dimensional deletion is defined by H. Samet, the algorithm is complicated and difficult to implement. Moreover, this algorithm is also difficult to generalize for dimensions greater than 2. In addition, in the classic algorithm of insertion, the shape of the tree depends on the order in which the keys are inserted, if the keys are generated independently by a continuous probability distribution, a random tree is obtained, whose expected height is logarithmic in regard to the number of keys of the tree, however, if the keys are inserted in order, the height of the tree is linear, which has an impact on the efficiency of the exact searches in said tree ( which in worst case their cost is proportional to the height of the tree) and also in the associative queries. In the article, Randomized insertion and deletion in point quad trees, it is proposed, using random algorithms, a simple and scalable deletion algorithm for more dimensions. The algorithm is easy to describe and generalize and is much simpler to implement than the Samet algorithm. In addition, the insertion and deletion algorithms in randomized quad trees guarantee that the resulting quad trees are always random. In this final degree project, the randomized algorithms proposed in the aforementioned article are studied and implemented, and an alternative and more efficient implementation than the original one is proposed. Finally, the efficiency of the proposed insertion and deletion algorithms is experimentally and exhaustively analysed. Subsequently, the results are compared with alternative algorithms; an implementation with priority queue and an implementation without randomization. The experimental results show that the proposed randomized algorithms: 1) work correctly for any dimension (in fact they have been tested up to dimension 6, but the algorithms are valid for any dimension, especially the deletion), 2) produce random trees that meet the costs expected in the literature, 3) compete in efficiency with the implementation with priority queue proposed especially for dimensions less than 5, and 4) compete in efficiency (are much better) than the classical insertion algorithm in the case where the keys to be inserted are not random or are given in order. In fact, this last algorithm does not produce random trees when the keys are not generated randomly