On the intersection of Padovan, Perrin sequences and Pell, Pell-Lucas sequences

In this paper, we find all the Padovan and Perrin numbers which are Pell or Pell-Lucas numbers

On the intersection of Padovan, Perrin sequences and Pell, Pell-Lucas sequences

In this paper, we find all the Padovan and Perrin numbers which are Pell or Pell-Lucas numbers

Padovan and Perrin numbers as products of two generalized Lucas numbers

summary:Let $P_m$ and $E_m$ be the $m$-th Padovan and Perrin numbers respectively. Let $r, s$ be non-zero integers with $r\ge 1$ and $s\in \lbrace -1, 1\rbrace$, let $\lbrace U_n\rbrace _{n\ge 0}$ be the generalized Lucas sequence given by $U_{n+2}=rU_{n+1} + sU_n$, with $U_0=0$ and $U_1=1.$ In this paper, we give effective bounds for the solutions of the following Diophantine equations $$P_m=U_nU_k\quad \text{and}\quad E_m=U_nU_k\,,$$ where $m$, $n$ and $k$ are non-negative integers. Then, we explicitly solve the above Diophantine equations for the Fibonacci, Pell and balancing sequences

The calculus according to S. F. Lacroix (1765-1843)

Silvestre François Lacroix (Paris. 1765 - ibid., 1843) was not a prominent mathematical researcher, but he was certainly a most influential mathematical book author. His most famous book is a monumental Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (three large volumes, 1797-1800; a second edition appeared in 1810-1819) - an encyclopaedic appraisal of 18th-century calculus. He also published many textbooks, one of which is closely associated to this large Traité: the Traité élémentaire du calcul différentiel et du calcul intégral (first edition in 1802; four more editions in Lacroix's lifetime; four posthumous editions). Although most historians acknowledge the great influence of Lacroix's large Traité in early 19th-century mathematics it has not been thoroughly studied. This thesis is a contribution for correcting this omission. The focus is on its first edition, but the second edition and the Traité élémentaire, are also addressed. The thesis starts with a short biography of Lacroix, followed by an overview of the first edition of the large Traité. Next corne five chapters where particular aspects are analyzed in detail: the foundations of the calculus, analytic and differential geometry, approximate integration and conceptions of the integral, types of solutions of differential equations (singular/complete/general integrals, geometrical interpretations, and generality of arbitrary functions), and three aspects related to finite differences and series (the use of subscript indices, types of solutions of finite difference equations, and mixed difference equations); for all these aspects Lacroix's treatment is compared to the 18th-century background, and to his likely sources. Then we examine how the large Traité was adapted to a textbook - the Traité élémentaire, we take a look at the second edition of the large Traité, and conclude the body of the thesis with some final remarks

Enseignement à l’Université, perspective institutionnelle et contrat didactique. Le cas de la dualité en algèbre linéaire

The object of our research work is the study of duality in linear algebra. Aninstitutional point of view is adopted. The anthropological theory of didactics has been chosenas main theoretical framework. It allows us to propose a description of the duality sector inthe linear algebra domain, by decomposing it into five themes. An analysis of duality as aknowledge to be taught is realized at various levels, with among others the introduction andthe definition of five purpose tools for this sector. Drawing on this presentation, a surveyconcerning duality was elaborated and submitted to students enrolled in first-year universitymathematics or physics programs at the University of Namur (Belgium). We present theresults by categorizing the difficulties met by the students. We show how we can speak oftransition about duality, and how the identified difficulties can be interpreted as consequencesof a change of institutional didactical contract. Finally, we formulate propositions for theintroduction of duality in linear algebra. The statement of various perspectives concludes ourwork.Notre travail de recherche a pour objet d’étude la dualité en algèbre linéaire. Il sepositionne dans une perspective institutionnelle. C’est ainsi la théorie anthropologique dudidactique qui sert de cadre théorique principal à notre travail, et qui nous permet de proposerune description du secteur dualité dans le domaine de l’algèbre linéaire, en le décomposant encinq thèmes. Une analyse de la dualité comme savoir à enseigner est réalisée à différentsniveaux, avec entre autres l’introduction et la définition de cinq finalités outil pour ce secteur.Sur base de cette présentation, une enquête concernant la dualité a été conçue et menée auprèsd’étudiants inscrits en première année d’université en mathématiques ou en physique àl’université de Namur (Belgique). Nous en présentons les résultats en catégorisant lesdifficultés rencontrées par les étudiants. Nous montrons de quelle manière nous pouvonsparler de transition à propos de dualité, et comment les difficultés identifiées peuvent êtreinterprétées comme des conséquences d’un changement de contrat didactique institutionnel.Enfin, nous formulons des propositions pour l’introduction de la dualité en algèbre linéaire.L’énoncé de différentes perspectives conclut notre travail

Transition secondaire/supérieur : causes d’échec en mathématiques dans les filières scientifiques de l’Université de Ouagadougou.

The transition secondary education / university education in mathematics education is a source of failure among students. This transition between two mathematical cultures (Artigue, 2004) has been the subject of numerous studies worldwide (Praslon, 2000; Corriveau, 2007; Najar, 2010; Fulvi, 2010). Burkina Faso is no exception to the rule and the University of Ouagadougou knows high rates of failure in mathematics in its first year of science courses. The objective of our study is to investigate the causes of failure in mathematics in secondary / university transition in the sciences options at the University of Ouagadougou.After a review of research on the transition and our theoretical framework we have blamed representations and beliefs of the actors, the gap in the teaching methods and programs, as well as the gap between the requirements in formalism and in demonstration as identified causes of failures. Our investigations with the actors (teachers and learners) and analysis of educational programs and tasks given to learners of both levels of education helped to highlight a strong gap in the methods and curricula. Secondary and university education seem to work in isolation, creating difficulties of adaptation of learners. This analysis has also revealed representations and beliefs hindering learning of mathematics in the transition between the two levels of education. Requirements in formalism and demonstration experience a significant increase in the secondary / university transition.La transition enseignement secondaire/enseignement supérieur dans l'enseignement des mathématiques est source d'échec chez les étudiants. Cette transition entre deux cultures mathématiques (Artigue, 2004) a fait l'objet de nombreux travaux dans le monde (Praslon, 2000; Corriveau, 2007; Najar, 2010; Fulvi, 2010). Le Burkina Faso n'échappe pas à la règle et l'université de Ouagadougou connait de forts taux d'échec en mathématiques en première année dans ses filières scientifiques. Notre étude se donne pour objectif de rechercher les causes d'échec en mathématiques dans la transition secondaire/supérieur dans les filières scientifiques de l'université de Ouagadougou.Après une revue des travaux de recherche sur la transition et notre cadre théorique nous avons incriminé les représentations et croyances des acteurs, la rupture dans les méthodes et programmes d'enseignement, de même que la rupture dans les exigences en formalisme et en démonstration comme causes des échecs constatés.Nos investigations auprès des acteurs (enseignants et apprenants) et l’analyse des programmes d’enseignement et des tâches données aux apprenants des deux ordres d’enseignement a permis de mettre en exergue une forte rupture dans les méthodes et programmes d'enseignement. Les enseignements secondaire et supérieur semblent fonctionner en vase clos, créant des difficultés d'adaptation des apprenants. Cette analyse a aussi mis en lumière des représentations et croyances défavorables à l'apprentissage des mathématiques dans la transition entre les deux ordres d'enseignement. Les exigences en formalisme et en démonstration connaissent une hausse considérable dans la transition secondaire/supérieur

Exercices sur les temps locaux de semi-martingales continues et les excursions browniennes

Depuis le tout d\'ebut du XX${}^\text{e}$ si\`ecle, l'\'etude des processus stochastiques est un domaine tr\`es actif de la recherche en math\'ematiques. Parmi ces processus, le mouvement brownien --- dont l'\'etude math\'ematique a \'et\'e initi\'ee d\`es 1900, avec la th\`ese de Bachelier, entre autres travaux --- a jou\'e, et joue encore, un r\^ole primordial. Ceci peut s'expliquer par le fait que le mouvement brownien est l'objet limite quasi-universel qui appara\^it dans le th\'eor\`eme central limite, lorsqu'on fait agir le temps. Depuis la fin de la seconde guerre mondiale et les travaux d'It\^o, Meyer, Tanaka et bien d'autres, les temps locaux et les excursions sont devenus des outils essentiels pour \'etudier ce processus. Les exercices de ce volume ont \'et\'e \'elabor\'es, ann\'ee apr\`es ann\'ee, par le second auteur, soit \`a la suite de lectures d'articles pr\'esentant, parfois avec des m\'ethodes tr\`es diff\'erentes, telle ou telle propri\'et\'e brownienne, soit simplement pour illustrer le contenu de son cours de DEA (anciennement), de M2 aujourd'hui. Le premier auteur en a organis\'e la synth\`ese, de fa\c{c}on \'economique et n\'eanmoins --- esp\'erons-le --- tr\`es lisible. Les chapitres ont \'et\'e con\c{c}us pour cr\'eer un aller-retour permanent entre les principaux r\'esultats du cours et les exercices corrig\'es, afin que la compr\'ehension des uns renforce celle des autres. C'est ainsi que de nombreuses solutions d'exercices donn\'ees ici offrent un aper\c{c}u de la fa\c{c}on de prouver certains des th\'eor\`emes rappel\'es plus haut.Comment: This note (in French) list some of the exercices that Marc Yor illustrated his lectures with. Comments are very welcom

Similarités dans des Modèles BRep Paramétriques : Détection et Applications

Dans cette thèse, nous identifions et exploitons des similarités partielles dans des objets 3D pour répondre à des besoins courants du domaine de la Conception Assistée par Ordinateur (CAO). De nouvelles méthodes sont introduites, d'une part pour détecter les similarités partielles, d'autre part pour utiliser ces similarités dans des applications spécifiques telles que l'édition de forme, la compression et l'indexation d'objets 3D. Grâce au développement des applications de la modélisation géométrique, ces modèles sont de plus en plus nombreux et sont disponibles à travers plusieurs modalités. Pour augmenter la productivité dans la création de tels objets virtuels, la réutilisation et l'adaptation des modèles existants est un choix prioritaire. Cela exige donc des méthodes facilitant le stockage, la recherche et l'exploitation de ces modèles. Heureusement, les similarités dans des objets 3D est un phénomène fréquent. De nombreux objets sont composés de parties similaires à une rotation, à une translation ou à une symétrie près. De ce fait, la détection des similarités partielles dans ces modèles est capable de répondre aux problématiques courantes : la taille du stockage est réduite en conservant seulement une partie au lieu de toutes les parties répétées d'un modèle; l'indexation des modèles 3D requiert a priori l'orientation canonique des modèles. Or, la symétrie dans un objet 3D est toujours une référence d'orientation cohérente avec la perception humaine. Nous utilisons donc la symétrie partielle pour aligner ces modèles et ainsi renforcer la robustesse des méthodes d'indexation. Dans un premier temps, nous introduisons une approche similaire à la Transformée de Hough pour détecter des similarités partielles dans des modèles BRep-NURBS. Cette approche identifie non seulement les parties similaires mais aussi les transformations qui les lient. À travers la classification des isométries dans l'analyse des transformations, notre approche peut distinguer la nature de transformation liant des parties similaires d'un modèle, c'est-à-dire, les parties similaires à une rotation, à une translation ou à une symétrie près. Dans le deuxième temps, nous proposons deux applications héritées directement des résultats obtenus par la détection. Tout d'abord, pour la compression, un modèle se transforme en un graphe de similarités d'où les faces principales à conserver sont sélectionnées dans la structure compressée. Ensuite, pour l'orientation, le plan de la symétrie dominante et la projection orthographique d'un modèle autour de ce plan permettent de définir un repère canonique pour aligner ce modèle. ABSTRACT : In this thesis, we identify and exploit the partial similarities within 3D objects to answer the current needs of the Computer Aided Design field (CAD). Novel methods are introduced, on the one hand to detect the partial similarities, on the other hand to use these similarities for specific applications such as shape editing, compression and indexation of 3D objects. Because of the development of geometric modeling applications, 3D models are getting more numerous and available through many channels. To increase the productivity in creating such 3D virtual objects, the reuse and the adaptation of existing models becomes a prior choice. Thus, it requires methods easing the storage, the searching and the exploitation of these models. Fortunately, similarities within the 3D objects is a popular phenomenon. Many objects are composed of similar patches up to an approximated rotation, translation or symmetry. Hence, detecting the partial similarities within NURBSBRep models is able to solve the current issues : the storage size is reduced by coding a single patch instead of repeated patches of a model ; 3D model indexation requires a canonical orientation of these models. Furthermore, the symmetry within a 3D object is a good orientation reference, coherent with the human perception. Accordingly, we use the partial symmetries to align 3D models and so reinforce the robustness of indexation methods. In a first phase, we introduce an orginal approach similar to the Hough Transform to detect partial similarities within NURBS-BRep models. This approach identifies not only similar patches but also identifies the corresponding transformations that connect them. Additionally, through the classification of isometries in transformations analysis, our approach can distinguish the nature of transformations of similar patches of a model, that is, the patches similar up to an approximated rotation, translation or symmetry. This classification is advantageous for further applications : the similar patches of other transformation natures are considered in compressing ; the symmetric patches are used to normalize 3D models aim at a robust indexation. In the second phase, we propose two applications inherited directly from the obtained results of the detection. Firstly, for the compression, a model is transformed into a similarity graph where the principal faces to be coded are selected to form the compressed structure. Secondly, for the orientation, the plane of the dominant symmetry and the orthographic projection of a model around this plane generate a canonical frame to align this model