Automatique: Dynamique et contrôle des systèmes

Engineering schoolLe but est de présenter les notions et outils fondamentaux nécessaires à l'analyse et au contrôle des systèmes. Ce cours est articulé autour des trois thèmes suivants : – Systèmes dynamiques : stabilité, robustesse, théorie de perturbations. – Commandabilité : stabilisation par bouclage, planification et suivi de trajectoire. – Observabilité : estimation, observateur asymptotique, filtrage et diagnostic. Le cours part de quelques exemples issus du monde industriel ou académique. Chaque exemple motive et justifie les définitions et résultats abstraits sur lesquels reposent une classe d'algorithmes de contrôle et/ou d'estimation. Dans bien des domaines scientifiques, une théorie a très souvent pour origine une petite collection d'exemples bien compris et analysés. Nous nous inscrivons dans cette démarche. Une approche qui part du particulier pour aller vers le général permet aussi de mieux comprendre les ressorts fondamentaux sur lesquels reposent certains résultats mais aussi de bien cerner leur limitations. L'Automatique est un domaine actif de recherche. Le cours abordera certaines questions qui n'admettent pas de réponse claire aujourd'hui bien qu'elles aient de fortes motivations pratique

Dynamique des orbites fortement elliptiques

Most of the orbits of artificial satellites around the Earth have relatively low eccentricities. The calculation of their trajectories is very well under control, either by means of numerical methods when it comes to focus on accuracy and comparing observations, or either through analytical or semi-analytical theories to optimize the speed of calculations. This second category is used, in particular, for computing many long-term trajectories that could help to ensure the security and safety of outer space activities. Furthermore, there is also satellites operating in highly elliptical orbits for which the computations of the trajectories can be significantly improved, especially in analytical theories. Due to the fact that such orbits cover a wide range of altitudes, the hierarchy of the perturbations acting on the satellite changes with the position on the orbit. At low altitude, the oblateness of the Earth (the so-called J2 effect) is the dominant perturbation while on high-altitude the lunisolar perturbation acceleration can reach or exceed the order of the J2 acceleration. Moreover, the traditional analytical theories of Celestial Mechanics are not well adapted to this particular dynamic. Analytical solutions are generally quite developed in Fourier series of the mean anomaly. These infinite series converge very slowly in the general case, but in the case of small eccentricities convergence is accelerated thanks to the d’Alembert characteristic which ensures that a Fourier coefficient of order n keeps a degree of cancellation n with respect to the eccentricity e. This argument is no longer effective for large eccentricities. As is often the case, the solutions are more degraded in the case where the Fourier coefficients are developed in power series of the eccentricity. However, there are also theories whose the developments are made with angular variables other than the mean anomaly and well suited to the considered problem: the true anomaly for the inner potential and the eccentric anomaly for the perturbation due to external body attraction (Moon or Sun, often called third body). However, in this latter case, the methods for developing theories always use another type of approximation. Indeed, the explicit time dependence of the Hamiltonian is neglected for solving the partial differential equations that give the generator of the change of variables.This PhD thesis is devoted to propose several tools to overcome these limitations. Firstly, we expand the third-body disturbing function using Fourier series in multiples of the satellite’s eccentric anomaly (instead of the mean anomaly). We then perform a normalization of the expanded Hamiltonian, which aims to eliminate all periodic terms. To this end, we apply a change of canonical variables based on time-dependent Lie transforms. The construction of the generating function of the change of variables requires solving a partial differential equations (PDE) with respect to the angular variables of the third body and the satellite. To our knowledge this PDE has no exact solution. An approximation is usually done at this step to solve it by neglecting the terms related to the third body. We show how this approximation can be avoided by providing an iterative method for solving the PDE. This amounts to carrying out a power series expansion of a small ratio of frequencies 0.7).Moreover, since the traditional numerical integration methods are not very effective for highly elliptical orbits, even with adaptive variable-step size, we show the benefits of the so-called geometric integrators, especially the variational integrators. To this end, we present some high-order numerical schemes and we test their performance.La plupart des orbites de satellites artificiels autour de la Terre ont des excentricités relativement faibles. Le calcul de leurs trajectoires est très bien maitrisé, soit au moyen de méthodes numériques quand il s’agit de privilégier la précision et la comparaison à des observations, soit au moyen de théories analytiques ou semi-analytiques pour optimiser la vitesse des calculs. Cette seconde catégorie est en particulier utilisée pour le calcul de nombreuses trajectoires à long terme dans le cadre de la sécurité de l’espace. Par ailleurs, il existe également des satellites sur des orbites à forte excentricité pour lesquels le calcul des trajectoires peut encore être très nettement amélioré, en particulier en ce qui concerne les théories analytiques. Comme ces orbites couvrent un large spectre d’altitudes, la hiérarchie des perturbations agissant sur le satellite change selon sa position sur l’orbite ; à basse altitude, la perturbation dominante est due à l’aplatissement de la Terre (appelé l’effet du J2 ) tandis que pour les altitudes élevées, les perturbations lunisolaires peuvent être aussi importantes et même supérieures à la perturbation de J2 . Par ailleurs, les théories analytiques classiques ne sont pas adaptées pour étudier la dynamique de ces orbites particulières. Les solutions analytiques sont assez généralement développées en série de Fourier de l’anomalie moyenne. Ces séries infinies convergent assez lentement dans la cas général, mais dans le cas des faibles excentricités la convergence est accélérée grâce à la caractéristique de d’Alembert qui assure qu’un coefficient de Fourier d’ordre n possède un degré d’annulation n par rapport à l’excentricité e. Cet argument perd toute son efficacité pour les fortes excentricités. Les solutions sont encore plus dégradées dans le cas où les coefficients de Fourier sont développés en séries entières de l’excentricité, comme c’est souvent le cas. Néanmoins, il existe aussi des théories dont les développements sont réalisés avec des variables angulaires, autres que l’anomalie moyenne, plus adaptées au problème étudié : l’anomalie vraie pour le potentiel intérieur et l’anomalie excentrique pour la perturbation d’un corps extérieur (Lune ou Soleil, souvent appelé troisième corps). Cependant, dans ce dernier cas, les méthodes de développement des théories utilisent toujours un autre type d’approximation : la dépendance temporelle explicite de l’Hamiltonien est négligée dans la résolution de l’équation aux dérivées partielles qui engendre le générateur du changement de variables.Cette thèse est consacrée au développement d’outils permettant de surmonter ces limitations. Dans un premier temps, nous développons la fonction perturbatrice de troisième corps en utilisant des séries de Fourier en multiples de l’anomalie excentrique du satellite (à la place de l’anomalie moyenne). Nous procédons ensuite à une normalisation du Hamiltonien ainsi développé, dans le but d’éliminer tous les termes périodiques. Pour y parvenir, nous appliquons un changement de variables canoniques construit à l’aide des transformées de Lie dépendantes du temps. La construction de la fonction génératrice du changement de variables nécessite la résolution d’une équation aux dérivées partielles (EDP) par rapport aux variables angulaires du troisième corps et du satellite. A notre connaissance cette EDP n’a pas de solution exacte. Habituellement, à cette étape, on fait une approximation qui consiste à négliger les termes de l’EDP liés au troisième corps afin de la résoudre. Nous montrons comment cette approximation peut être évitée, en proposant une méthode de résolution de l’EDP itérative, qui revient à effectuer un développement en série de puissances d’un rapport de fréquences petit devant 1. De plus, pour une cohérence globale de la théorie nous avons dû reconsidérer la solution classique de potentiel central et en particulier du J2 . Finalement nous obtenons une théorie qui permet d’extrapoler le mouvement osculateur (et pas seulement le mouvement moyen) sur de longues durées (des dizaines d’années) de façon efficace et avec une excellente précision y-compris pour des orbites très excentriques (e > 0.7).Par ailleurs, les méthodes d’intégration numérique classiques (même à pas variable) étant peu efficaces pour ces problèmes à très forte excentricité, nous montrons les avantages que procurent les intégrateurs dits géométriques, et particulièrement les intégrateurs variationnels. A cette fin, nous présenterons des schémas numériques d’ordre élevé dont nous testons les performances

Interaction fluide-structure pour des configurations multi-corps. Applications aux liaisons complexes, lois de commande d'actionneur et systèmes souples dans le domaine maritime.

The aim of this work is to develop a coupling between two solversin order to study complex mechanical systems which are in stronginteraction with a fluid. The co-simulation provides the ability tocarefully model without significant approximations the fluid physics,the dynamics of the mechanical systems and their coupling. TheReynolds-averaged Navier-Stokes equations for incompressible,isothermal, turbulent and multiphase flows are solved by ISIS-CFD.The mechanical problem is solved by MBDyn which is an open-source solver dedicated to dynamic multi-body systems. A generaland formal formulation of the coupling problem is realised using theSteklov-Poincaré formulation. An implicit, efficient and stablecoupling algorithm is proposed, tested and validated. The algorithmstabilisation is achieved through a relaxation operator whichdepends on the added mass effects. Thus, a method to evaluatethe added mass effects is implemented in ISIS-CFD. Due to thefinite-volume formulation adopted in this solver, this method isgeneral. For instance, complex geometries or the free surfacedeformation can be taken into account. Moreover, the proposedalgorithm does not require any modifications to be made to bothsolvers. Only the implementation of interfaces is required. Inaddition, it is shown that the number of iterations to reach aconverged state, is of the same order when the kinematics aresolved or when the motion is known in advance and imposed(optimal configuration). The coupling algorithm is validated on thefollowing cases: vortex induced motions of simple shapes,evaluation of the transfer functions of a frigate in regular headwaves, computation of the motion of very low density bodies(strong anisotropic added mass effects), analysis of the roll decayof a frigate with active fins (control of actuators) and simulation of amoored ship in shallow water disturbed by a nearby ship (breakingof mooring lines). Two simulations with flexible beams are alsopresented. The framework is proven to be efficient for all the abovecases. For instance, the computed transfer functions of a frigate inregular head waves are in good agreement with experimental dataand the effect of the stabilizer fins on the roll decay of a frigate isperfectly captured.Ce travail vise à développer un couplage entre deux solveurs généralistes pour étudier des systèmes mécaniques complexes en interaction forte avec un milieu fluide. La simulation collaborative offre la possibilité de modéliser finement et sans approximation notable le comportement du milieu fluide, la dynamique des systèmes mécaniques considérés et les couplages entre ces deux milieux. Les équations de Navier-Stokes exprimées en moyenne de Reynolds pour un écoulement incompressible, isotherme, turbulent et diphasique sont résolues par ISIS-CFD. La dynamique du système mécanique est résolue par MBDyn, solveur open-source d'analyse des systèmes multi-corps. Une formulation générale et formelle du problème couplé par le biais de la formulation de Steklov-Poincaré est réalisée. Un algorithme de couplage implicite, rapide et stable est proposé, testé et validé. La stabilisation de l'algorithme est obtenue par le biais d'un opérateur de relaxation dépendant des effets de masse ajoutée. Pour cela, une méthode d'évaluation des effets de masse ajoutée est implémentée au sein de ISIS-CFD. Du fait de la formulation volumes finis adoptée au sein de ce solveur, cette méthode est générale. Par exemple, elle permet de prendre en compte des géométries complexes ou la déformée de la surface libre. De plus, l'algorithme de couplage proposé ne requiert pas que des modifications soient apportées au sein de chacun des solveurs. Seule la mise en place d'interfaces est nécessaire. De plus, il est montré que le nombre total d'itérations pour atteindre un état convergé est du même ordre de grandeur lorsque le mouvement est résolu ou quand il est connu d'avance et imposé (configuration optimale). L'algorithme de couplage est validé sur les applications suivantes : étude de structures excitées par des lâchers tourbillonnaires, évaluation des fonctions de transfert d'une frégate soumise à une houle de face, calcul du mouvement de corps de faible densité en déséquilibre hydrostatique (effets de masse ajoutée importants et anisotropes), analyse de l'amortissement en roulis d'une frégate par des ailerons actifs (commande d'actionneurs) et simulation d'un navire amarré en faible profondeur perturbé par un navire passant à proximité (modélisation de ruptures d'amarres). Deux simulations mettant en jeu des corps flexibles de type poutre ont également été menées. La chaîne de calcul s'est montrée performante sur l'ensemble des applications citées ci-dessus. Par exemple, les fonctions de transfert de la frégate soumise à une houle de face sont très proches de celles évaluées lors d'essais expérimentaux et l'effet des ailerons de stabilisation sur l'amortissement en roulis d'une frégate est parfaitement capturé

Mécanique quantique avancée

Ressources éducatives libresOpen educational resourcesManuel d'un cours de mécanique quantique de niveau maîtrise (Université de Sherbrooke). Contenu : principes fondamentaux et révision; théorie de la symétrie; théorie des perturbations; deuxième quantification; applications à la physique du solide; bosons; interactions lumière-matière; théorie relativiste de l’électron; méthodes fonctionnelles

Phénomènes hors équilibres de l'Univers inflationnaire en théorie quantique des champs

In this thesis I study the reheating era of the inflationarry Universe. This makes the link between the inflation of the Universe and the hot Big-Bang model. During it, the inflaton decays into matter which thermalises by its self interaction giving a statistical descirption to the Universe content. This work is realised in the quantum filed theory setup using out-of-equilibrium methods such as the 2-Particle- Irreducible effective action wich allows to deal with the usual difficulties of out-of-equilibrium quantum field theory. First I study the case where matter is represented by scalar fields then by fermionic degrees of freedom, where classical approximation does not exist. I expand the effective action to the Next-to-Leading Order in an inverse number of matter fields expansion wich allows to explore theories where the matter is strongly coupled to itself. In a second part I study the decoherence of primordial density fluctuations. The Inflaton can be seen as a qunatum coherent condensateand its decay as a decoherence. This decoherence and this loss of purity is strongly related to the loss of information an observer has on the system if he's retrained to the Gaussian correlation functions subspace. This work shows that, even in the unusual case where the system is not coupled to an external thermal and/or incoherent environment, this one loose its initial coherence and purity to product degrees of freedom or entropy.Dans cette thèse j'étudie le reheating de l'Univers inflationnaire. Cette ère fait le lien entre l'inflation de l'Univers et le modèle du Big- Bang chaud. Pendant celle-ci, l'Inflaton se désintègre en matière qui, via ses propres intéractions, thermalise et donne une description statistique au contenu de l'Univers. Ce travail est réalisé dans le cadre d'une théorie quantique des champs utilisant des méthodes hors équilibre telle que l'action effective 2-Particule-Irreductible permettant de faire face aux difficultés de la théorie quantique des champs hors équilibre traditionelle. J'étudie premièrement le cas où la matière produite peut être décrite par des champs scalaires puis par des degrés de liberté fermioniques, où l'approximation classique n'existe pas. Je développe l'action effective à l'ordre sous dominant d'un développement non perturbatif en inverse du nombre de champs de matière ce qui permet d'explorer des théories où la matière est fortement couplée à elle-même. Dans une deuxième partie j'étudie la décohérencedes fluctuations primordiales de densité. L'inflaton peut être vu comme un condensat quantiquement cohérent et sa désintégration comme une décohérence de celui-ci. Cette décohérence et perte de pureté est fortement liée à la perte d'information qu'un observateur a sur le système si il se restreint au sousespace Gaussien des fonctions de corrélations. Cette étude montre que, même dans le cadre peu habituel où le système n'est pas en intéraction avec un environnement extérieur incohérent et/ou thermique, celui-ci perd sa pureté et sa cohérence initiale au profit d'une production du nombre de degré de liberté ou d'entropie

Dynamique de condensats de Bose Einstein dans un réseau optique modulé en phase ou en amplitude

La thèse traite de la dynamique d'un Condensat de Bose Einstein (CBE) dans un réseau optique modulé en phase et en amplitude. Dans un premier temps, je présente le dispositif expérimental permettant d'obtenir le CBE ainsi que le réseau optique, et décris les différents contrôles de la phase et de l'amplitude que nous avons mis en place. La première expérience que nous avons effectuée repose sur le changement brusque de la phase du réseau permettant de déplacer celui-ci de quelques dizaines de nm. Cette expérience nous a permis de mettre au point une méthode de calibration de la profondeur du potentiel périodique se basant sur la mesure de la période de la micro-oscillation de la chaîne de condensats induite par le déplacement soudain du potentiel. Il existe ainsi une bijection entre profondeur et période de l'oscillation faisant de cette dernière une candidate idéale comme méthode de calibration. Cette oscillation présente également de l'effet tunnel entre puits du réseau. Nous avons pu mesurer le temps tunnel i.e. le retard entre un paquet d'atomes ayant traversé une barrière de potentiel par effet tunnel et un paquet d'atomes ayant continué son oscillation. La dernière partie de ce manuscrit présente une étude de la dynamique du condensat dans un réseau dont la phase ou l'amplitude sont modulées sinusoïdalement. Nous avons étudié trois régimes de fréquences de modulation présentant des comportements très différents. Les régimes de fréquences sont définies par rapport à la fréquence résonante entre la bande fondamentale du réseau et la première bande excitée. Pour la modulation à basse fréquence, le taux tunnel intersite est renormalisé et peut atteindre des valeurs effectives négatives. Ce phénomène engendre une instabilité dynamique qui est à l'origine d'une transition de phase quantique. Nous avons effectué une étude théorique, numérique et expérimentale qui nous a permis de déterminer le rôle des fluctuations quantiques et thermiques dans la cinétique de cette transition. Pour le régime de modulation haute fréquence, la profondeur du potentiel du réseau est renormalisée par une fonction de Bessel. Nous nous sommes servis de cet effet pour placer les atomes dans une situation très loin de l'équilibre avec un grand contrôle. Enfin, en nous plaçant dans le régime où la fréquence de modulation est de l'ordre de la fréquence résonante entre la bande fondamentale du réseau et la première bande excitée, nous induisons des transitions interbandes. Nos données révèlent les règles de sélection qui sont différentes pour la modulation de phase et d'amplitude, et le rôle des interactions dans les excitations résonantes.The subject of this thesis is the study of the dynamics of a Bose Einstein condensate in a phase and amplitude modulated optical lattice. First, I present the experimental setup allowing us to produce the BEC as well as the optical lattice. I describe the different means of control on the phase and on the amplitude of the lattice that we implemented. The first experiment we performed is based on the sudden shift of the phase of the lattice that induces a displacement of a few tenth of nm. This experiment allowed us to develop a new method to calibrate the depth of the lattice using the period of the micro-oscillation of the BEC chain triggered by the phase shift. There is a bijection between the depth of the lattice and the oscillation period giving the period the ideal profile to be a calibration method. The dynamic of the oscillation shows tunnel effect between adjacent wells of the lattice. We have been able to measure directly the tunneling time which is the delay between an atoms packet which passed through a potential barrier by tunnel effect and a packet of atoms which continued its oscillation. The last part of the manuscript presents a study of the dynamics of the BEC inside a lattice which phase or amplitude is modulated with a sine function. We study three ranges of modulation frequencies showing different behaviors. The frequency is compared with the resonant frequency between the fundamental band of the lattice band structure and the first excited band. When we modulate with low frequencies the phase of the lattice, the tunnel rate between adjacent wells is renormalized. This yields a dynamical instability which triggers a quantum phase transition. We performed a theoretical study, a numerical study and an experimental study that allowed us to define the role of quantum and thermal fluctuations in the system on the kinetics of this transition. For the high modulation frequency regime, the potential depth is renormalized with a Bessel function. We used this effect to put the atoms in a far-out of equilibrium position in a well- controlled manner. Lastly, by choosing the modulation frequency to be of the order of the resonant frequency between the fundamental band and the first excited band, we induce interband transitions. Our data reveal the selection rules which are different for phase and amplitude modulation, and the role of two-body interactions in the excitation process

Contributions à la compression de données

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal