High Performance Computing for Stability Problems - Applications to Hydrodynamic Stability and Neutron Transport Criticality

In this work we examine two kinds of applications in terms of stability and perform numerical evaluations and benchmarks on parallel platforms. We consider the applicability of pseudospectra in the field of hydrodynamic stability to obtain more information than a traditional linear stability analysis can provide. Furthermore, we treat the neutron transport criticality problem and highlight the Davidson method as an attractive alternative to the so far widely used power method in that context

Matrix-based techniques for (flow-)transition studies

In this thesis, numerical techniques for the computation of flow transitions was introduced and studied. The numerical experiments on a variety of two- and three- dimensional multi-physics problems show that continuation approach is a practical and efficient way to solve series of steady states as a function of parameters and to do bifurcation analysis. Starting with a proper initial guess, Newton’s method converges in a few steps. Since solving the linear systems arising from the discretization takes most of the computational work, efficiency is determined by how fast the linear systems can be solved. Our home-made preconditioner Hybrid Multilevel Linear Solver(HYMLS) can compute three-dimensional solutions at higher Reynolds numbers and shows its robustness both in the computation of solutions as well as eigenpairs, due to the iteration in the divergence-free space. To test the efficiency of linear solvers for non-flow problems, we studied a well-known reaction-diffusion system, i.e., the BVAM model of the Turing problem. The application to the Turing system not only proved our program’s ability in doing nonlinear bifurcation analysis efficiently but also provided insightful information on two- and three- dimensional pattern formation

Preconditioning for Sparse Linear Systems at the Dawn of the 21st Century: History, Current Developments, and Future Perspectives

Iterative methods are currently the solvers of choice for large sparse linear systems of equations. However, it is well known that the key factor for accelerating, or even allowing for, convergence is the preconditioner. The research on preconditioning techniques has characterized the last two decades. Nowadays, there are a number of different options to be considered when choosing the most appropriate preconditioner for the specific problem at hand. The present work provides an overview of the most popular algorithms available today, emphasizing the respective merits and limitations. The overview is restricted to algebraic preconditioners, that is, general-purpose algorithms requiring the knowledge of the system matrix only, independently of the specific problem it arises from. Along with the traditional distinction between incomplete factorizations and approximate inverses, the most recent developments are considered, including the scalable multigrid and parallel approaches which represent the current frontier of research. A separate section devoted to saddle-point problems, which arise in many different applications, closes the paper

Solving Eigenproblems with application in collapsible channel flows

Collapsible channel flows have been attracting the interest of many researchers, because of the physiological applications in the cardiovascular system, the respiratory system and urinary system. The linear stability analysis of the collapsible channel flows in the Fluid-Beam Model can be finalized as a large sparse asymmetric generalized eigenvalue problem, where the stiffness matrix is sparse, asymmetric and nonsingular, and the mass matrix is sparse, asymmetric and singular. The dimensions of the both matrices can reach about ten thousand or more, and the traditional QZ Algorithm is so expensive for this size of eigenvalue problem, due to its large requirement of computational resources and the quite long elapsed time. Unlike the traditional direct methods, the projection methods are much more efficient for solving some specified eigenpairs of the large scale eigenvalue problems, because normally a small subspace is made use of, and the original eigenvalue problem is projected to this small subspace. With this projection, the size of the eigenvalue problem is reduced significantly, and then the small dimensional eigenvalue problem can be easily and rapidly worked out by employing a traditional solver. Combined with a restarting strategy, this can be used to solve large dimensional eigenvalue problem much more rapidly and precisely. So far as we know, the Implicitly Restarted Arnoldi iteration(IRA) is considered as one of the most effective asymmetric eigenvalue solvers. In order to improve the efficiency of linear stability analysis in collapsible channel flows, an IRA method is employed to the linear stability analysis of collapsible channel flows in FBM. A Frontal Solver, which is an efficient solver of large sparse linear system, is also used to replace the process of shift-and-invert transformation. After applying these two efficient solvers, the new eigenvalue solver of collapsible channel flows---Arnoldi method with a Frontal Solver(AR-F), not only gets rid of the restriction of memory storage, but also reduces the computational time observably. Some validating and testing work have been done to variety of meshes. The AR-F can solve the eigenvalues with largest real parts very quickly, and can also solve the large scale eigenvalue problems, which cannot be solved by the QZ Algorithm, whose results have been proved to be correct with the unsteady simulations. Compared with the traditional QZ Algorithm, not only a great deal of elapsed time is saved, but also the increasing rate of the operation numbers is dropped to $O(n)$ from $O(n^3)$ of QZ Algorithm. With the powerful AR-F, the stability problems of refined meshes in collapsible channel flows are no long a barrier to the study. So AR-F is used to solve the eigenvalue problems from two refined meshes of the two different boundary conditions(pressure-driven system and flow-driven system), and the two neutral curves obtained are both revised and extended. This is the first time that IRA is made use of in the problem of fluid-structure interaction, and this is also a critical footstone to adopt a three dimensional model over FBM. Recently, the energy analysis and the energetics are the centre of research in collapsible channel flow. Because the linear stability analysis is much more accurate and faster than the unsteady simulation, the energy solutions from eigenpairs are also achieved in this thesis. The energy analysis with eigenpairs has its own advantages: the accuracy, the timing, the division, any mode and any point. In order to analyze the energy from eigenpairs much more clearly, the energy results with different initial solutions are presented first, then the energy solutions with eigenpairs are validated with those presented by Liu et al. in the pressure-driven system. By using the energy analysis with eigenpairs, much more energy results in flow-dirven system are obtained and analyzed

Domain decomposition in the Jacobi-Davidson method for eigenproblems

Grootschalige eigenwaardeproblemen spelen een belangrijke rol in wetenschappelijk onderzoek naar een breed scala van fenomenen. Deze fenomenen hebben vaak niet de belangstelling van wetenschappers alleen, het betreffen ook verschijnselen die regelmatig in het nieuws komen zoals klimaatverandering en aardbevingen. Voor het berekenen van oplossingen voor grootschalige eigenwaardeproblemen is de afgelopen twee decennia een aanzienlijke vooruitgang gemaakt met de ontwikkeling van numerieke methoden. Een van de meest attractieve methoden is de Jacobi-Davidson methode. De Jacobi-Davidson methode reduceert een groot eigenwaardeprobleem tot een klein probleem door het te projecteren op een geschikte laag dimensionale deelruimte. Benaderende oplossingen voor het grote probleem worden verkregen door middel van hoge precisie oplossingen van het kleine probleem. De crux van de methode is hoe de deelruimte wordt uitgebreid. De uitbreidingsvector van de deelruimte wordt berekend uit de zogenaamde correctie vergelijking. Het leven is helaas niet zo gemakkelijk: de correctie vergelijking op zichzelf vormt een groot lineair stelsel, met afmetingen gelijk aan die van het oorspronkelijke grote eigenwaardeprobleem. Dit is de reden dat het meeste rekenwerk van de Jacobi-Davidson methode voortkomt uit het berekenen van (benaderende) oplossingen voor de correctie vergelijking. Het proefschrift houdt zich bezig met de vraag hoe een preconditioneerder gebaseerd op domeindecompositie in de Jacobi-Davidson methode kan worden ingebed om het leven wat te veraangenamen voor PDV-achtige eigenwaardeproblemen. Eerst worden in hoofdstuk 2 alternatieve correctie vergelijkingen voor de Jacobi-Davidson methode zonder reconditionering bestudeerd. Motivatie voor deze studie is de analogie met de geneste iteratieve methoden GMRESR en GCRO voor lineaire systemen. Bovendien kan het een remedie zijn in geval van een meervoudige eigenwaarde. Na deze pilotstudie is het kader geschetst voor het inbedden van de domeindecompositie techniek in de Jacobi-Davidson methode. De techniek is gebaseerd op eerder werk van W.P. Tang en K.H. Tan & M.J.A. Borsboom voor lineaire systemen. Voor een lineair systeem heeft W.P. Tang voorgesteld het systeem met copieen van de onbekenden bij de interne rand tussen de subdomeinen uit te breiden om zo een additieve Schwarz methode met minimale overlap mogelijk te maken. K.H. Tan & M.J.A. Borsboom hebben dit idee verder verfijnd door in plaats van copieen juist virtuele onbekenden te introduceren voor deze onbekenden. Op deze manier worden extra vrijheidsgraden gecreeerd, die zich terugvertalen in koppelingsvergelijkingen voor onbekenden en virtuele tegenhangers bij de interne rand. Het idee is nu om deze koppelingsvergelijkingen af te stemmen voor het onderliggende eigenwaardeprobleem om zo de convergentie van de oplossingsmethode te versnellen. Echter, in de correctie vergelijking komt een operator voor waarbij een matrix is opgeschoven met een benaderende eigenwaarde. Daarom is speciale aandacht vereist bij het toepassen van de domeindecompositie methode op de correctie vergelijking. Het blijkt dat de eigenwaarde een kritieke rol speelt bij de selectie van optimale koppelings-vergelijkingen. Numerieke voorbeelden vergezellen de discussie in hoofdstuk 3 om een aantal karakteristieke eigenschappen te illustreren. De benadering in hoofdstuk 3 is conceptueel van aard, hoofdstuk 4 behandelt juist een aantal praktische aspecten. In veel toepassingen hebben de eigenwaardeproblemen coefficienten die varieren over het fysische domein. Experimenteel wordt getoond hoe resultaten uit hoofdstuk 3 in geval van constante coefficienten toegepast kunnen worden in het geval van variabele coefficienten. Verschillende kenmerkende numerieke experimenten vergezellen de discussie. Aansluitend wordt aandacht besteed aan meer complexe geometrieen. In het laatste hoofdstuk wordt verteld hoe, indien eenmaal een preconditioneerder gebaseerd op domeindecompositie is geconstrueerd voor de iteratieve berekening van oplossingen van de correctie vergelijking (de "binnenlus"), dit verder uitgebuit kan worden door het verband tussen de "binnenlus" en "buitenlus" (het iteratief berekenen van oplossingen voor het eigenwaardeprobleem met Jacobi-Davidson zelf) nader te beschouwen. Voor een hoge mate van parallellisme, dwz. voor een groot aantal subdomeinen, wordt het geobserveerde verschijnsel significant

A Staggered Grid Multi-Level ILU for steady incompressible flows

We present a parallel fully coupled multi-level incomplete factorization preconditioner for the 3D stationary incompressible Navier-Stokes equations on a structured grid. The algorithm and software are based on the robust two-level method developed in [1]. In this paper, we identify some of the weak spots of the two-level scheme and propose remedies such as a different domain partitioning and recursive application of the method. We apply the method to the wellknown 3D lid-driven cavity benchmark problem, and demonstrate its superior robustness by comparing with a segregated SIMPLE-type preconditioner

Low-Rank Iterative Solvers for Large-Scale Stochastic Galerkin Linear Systems

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Fakultät für Mathematik, Dissertation, 2016von Dr. rer. pol. Akwum Agwu OnwuntaLiteraturverzeichnis: Seite 135-14