Toric Varieties and Numerical Algorithms for Solving Polynomial Systems

This work utilizes toric varieties for solving systems of equations. In particular, it includes two numerical homotopy continuation algorithms for numerically solving systems of equations. The first algorithm, the Cox homotopy, solves a system of equations on a compact toric variety. The Cox homotopy tracks points in the total coordinate space of the toric variety and can be viewed as a homogeneous version of the polyhedral homotopy of Huber and Sturmfels. The second algorithm, the Khovanskii homotopy, solves a system of equations on a variety in the presence of a finite Khovanskii basis. This homotopy takes advantage of Anderson’s flat degeneration to a toric variety. The Khovanskii homotopy utilizes the Newton-Okounkov body of the system, whose normalized volume gives a bound on the number of solutions to the system. Both homotopy algorithms provide the computational advantage of tracking paths in a compact space while also minimizing the total number of paths tracked. The Khovanskii homotopy is optimal with respect to the number of paths tracked, and the Cox homotopy is optimal when the system is Bernstein-general

High-dimensional polytopes defined by oracles: algorithms, computations and applications

Η επεξεργασία και ανάλυση γεωμετρικών δεδομένων σε υψηλές διαστάσεις διαδραματίζει ένα θεμελιώδη ρόλο σε διάφορους κλάδους της επιστήμης και της μηχανικής. Τις τελευταίες δεκαετίες έχουν αναπτυχθεί πολλοί επιτυχημένοι γεωμετρικοί αλγόριθμοι σε 2 και 3 διαστάσεις. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, οι επιδόσεις τους σε υψηλότερες διαστάσεις δεν είναι ικανοποιητικές. Αυτή η συμπεριφορά είναι ευρέως γνωστή ως κατάρα των μεγάλων διαστάσεων (curse of dimensionality). Δυο πλαίσια λύσης που έχουν υιοθετηθεί για να ξεπεραστεί αυτή η δυσκολία είναι η εκμετάλλευση της ειδικής δομής των δεδομένων, όπως σε περιπτώσεις αραιών (sparse) δεδομένων ή στην περίπτωση που τα δεδομένα βρίσκονται σε χώρο χαμηλότερης διάστασης, και ο σχεδιασμός προσεγγιστικών αλγορίθμων. Στη διατριβή αυτή μελετάμε προβλήματα μέσα σε αυτά τα πλαίσια. Το κύριο ερευνητικό πεδίο της παρούσας εργασίας είναι η διακριτή και υπολογιστικής γεωμετρία και οι σχέσεις της με τους κλάδους της επιστήμης των υπολογιστών και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, όπως είναι η θεωρία πολυτόπων, οι υλοποιήσεις αλγορίθμων, οι πιθανοθεωρητικοί γεωμετρικοί αλγόριθμοι, η υπολογιστική αλγεβρική γεωμετρία και η βελτιστοποίηση. Τα θεμελιώδη γεωμετρικά αντικείμενα της μελέτης μας είναι τα πολύτοπα, και οι βασικές τους ιδιότητες είναι η κυρτότητα και ότι ορίζονται από ένα μαντείο (oracle) σε ένα χώρο υψηλής διάστασης. Η επεξεργασία και ανάλυση γεωμετρικών δεδομένων σε υψηλές διαστάσεις διαδραματίζει ένα θεμελιώδη ρόλο σε διάφορους κλάδους της επιστήμης και της μηχανικής. Τις τελευταίες δεκαετίες έχουν αναπτυχθεί πολλοί επιτυχημένοι γεωμετρικοί αλγόριθμοι σε 2 και 3 διαστάσεις. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, οι επιδόσεις τους σε υψηλότερες διαστάσεις δεν είναι ικανοποιητικές. Δυο πλαίσια λύσης που έχουν υιοθετηθεί για να ξεπεραστεί αυτή η δυσκολία είναι η εκμετάλλευση της ειδικής δομής των δεδομένων, όπως σε περιπτώσεις αραιών (sparse) δεδομένων ή στην περίπτωση που τα δεδομένα βρίσκονται σε χώρο χαμηλότερης διάστασης, και ο σχεδιασμός προσεγγιστικών αλγορίθμων. Το κύριο ερευνητικό πεδίο της παρούσας εργασίας είναι η διακριτή και υπολογιστικής γεωμετρία και οι σχέσεις της με τους κλάδους της επιστήμης των υπολογιστών και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Η συμβολή αυτής της διατριβής είναι τριπλή. Πρώτον, στο σχεδιασμό και την ανάλυση των γεωμετρικών αλγορίθμων για προβλήματα σε μεγάλες διαστάσεις. Δεύτερον, θεωρητικά αποτελέσματα σχετικά με το συνδυαστικό χαρακτηρισμό βασικών οικογενειών πολυτόπων. Τρίτον, η εφαρμογή και πειραματική ανάλυση των προτεινόμενων αλγορίθμων και μεθόδων. Η ανάπτυξη λογισμικού ανοιχτού κώδικα, που είναι διαθέσιμο στο κοινό και βασίζεται και επεκτείνει διαδεδομένες γεωμετρικές και αλγεβρικές βιβλιοθήκες λογισμικού, όπως η CGAL και το polymake.The processing and analysis of high dimensional geometric data plays a fundamental role in disciplines of science and engineering. The last decades many successful geometric algorithms has been developed in 2 and 3 dimensions. However, in most cases their performance in higher dimensions is poor. This behavior is commonly called the curse of dimensionality. A solution framework adopted for the healing of the curse of dimensionality is the exploitation of the special structure of the data, such as sparsity or low intrinsic dimension and the design of approximation algorithms. The main research area of this thesis is discrete and computational geometry and its connections to branches of computer science and applied mathematics. The contribution of this thesis is threefold. First, the design and analysis of geometric algorithms for problems concerning high-dimensional, convex polytopes, such as convex hull and volume computation and their applications to computational algebraic geometry and optimization. Second, the establishment of combinatorial characterization results for essential polytope families. Third, the implementation and experimental analysis of the proposed algorithms and methods. The developed software is opensource, publicly available and builds on and extends state-of-the-art geometric and algebraic software libraries such as CGAL and polymake

Courbure discrète : théorie et applications

International audienceThe present volume contains the proceedings of the 2013 Meeting on discrete curvature, held at CIRM, Luminy, France. The aim of this meeting was to bring together researchers from various backgrounds, ranging from mathematics to computer science, with a focus on both theory and applications. With 27 invited talks and 8 posters, the conference attracted 70 researchers from all over the world. The challenge of finding a common ground on the topic of discrete curvature was met with success, and these proceedings are a testimony of this wor

Q(sqrt(-3))-Integral Points on a Mordell Curve

We use an extension of quadratic Chabauty to number fields,recently developed by the author with Balakrishnan, Besser and M ̈uller,combined with a sieving technique, to determine the integral points overQ(√−3) on the Mordell curve y2 = x3 − 4

LIPIcs, Volume 258, SoCG 2023, Complete Volume

LIPIcs, Volume 258, SoCG 2023, Complete Volum