On Spurious Behavior of Super-Stable Implicit Methods

Th e objective of this paper is to gain a better understanding of the asymptotic nonlinear behavior of super-stable implicit linear multistep methods for constant time steps. Examples of the nonlinear effect caused by grid adaptation and super-stable implicit total variation diminishing (TVD) schemes on the overall performance of the numerical procedure are given. A method to minimize spurious steady-state numerical solutions is discussed

On the Solution of Convection-Diffusion Boundary Value Problems Using Equidistributed Grids

The effect of using grid adaptation on the numerical solution of model convection-diffusion equations with a conservation form is studied. The grid adaptation technique studied is based on moving a fixed number of mesh points to equidistribute a generalization of the arc-length of the solution. In particular, a parameter-dependent monitor function is introduced which incorporates fixed meshes, approximate arc-length equidistribution, and equidistribution of the absolute value of the solution, in a single framework. Thus the resulting numerical method is a coupled nonlinear system of equations for the mesh spacings and the nodal values. A class of singularly perturbed problems, including Burgers's equation in the limit of small viscosity, is studied. Singular perturbation and bifurcation techniques are used to analyze the solution of the discretized equations, and numerical results are compared with the results from the analysis. Computation of the bifurcation diagram of the system is performed numerically using a continuation method and the results are used to illustrate the theory. It is shown that equidistribution does not remove spurious solutions present on a fixed mesh and that, furthermore, the spurious solutions can be stable for an appropriate moving mesh method

Nonlinear dynamics and numerical uncertainties in CFD

The application of nonlinear dynamics to improve the understanding of numerical uncertainties in computational fluid dynamics (CFD) is reviewed. Elementary examples in the use of dynamics to explain the nonlinear phenomena and spurious behavior that occur in numerics are given. The role of dynamics in the understanding of long time behavior of numerical integrations and the nonlinear stability, convergence, and reliability of using time-marching, approaches for obtaining steady-state numerical solutions in CFD is explained. The study is complemented with spurious behavior observed in CFD computations

Dynamics of Numerics & Spurious Behaviors in CFD Computations

The global nonlinear behavior of finite discretizations for constant time steps and fixed or adaptive grid spacings is studied using tools from dynamical systems theory. Detailed analysis of commonly used temporal and spatial discretizations for simple model problems is presented. The role of dynamics in the understanding of long time behavior of numerical integration and the nonlinear stability, convergence, and reliability of using time-marching approaches for obtaining steady-state numerical solutions in computational fluid dynamics (CFD) is explored. The study is complemented with examples of spurious behavior observed in steady and unsteady CFD computations. The CFD examples were chosen to illustrate non-apparent spurious behavior that was difficult to detect without extensive grid and temporal refinement studies and some knowledge from dynamical systems theory. Studies revealed the various possible dangers of misinterpreting numerical simulation of realistic complex flows that are constrained by available computing power. In large scale computations where the physics of the problem under study is not well understood and numerical simulations are the only viable means of solution, extreme care must be taken in both computation and interpretation of the numerical data. The goal of this paper is to explore the important role that dynamical systems theory can play in the understanding of the global nonlinear behavior of numerical algorithms and to aid the identification of the sources of numerical uncertainties in CFD

Travelling waves for adaptive grid discretizations of reaction diffusion systems: I: well-posedness

Analysis and Stochastic

Coarsening dynamical systems: dynamic scaling, universality and mean-field theories

We study three distinct coarsening dynamical systems (CDS) and probe the underlying scaling laws and universal scaling functions. We employ a variety of computational methods to discover and analyse these intrinsic statistical objects. We consider mean-field type models, similar in nature to those used in the seminal work of Lifshitz, Slyozov and Wagner (LSW theory), and statistical information is then derived from these models. We first consider a simple particle model where each particle possesses a continuous positive parameter, called mass, which itself determines the particle’s velocity through a prescribed law of motion. The varying speeds of particles, caused by their differing masses, causes collisions to take place, in which the colliding particles then merge into a single particle while conserving mass. We computationally discover the presence of scaling laws of the characteristic scale (mean mass) and universal scaling functions for the distribution of particle mass for a family of power-law motion rules. We show that in the limit as the power-law exponent approaches infinity, this family of models approaches a probabilistic min-driven model. This min-driven model is then analysed through a mean-field type model, which yields a prediction of the universal scaling function. We also consider the conserved Kuramoto-Sivashinsky (CKS) equation and provide, in particular, a critique of the effective dynamics derived by Politi and ben-Avraham. We consider several different numerical methods for solving the CKS equation, both on fixed and adaptive grids, before settling on an implicit-explicit hybrid scheme. We then show, through a series of detailed numerical simulations of both the CKS equation and the proposed dynamics, that their particular reduction to a length-based CDS does not capture the effective dynamics of the CKS equation. Finally, we consider a faceted CDS derived from a one-dimensional geometric partial differential equation. Unusually, an obvious one-point mean-field theory for this CDS is not present. As a result, we consider the two-point distribution of facet lengths. We derive a mean-field evolution equation governing the two-point distribution, which serves as a two-dimensional generalisation of the LSW theory. Through consideration of the two-point theory, we subsequently derive a non-trivial one-point sub-model which we analytically solve. Our predicted one-point distribution bears a significant resemblance to the LSW distribution and stands in reasonable agreement with the underlying faceted CDS

Aplicação de métodos numéricos adaptativos na integração de sistemas algébrico-diferenciais caracterizados por frentes abruptas

O objectivo do presente trabalho consiste no desenvolvimento e estudo de algoritmos adaptativos de integração para sistemas de Equações Diferenciais Parciais/Algébricas evolutivas e unidimensionais. Estes algoritmos baseiam-se em estratégias de adaptação espacial da malha, associados a discretizações caracterizadas por aproximações de diferenças finitas

Aplicação de métodos numéricos adaptativos na integração de sistemas algébrico-diferenciais caracterizados por frentes abruptas

Dissertação de Mestrado em Engenharia Química, apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de CoimbraO objectivo do presente trabalho consiste no desenvolvimento e estudo de algoritmos adaptativos de integração para sistemas de Equações Diferenciais Parciais/Algébricas evolutivas e unidimensionais. Estes algoritmos baseiam-se em estratégias de adaptação espacial da malha, associados a discretizações caracterizadas por aproximações de diferenças finitas. Os referidos métodos foram escolhidos de forma a representarem dois tipos de estratégias alternativas no tratamento de soluções problemáticas que desenvolvam frentes abruptas e/ou choques móveis e, que, tradicionalmente colocam bastantes dificuldades de integração, através de métodos baseados em malhas, temporal e espacialmente, fixas. Ambos os algoritmos apresentam uma estrutura semelhante, podendo ser divididos em dois estágios distintos. Estágio I Identificação de subdomínios onde a introdução de uma estratégia de adaptação se revela necessária. Este estágio é equivalente em ambos os algoritmos, sendo efectuado através da comparação dos perfis de solução obtidos pela integração do problema em duas malhas fixas de tamanho diferente (uma malha fina e outra esparsa); Estágio II Integração dos subproblemas gerados, para cada um dos subdomínios detectados no estágio anterior, pela introdução de um procedimento adaptativo, na resolução do problema original. Neste estágio, as estratégias de adaptação da malha base diferem bastante entre cada um dos algoritmos. Assim, tem-se: Algoritmo de Refinamento – caracterizado pelo refinamento sucessivo de cada uma das submalhas detectadas até à satisfação do critério de precisão previamente estabelecido. Algoritmo de Malha Móvel – caracterizado pela introdução de uma estratégia de mobilidade nodal dinâmica em cada uma das submalhas referidas anteriormente. Para cada um dos algoritmos foi desenvolvida uma package de carácter geral, de forma a se tornar possível a sua aplicação prática. Estas packages foram testadas em diversas condições, tanto para Equações Diferenciais Parciais (P.D.E.´s) escalares e vectoriais, como para Sistemas Mistos Algébrico Diferenciais (P.D.A.E.´s). A aplicação da discretização espacial a cada modelo transforma o problema original num sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (O.D.E.´s), que é integrado no tempo por intermédio do integrador implícito DASSL. No que diz respeito à avaliação da solução em abcissas intermédias, em relação às posições nodais das malhas base, foi estudada a influência de dois tipos de interpolação: linear e através de Splines cúbicas, tendo-se verificado a melhor adequação das aproximações lineares para perfis com variações do gradiente mais elevadas e bruscas. A qualidade da performance de cada método foi analisada, tendo como referência os resultados apresentados por Duarte[29], baseados na utilização de uma formulação do Método dos Elementos Finitos Móveis, quer no que diz respeito à precisão das soluções obtidas, como dos esforços computacionais exigidos.Em geral, ambos os algoritmos se revelaram robustos na resolução de um variado conjunto de problemas. No entanto, o Método de Malha Móvel, mostrou-se particularmente apropriado para problemas que desenvolvem frentes abruptas móveis, onde as magnitudes das derivadas espaciais são especialmente elevadas. No caso do Método de Refinamento, os resultados são comparativamente de qualidade inferior, revelando maiores dificuldades de aplicação em modelos de integração mais difícil. Foram analisados dois procedimentos diferentes para o tratamento das condições fronteiras interiores dos subproblemas gerados, tendo-se concluído que a estratégia adoptada no Método de Refinamento, baseada na fixação de condições de Dirichlet artificiais, não se revela satisfatória, podendo ocasionar dificuldades acrescidas na integração de modelos específicos. Pelo contrário, a estratégia aplicada no Método de Malha Móvel, baseada na simulação da evolução temporal da solução, mostrou-se bastante robusta, em todos os problemas testados. Desenvolveram-se, igualmente, diversas subrotinas para a avaliação de derivadas de diferentes ordens, através de correlações de diferenças finitas de tipo e grau de precisão muito variados, para malhas arbitrariamente espaçadas, em sistemas coordenados de dimensão máxima três. Consideram-se vários processos para a avaliação dos pesos associados a cada uma destas aproximações

Métodos numéricos adaptativos para a resolução de modelos multidimensionais em Engenharia Química

O objectivo do trabalho de investigação consiste no desenvolvimento e teste de métodos numéricos adaptativos, aplicáveis na resolução eficiente de modelos matemáticos diferenciais evolutivos de dimensão arbitrária, que exibam soluções com gradientes elevados localizados no tempo e no espaço, e sejam relevantes no âmbito específico da modelação de processos químicos. Para tal, idealizam-se códigos computacionais para a aplicação e teste dos algoritmos numéricos desenvolvidos. A opção de programar os algoritmos em linguagem FORTRAN deve-se principalmente ao facto desta linguagem ser extremamente adequada ao desenvolvimento de ciclos complexos de operações lógicas e/ou algébricas, característicos deste tipo de algoritmos matemáticos. Por outro lado, o recurso à versão específica FORTRAN 77 deve-se ao facto desta se revelar suficiente para uma demonstração genérica da capacidade de execução dos programas em condições triviais, definidas num ambiente de processamento referente a um laptop comercial convencional, sem grandes preocupações de optimização intensiva do esforço computacional. De modo a testar a robustez e eficiência dos métodos, estes foram sujeitos de forma sistemática a modelos de complexidade crescente, desde exercícios de geração de malha, até à integração de problemas de equações diferenciais parciais (PDE’s) escalares e sistemas de equações diferenciais (apenas em casos unidimensionais). Os resultados disponibilizados permitem uma confirmação genérica da utilidade dos métodos para uma grande variedade de problemas que abrangem diversas áreas importantes da modelação de processos químicos como: combustão, adsorção, reacção química, mecânica de fluidos, etc; normalmente caracterizados por exibirem soluções com particularidades extremas. Os métodos de geração de malha apresentados são baseados em estratégias de colocação nodal controladas pela detecção de oscilações ou variações bruscas em aproximações numéricas avaliadas por fórmulas de diferenças finitas, que possibilitam a especificação de dois tipos de critérios denominados por C1 e C2, respectivamente. Estes denotam uma aptidão geral muito satisfatória para a identificação, localização e acompanhamento de frentes abruptas ou descontinuidades nos perfis de solução. Simultaneamente, os algoritmos permitem o reconhecimento das regiões de menor actividade da solução onde a malha mantém a sua esparsidade apenas limitada pela definição da malha base estabelecida por defeito idealizada como garante de um suporte mínimo para a solução numérica. A escolha de aproximações de diferenças finitas para a definição de critérios de refinamento de malha deve-se exactamente a uma tentativa de exploração das suas reconhecidas limitações, ou seja da sua tendência para a introdução de anomalias sem significado físico nas soluções numéricas. Deste modo, a pesquisa desse tipo de anomalias possibilita uma estratégia simples de detecção de regiões de maior actividade da solução e, consequentemente, seleccionáveis para refinamento de malhas inicialmente estabelecidas com um nível de resolução mínimo. A estratégia de integração numérica baseada num procedimento MOL (Method Of Lines) recorre a esquemas de estimação das derivadas espaciais de diferenças finitas (FD) ou de alta resolução (HRS) que geram sistemas de equações diferenciais ordinárias (ODE’s) resolvidos por integradores ODE na direcção temporal. Opta-se por testar a performance das aproximações FD nos procedimentos de integração MOL de modo a demonstrar a potencialidade de uma estratégia conceptualmente mais simples e directa na abordagem a exemplos problemáticos. Esta análise é complementada com o estudo de uma estratégia de discretização HRS claramente direccionada para lidar com as derivadas espaciais de primeira ordem que genericamente definem a natureza hiperbólica dos problemas diferenciais. Os resultados obtidos são geralmente satisfatórios, verificando-se melhores desempenhos dos métodos para diferenças FD descentradas que acompanhem o movimento das ondas em problemas de carácter parabólicos e procedimentos HRS no caso de exemplos essencialmente hiperbólicos. Os algoritmos revelam desempenhos aceitáveis, quer em relação a exactidão dos resultados, como do esforço computacional requerido. Assim, mostram-se bastante eficazes para uma larga gama de equações hiperbólicas e parabólicas e para problemas com condições fronteira de diversos tipos, quer estacionárias como evolutivas. A performance dos critérios de colocação do tipo C1 e C2 é relativamente equivalente para a generalidade dos exemplos testados. No entanto, verifica-se uma tendência para uma maior sensibilidade do critério C1 que necessita tipicamente de condições mais exigentes referentes a uma escala de tolerância mais reduzida em alguns modelos, para além de uma notória propensão para ao desenvolvimento de perturbações nos perfis de solução do que o critério C2 que se revela comparativamente mais estável. Por outro lado, o critério do tipo C1 ajusta-se satisfatoriamente à integração de problemas bidimensionais. O passo crítico dos algoritmos de integração numérica adaptativa consiste na operação de interpolação que executa a passagem da solução suportada numa malha gerada no passo temporal anterior para a solução definida sobre a malha seguinte correspondente ao passo actual. Os passos interpolativos são inevitáveis neste tipo de estratégias já que se relacionam intrinsecamente com a natureza estática do processo adaptativo seleccionado. Portanto, a qualidade do procedimento de interpolação revela-se essencial ao sucesso do método adaptativo de integração, principalmente no caso de problemas bidimensionais, onde o número de nodos potencialmente activáveis em cada passo é consideravelmente superior aos problemas unidimensionais. Esta questão demonstra-se especialmente premente em exemplos de carácter parabólico, ou seja predominantemente difusivos em que se constata que a sensibilidade do problema numérico a erros de interpolação relativamente reduzidos é muito superior, promovendo a introdução de fenómenos de instabilidade numérica nos perfis de solução. Assim, conclui-se que os modelos teoricamente menos problemáticos colocam maiores desafios de desenvolvimento de instabilidade e perturbações numéricas do que os problemas correspondentes de natureza predominantemente hiperbólica, onde a aplicação dos algoritmos adaptativos denota uma visível maior eficácia e robustez