Improved Compact Visibility Representation of Planar Graph via Schnyder's Realizer

Let $G$ be an $n$-node planar graph. In a visibility representation of $G$, each node of $G$ is represented by a horizontal line segment such that the line segments representing any two adjacent nodes of $G$ are vertically visible to each other. In the present paper we give the best known compact visibility representation of $G$. Given a canonical ordering of the triangulated $G$, our algorithm draws the graph incrementally in a greedy manner. We show that one of three canonical orderings obtained from Schnyder's realizer for the triangulated $G$ yields a visibility representation of $G$ no wider than $\frac{22n-40}{15}$. Our easy-to-implement O(n)-time algorithm bypasses the complicated subroutines for four-connected components and four-block trees required by the best previously known algorithm of Kant. Our result provides a negative answer to Kant's open question about whether $\frac{3n-6}{2}$ is a worst-case lower bound on the required width. Also, if $G$ has no degree-three (respectively, degree-five) internal node, then our visibility representation for $G$ is no wider than $\frac{4n-9}{3}$ (respectively, $\frac{4n-7}{3}$). Moreover, if $G$ is four-connected, then our visibility representation for $G$ is no wider than $n-1$, matching the best known result of Kant and He. As a by-product, we obtain a much simpler proof for a corollary of Wagner's Theorem on realizers, due to Bonichon, Sa\"{e}c, and Mosbah.Comment: 11 pages, 6 figures, the preliminary version of this paper is to appear in Proceedings of the 20th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science (STACS), Berlin, Germany, 200

Compact Visibility Representation of Plane Graphs

The visibility representation (VR for short) is a classical representation of plane graphs. It has various applications and has been extensively studied. A main focus of the study is to minimize the size of the VR. It is known that there exists a plane graph $G$ with $n$ vertices where any VR of $G$ requires a grid of size at least (2/3)n x((4/3)n-3) (width x height). For upper bounds, it is known that every plane graph has a VR with grid size at most (2/3)n x (2n-5), and a VR with grid size at most (n-1) x (4/3)n. It has been an open problem to find a VR with both height and width simultaneously bounded away from the trivial upper bounds (namely with size at most c_h n x c_w n with c_h < 1 and c_w < 2$). In this paper, we provide the first VR construction with this property. We prove that every plane graph of n vertices has a VR with height <= max{23/24 n + 2 Ceil(sqrt(n))+4, 11/12 n + 13} and width <= 23/12 n. The area (height x width) of our VR is larger than the area of some of previous results. However, bounding one dimension of the VR only requires finding a good st-orientation or a good dual s^*t^*-orientation of G. On the other hand, to bound both dimensions of VR simultaneously, one must find a good$st$-orientation and a good dual s^*t^*-orientation at the same time, and thus is far more challenging. Since st-orientation is a very useful concept in other applications, this result may be of independent interests

New Approaches on Octilinear Graph Drawing

Graphenzeichnen ist ein Bereich der Informatik mit langer Tradition. Insbesondere im Bereich des orthogonalen Graphenzeichnens wird seit den 1980er Jahren motiviert durch VLSI-Design (Chip-Design) und Grundrissplanung intensiv geforscht. In dieser Arbeit wird das klassische orthogonale Modell durch neue Elemente, unter anderem aus dem oktilinearen Graphenzeichnen, erweitert. Die ersten Ergebnisse, die wir in dieser Arbeit vorstellen, befassen sich mit oktilinearem Graphenzeichnen. Dieses Modell ist altbekannt und viele Aspekte wurden schon untersucht. Wir entwickeln eine Methode mit der für planare Graphen mit einem beschränkten maximalen Knotengrad (4 und 5) Zeichnungen mit maximal einem Knick pro Kante erstellt werden können. Außerdem zeigen wir, dass Graphen mit maximalem Knotengrad 6 nicht immer mit einem Knick pro Kante gezeichnet werden können. Damit schließen wir die Lücke zwischen bekannten Ergebnissen, die besagen dass Graphen mit maximalem Knotengrad 3 immer ohne Knicke und alle Graphen bis zu einem maximalen Knotengrad von 8 mit höchstens zwei Knicken pro Kante oktilinear gezeichnet werden können. Durch Nutzerstudien konnte gezeigt werden, dass die Lesbarkeit von (Graphen) Zeichnungen durch Knicke auf den Kanten und schlecht identifizierbare Kreuzungen besonders beeinträchtigt wird. An diesem Punkt setzt unser neues Modell, das abgeschrägt orthogonale (engl. slanted orthogonal, oder kurz: slog) Graphenzeichnen an. Im slog Modell ist der kleinste erlaubte Winkel zwischen zwei aufeinander folgenden Kantensegmenten 135°. Das hat zur Folge, dass slog Zeichnungen keine normalen Knicke mehr haben, sondern sogenannte Halb-Knicke. Um Kreuzungen besser erkennbar zu machen sind im slog Modell Kreuzungen ausschließlich zwischen diagonalen Segmenten erlaubt. Wir zeigen, dass eine knick-minimale slog Zeichnung mindestens doppelt so viele Halb-Knicke benötigt, wie eine knick-minimale orthogonale Zeichnung Knicke hat. Für das slog Modell werden in dieser Arbeit Methoden zur Berechnung von knick-minimalen Zeichnungen vorgestellt. Da diese exponentielle Fläche benötigen können, wird außerdem eine Heuristik entwickelt, die nur quadratische Fl ̈ache benötigt, dafür aber mehr Knicke zulässt. Die Ergebnisse einer experimentellen Evaluation des slog Modells werden ebenfalls präsentiert. Im Anschluss erweitern wir das slog Modell zu einer flexibleren Variante die wir sloggy nennen. Das sloggy Modell hat alle Eigenschaften des slog Modells, aber Kreuzungen werden jetzt auch zwischen orthogonalen Segmenten erlaubt. Dafür wird die Anzahl Halb-Knicke beschränkt auf genau zwei Mal die Anzahl Knicke der entsprechenden knick-minimalen orthogonalen Zeichnung. Außerdem wird die Anzahl an Kreuzungen zwischen diagonalen Segmenten maximiert. Wir entwickeln eine Methode zur Berechnung solcher Zeichnungen und zeigen, dass auch hier exponentielle Fläche benötigt werden kann. Das slog und das sloggy Modell sind auf Graphen mit einem maximalen Knotengrad von 4 beschränkt. Deswegen wenden wir uns als nächstes dem Kandinsky Modell zu, einem bekannten Modell mit dem Graphen mit beliebigem Knotengrad gezeichnet werden können. Wir erweitern das bekannte Modell mit Elementen aus dem slog Modell, den Halb-Knicken, um so zuvor verbotene Konfigurationen zeichnen zu können. Mit unserer Erweiterung wollen wir die Gesamtzahl an Knicken und die Größe der Zeichnungen verkleinern. Wir entwickeln eine LP Formulierung, mit der die optimale Zeichnung berechnet werden kann. Da diese sehr lange Zeit zur Berechnung beanspruchen kann, haben wir zusätzliche eine effiziente Heuristik entwickelt. In einer experimentellen Untersuchung vergleichen wir außerdem das neue Modell mit dem klassischen Kandinsky Modell. Im letzten Kapitel vereinen wir dann unsere Modifikation des Kandinsky Modells mit dem slog Modell im sogenannten sloginsky Modell, um Graphen mit beliebigem Knotengrad mit den Vorteilen des slog Modells zeichnen zu können. Wir entwickeln eine Methode zur Berechnung knick-optimaler sloginsky Zeichnungen, aber wir zeigen auch, dass eine solche Zeichnung nicht für jede Eingabe möglich ist. Auch im sloginsky Modell kann eine Zeichnung exponentielle Fläche beanspruchen, was in der experimentellen Evaluation ebenfalls sichtbar wird

Algorithms for drawing planar graphs

Computers raken meer en meer ingeburgerd in de samenleving. Ze worden gebruikt om informatie uit te rekenen, op te slaan en snel weer te geven. Deze weergave kan gebeuren in tekst, tabellen of in allerlei andere schema's. Een plaatje zegt vaak meer dan 1000 woorden, mits het plaatje duidelijk en overzichtelijk is. Een schema kan bestaan uit rechthoeken met informatie en verbindingslijnen tussen deze rechthoeken. Denk maar aan een schematische weergave van de organisatie structuur van een bedrijf. Of beschouw een schematische weergave van alle relaties en links in een database of een ander software programma. Ook een plan voor een uit te voeren project moet duidelijk laten zien welke onderdelen afhankelijk van elkaar zijn en tegelijk of na elkaar uitgevoerd moeten worden. Uit een schema moeten alle onderlinge relaties direct blijken. Ook op het gebied van electrische schakelingen zijn er vaak vereenvoudigde schema's die alle verbindingen tussen de componenten weergeven. Denk maar aan de bijlagen van een televisietoestel. Een schema wordt hier veelal gebruikt om later reparaties of uitbreidingen aan de electrische schakelingen uit te voeren. De elec- trische schakelingen kunnen uit duizenden componenten bestaan. Als er zeer veel van deze schakelingen grasch weergegeven moeten worden, is het belangrijk dat tekeningen van deze netwerken snel gemaakt kunnen worden, en het resultaat moet duidelijk en overzichtelijk zijn. In meer algemene zin bestaat een netwerk uit een aantal componenten, met verbindingen tussen deze componenten. In de wiskunde worden deze netwerken ook wel grafen genoemd. De componenten worden knopen genoemd en de verbindingen lijnen. Dit proefschrift is gewijd aan het automatisch tekenen en grasch representeren van grafen. De hierboven vermelde voorbeelden geven een goed inzichtin de be- trokken vragen bij de methoden, ook wel algoritmen genoemd, om een layout van een graaf te maken. Helaas zijn esthetische criteria zoals \leesbaarheid" of een \mooie tekening" niet direct te vertalen tot wiskundige formules. Anderzijds kan een wiskundig optimaliseringcriterium een goede keus zijn voor een bepaalde graaf, maar leiden tot een onoverzichtelijke tekening in andere gevallen. Heel vaak voldoet een goede tekening aan een combinatie van optimaliseringscriteria. Een belangrijk criterium is ofdat de graaf zonder kruisende lijnen getekend kan worden. Als dit het geval is dan wordt de graaf planair genoemd. We bestuderen in dit proefschrift het automatisch tekenen en representeren van 223?224 SAMENVATTING planaire grafen in het platte vlak en op roosters (dus alle co? ordinaten zijn gehele getallen). We tekenen de planaire grafen ook zonder kruisende lijnen. Belangrijke criteria voor de representatie van planaire grafen, genoemd in de literatuur, zijn de volgende: Het minimaliseren van het aantal bochten in de verbindingen (of het tekenen van de graaf met alle verbindingen als rechte lijnen weergegeven). Het minimaliseren van het totaal gebruikte gebied waarbinnen de representatie \mooi" kan worden weergegeven. Het plaatsen van de knopen, lijnen en bochten op roostercoordinaten. Het maximaliseren van de hoeken tussen elke twee opeenvolgende uitgaande verbindingen van een knoop. Het maximaliseren van de totale afstand tussen de knopen. De interne gebieden moeten convex getekend worden. Kwantitatieve uitspraken over de kwaliteit van een tekenalgoritme worden steeds gedaan in termen van het aantal knopen van een graaf. Het proefschrift is onderverdeeld in drie delen: Deel A presenteert een inleiding tot het gebied van planaire grafen. Het geeft een uitgebreid overzicht ven de belangrijkste basistechnieken en algoritmen, die vooraf- gaan aan de algoritmen, beschreven in de andere delen. Deel B beschouwt het probleem van het uitbreiden van planaire grafen zodat een bepaalde graad van samenhangendheid wordt bereikt. Een graaf heet k-samen- hangend als na het weglaten van

Visualization Algorithms for Maps and Diagrams

One of the most common visualization tools used by mankind are maps or diagrams. In this thesis we explore new algorithms for visualizing maps (road and argument maps). A map without any textual information or pictograms is often without use so we research also further into the field of labeling maps. In particular we consider the new challenges posed by interactive maps offered by mobile devices. We discuss new algorithmic approaches and experimentally evaluate them

Large bichromatic point sets admit empty monochromatic 4-gons

We consider a variation of a problem stated by Erd˝os and Szekeres in 1935 about the existence of a number fES(k) such that any set S of at least fES(k) points in general position in the plane has a subset of k points that are the vertices of a convex k-gon. In our setting the points of S are colored, and we say that a (not necessarily convex) spanned polygon is monochromatic if all its vertices have the same color. Moreover, a polygon is called empty if it does not contain any points of S in its interior. We show that any bichromatic set of n ≥ 5044 points in R2 in general position determines at least one empty, monochromatic quadrilateral (and thus linearly many).Postprint (published version

Visualizing Set Relations and Cardinalities Using Venn and Euler Diagrams

In medicine, genetics, criminology and various other areas, Venn and Euler diagrams are used to visualize data set relations and their cardinalities. The data sets are represented by closed curves and the data set relationships are depicted by the overlaps between these curves. Both the sets and their intersections are easily visible as the closed curves are preattentively processed and form common regions that have a strong perceptual grouping effect. Besides set relations such as intersection, containment and disjointness, the cardinality of the sets and their intersections can also be depicted in the same diagram (referred to as area-proportional) through the size of the curves and their overlaps. Size is a preattentive feature and so similarities, differences and trends are easily identified. Thus, such diagrams facilitate data analysis and reasoning about the sets. However, drawing these diagrams manually is difficult, often impossible, and current automatic drawing methods do not always produce appropriate diagrams. This dissertation presents novel automatic drawing methods for different types of Euler diagrams and a user study of how such diagrams can help probabilistic judgement. The main drawing algorithms are: eulerForce, which uses a force-directed approach to lay out Euler diagrams; eulerAPE, which draws area-proportional Venn diagrams with ellipses. The user study evaluated the effectiveness of area- proportional Euler diagrams, glyph representations, Euler diagrams with glyphs and text+visualization formats for Bayesian reasoning, and a method eulerGlyphs was devised to automatically and accurately draw the assessed visualizations for any Bayesian problem. Additionally, analytic algorithms that instantaneously compute the overlapping areas of three general intersecting ellipses are provided, together with an evaluation of the effectiveness of ellipses in drawing accurate area-proportional Venn diagrams for 3-set data and the characteristics of the data that can be depicted accurately with ellipses