(Di)graph products, labelings and related results

Gallian's survey shows that there is a big variety of labelings of graphs. By means of (di)graphs products we can establish strong relations among some of them. Moreover, due to the freedom of one of the factors, we can also obtain enumerative results that provide lower bounds on the number of nonisomorphic labelings of a particular type. In this paper, we will focus in three of the (di)graphs products that have been used in these duties: the ⊗h-product of digraphs, the weak tensor product of graphs and the weak ⊗h-product of graphs.Reseach supported by the Spanish Government under project MTM2014-60127-P and symbolically by the Catalan Research Council under grant 2014SGR1147

Kekuatan tak beraturan sisi total pada graf hasil gabungan graf lintasan dengan beberapa kelas graf

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan nilai kekuatan tak beraturan sisi total pada graf hasil gabungan graf lingkaran dengan graf lintasan dan graf hasil gabungan dua graf lingkaran masing-masing untuk n sama dengan 3. Pelabelan tak beraturan sisi total pada graf, dengan himpunan titik tak kosong V dan himpunan sisi E suatu fungsi, sehingga bobot setiap sisinya berbeda. Nilai k terkecil pada pelabelan tak beraturan sisi total disebut kekuatan tak beraturan sisi total dari G yang dinotasikan dengan tes G. Selanjutnya, bobot sebuah sisi uv dengan fungsi pelabelan. Berdasarkan pembahasan, dapat disimpulkan bahwa nilai kekuatan tak beraturan sisi total pada graf hasil gabungan graf lingkaran dengan graf lintasan dan graf hasil gabungan dua graf lingkaran yang berturut-turut mempunyai nilai n sama dengan 3

On Integer Additive Set-Sequential Graphs

International audienceA set-labelling of a graph G is an injective function f : V (G) → P(X), where X is a finite set of non-negative integers and a set-indexer of G is a set-labeling such that the induced function f ⊕ : E(G) → P(X) − {∅} defined by f ⊕ (uv) = f (u)⊕f (v) for every uv∈E(G) is also injective. A set-indexer f : V (G) → P(X) is called a set-sequential labeling of G if f ⊕ (V (G) ∪ E(G)) = P(X) − {∅}. A graph G which admits set-sequential labelling is called a set-sequential graph. An integer additive set-labeling is an injective function f : V (G) → P(N 0 ), N 0 is the set of all non-negative integers and an integer additive set-indexer is an integer additive set-labeling such that the induced function f + : E(G) → P(N 0 ) defined by f + (uv) = f (u) + f (v) is also injective. In this paper, we extend the concepts of set-sequential labelling to integer additive set-labellings of graphs and provide some resultson them

Odd and Even Ratio Edge Antimagic Labeling

In this paper we introduce a new labeling namely odd and even ratio edge antimagic labeling and study the existence of this labeling for basic graph structures .&nbsp

Неполные турниры и магические типы разметок

Предложен обзор существующих теоретических результатов по вершинным магическим разметкам графов, применяемым в качестве математических моделей в задачах составления расписаний для неполных турниров. Выполнена их систематизация для адаптации к другим видам задач. Методы построения графов неполных турниров разбиты на три группы. Предложены новые подходы для их реализации.Мета — систематизувати основні теоретичні відомості, що стосуються даної тематики, виділити відриті проблеми, класифікувати методи побудови графів турнірів та уніфікувати алгоритми їх опису відповідно до класифікації. Методи. Запропоновано нові алгоритми побудови графів неповних турнірів. Це дає можливість розширити коло задач з використанням математичних моделей на основі розмічених графівPurpose. The purpose of the article is to systematize the main theoretical information related to this topic, to highlight the problems that have not been solved, to classify the methods of constructing graphs of tournaments and to unify the algorithms for their description in accordance with this classification. Methods. New algorithms for constructing incomplete tournaments graphs are offered. This makes it possible to extend the range of tasks using mathematical models based on labeled graphs

Product of digraphs, (super) edge-magic valences and related problems

Discrete Mathematics, and in particular Graph Theory, has gained a lot of popularity during the last 7 decades. Among the many branches in Graph Theory, graph labelings has experimented a fast development, in particular during the last decade. One of the very important type of labelings are super edge-magic labelings introduced in 1998 by Enomoto et al. as a particular case of edge-magic labelings, introduced in 1970 by Kotzig and Rosa. An edge-magic labeling is a bijective mapping from the set of vertices and edges to [1, |V(G)|+|E(G)|], such that the sum of the labels of each edge and the incident vertices to it is constant. The constant is called the valence of the labeling. The edge-magic labeling is called super edge-magic if the smallest labels are assigned to the vertices. In this thesis, we consider three problems related to (super) edge-magic labelings and (di)graph products in which we use a family of super edge-magic digraphs as a second factor of the product. The digraph product we use, the h-product, was introduced by Figueroa-Centeno et al. in 2008. It is a generalization of the Kronecker product of digraphs. In Chapter 2, we study the super edge-magicness of graphs of equal order and size either by providing super edge-magic labelings of some elements in the family or proving that these labelings do not exist. The negative results are specially interesting since these kind of results are not common in the literature. Furthermore, the few results found in this direction usually meet one of the following reasons: too many vertices compared with the number of edges; too many edges compared with the number of vertices; or parity conditions. In our case, all previous reasons fail. In Chapter 3, we enlarge the family of perfect (super) edge-magic crowns. A crown is obtained from a cycle by adding the same number of pendant edges to each vertex of the cycle. Intuitively speaking, a (super) edge-magic graphs is perfect (super) edge-magic if all possible theoretical valences occur. The main result of the chapter is that the crowns defined by a cycle of length pq, where p and q are different odd primes, are perfect (super) edge-magic. We also provided lower bounds for the number of edge-magic valences of crowns. For graphs of equal order and size, the odd and the even labelling construction allows to obtain two edge-magic labelings from a particular super edge-magic labeling. The name refers to the parity of the vertex labels. In Chapter 4, we begin by providing some properties of odd and even labelling construction related to the (super) edge-magic labeling and also with respect to the digraph product. We also get a new application of the h-product by interchanging the role of the factors. This allows us to consider the classical conjecture of Godbold and Slater with respect to valences of cycles with a different point of view than the ones existing. Finally, we devote Chapter 5 to study the problem of edge-magic valences of crowns, in which even cycles appear, and to establish a relationship between super edge-magic graphs and graph decompositions. Some lower bounds on the number of (super) edge-magic valences are also established.La Matemàtica Discreta, i en particular la Teoria de Grafs, han guanyat molta popularitat durant les últimes set dècades. Entre les moltes branques de la Teoria de Grafs, els etiquetatges de grafs han experimentat un ràpid desenvolupament, especialment durant l'última dècada. Un dels tipus d'etiquetatges més importants són els etiquetatges super branca-màgics introduïts el 1998 per Enomoto et al. com un cas particular d'etiquetatges branca-màgics, introduïts el 1970 per Kotzig i Rosa. Un etiquetatge branca-màgic és una aplicació bijectiva del conjunt de vèrtexs i branques a [1, |V(G)|+|E(G)|], de manera que la suma de les etiquetes de cada branca i els vèrtexs incidents a ella és constant. La constant s'anomena valència de l'etiquetatge. L'etiquetatge branca-màgic s'anomena super branca-màgic si les etiquetes més petites s'assignen als vèrtexs. En aquesta tesi, considerem tres problemes relacionats amb etiquetatges (super) branca-màgic i productes de digrafs, en els que intervé una família de grafs super branca-màgic com a segon factor del producte. El producte de digrafs que usem, el producte h, va ser introduït per Figueroa-Centeno et al. el 2008. És una generalització del producte de Kronecker de digraphs. En el Capítol 2, estudiem el caràcter super branca-màgic de grafs d’ordre igual a mida, ja sigui proporcionant etiquetatges super branca-màgics d'alguns elements de la família o demostrant que aquests tipus d’etiquetatges no existeixen. Els resultats negatius són especialment interessants ja que aquest tipus de resultats no són comuns en la literatura. A més, els pocs resultats trobats en aquesta direcció solen encabir-se en una de les raons següents: massa vèrtexs en comparació amb el nombre de branques; massa branques en comparació amb el nombre de vèrtexs; o condicions de paritat. En el nostre cas, totes les raons anteriors fracassen. En el Capítol 3, ampliem la família de corones (super) branca-màgiques perfectes. Una corona és el graf que s’obté a partir d’un afegint el mateix nombre de branques a cada vèrtex del cicle. Intuïtivament parlant, un graf (super) branca màgic és (super) branca màgic si es donen totes les possibles valències teòriques. El resultat principal del capítol és que les corones definides per un cicle de longitud pq, on p i q són primers senars diferents, són (super) branca màgics perfectes. També proporcionem cotes inferiors per a la quantitat de valències màgiques de corones. Per a grafs d'igual ordre i mida, la construcció de l'etiquetatge senar i parell permet obtenir dos etiquetatges branca-màgics a partir d'un etiquetatge super branca-màgic. El nom fa referència a la paritat de les etiquetes de vèrtex. Al capítol 4, comencem proporcionant algunes propietats de la construcció de l'etiquetatge senar i parell relacionades amb l'etiquetatge (super) branca-màgic del que proven i també al producte h de dígrafs. També obtenim una nova aplicació del producte h intercanviant el paper dels factors. Això ens permet considerar la conjectura de Godbold i Slater respecte a les valències dels cicles des d’un punt de vista diferent a les existents. Finalment, dediquem el Capítol 5 a estudiar el problema de les valències branca-màgiques de les corones, en les que apareixen cicles parells, i a establir una relació entre els grafs super branca-màgic i les descomposicions de grafs. També s'estableixen alguns cotes inferiors del nombre de valències (super) branca-màgiques.Postprint (published version

Product of digraphs, (super) edge-magic valences and related problems

Discrete Mathematics, and in particular Graph Theory, has gained a lot of popularity during the last 7 decades. Among the many branches in Graph Theory, graph labelings has experimented a fast development, in particular during the last decade. One of the very important type of labelings are super edge-magic labelings introduced in 1998 by Enomoto et al. as a particular case of edge-magic labelings, introduced in 1970 by Kotzig and Rosa. An edge-magic labeling is a bijective mapping from the set of vertices and edges to [1, |V(G)|+|E(G)|], such that the sum of the labels of each edge and the incident vertices to it is constant. The constant is called the valence of the labeling. The edge-magic labeling is called super edge-magic if the smallest labels are assigned to the vertices. In this thesis, we consider three problems related to (super) edge-magic labelings and (di)graph products in which we use a family of super edge-magic digraphs as a second factor of the product. The digraph product we use, the h-product, was introduced by Figueroa-Centeno et al. in 2008. It is a generalization of the Kronecker product of digraphs. In Chapter 2, we study the super edge-magicness of graphs of equal order and size either by providing super edge-magic labelings of some elements in the family or proving that these labelings do not exist. The negative results are specially interesting since these kind of results are not common in the literature. Furthermore, the few results found in this direction usually meet one of the following reasons: too many vertices compared with the number of edges; too many edges compared with the number of vertices; or parity conditions. In our case, all previous reasons fail. In Chapter 3, we enlarge the family of perfect (super) edge-magic crowns. A crown is obtained from a cycle by adding the same number of pendant edges to each vertex of the cycle. Intuitively speaking, a (super) edge-magic graphs is perfect (super) edge-magic if all possible theoretical valences occur. The main result of the chapter is that the crowns defined by a cycle of length pq, where p and q are different odd primes, are perfect (super) edge-magic. We also provided lower bounds for the number of edge-magic valences of crowns. For graphs of equal order and size, the odd and the even labelling construction allows to obtain two edge-magic labelings from a particular super edge-magic labeling. The name refers to the parity of the vertex labels. In Chapter 4, we begin by providing some properties of odd and even labelling construction related to the (super) edge-magic labeling and also with respect to the digraph product. We also get a new application of the h-product by interchanging the role of the factors. This allows us to consider the classical conjecture of Godbold and Slater with respect to valences of cycles with a different point of view than the ones existing. Finally, we devote Chapter 5 to study the problem of edge-magic valences of crowns, in which even cycles appear, and to establish a relationship between super edge-magic graphs and graph decompositions. Some lower bounds on the number of (super) edge-magic valences are also established.La Matemàtica Discreta, i en particular la Teoria de Grafs, han guanyat molta popularitat durant les últimes set dècades. Entre les moltes branques de la Teoria de Grafs, els etiquetatges de grafs han experimentat un ràpid desenvolupament, especialment durant l'última dècada. Un dels tipus d'etiquetatges més importants són els etiquetatges super branca-màgics introduïts el 1998 per Enomoto et al. com un cas particular d'etiquetatges branca-màgics, introduïts el 1970 per Kotzig i Rosa. Un etiquetatge branca-màgic és una aplicació bijectiva del conjunt de vèrtexs i branques a [1, |V(G)|+|E(G)|], de manera que la suma de les etiquetes de cada branca i els vèrtexs incidents a ella és constant. La constant s'anomena valència de l'etiquetatge. L'etiquetatge branca-màgic s'anomena super branca-màgic si les etiquetes més petites s'assignen als vèrtexs. En aquesta tesi, considerem tres problemes relacionats amb etiquetatges (super) branca-màgic i productes de digrafs, en els que intervé una família de grafs super branca-màgic com a segon factor del producte. El producte de digrafs que usem, el producte h, va ser introduït per Figueroa-Centeno et al. el 2008. És una generalització del producte de Kronecker de digraphs. En el Capítol 2, estudiem el caràcter super branca-màgic de grafs d’ordre igual a mida, ja sigui proporcionant etiquetatges super branca-màgics d'alguns elements de la família o demostrant que aquests tipus d’etiquetatges no existeixen. Els resultats negatius són especialment interessants ja que aquest tipus de resultats no són comuns en la literatura. A més, els pocs resultats trobats en aquesta direcció solen encabir-se en una de les raons següents: massa vèrtexs en comparació amb el nombre de branques; massa branques en comparació amb el nombre de vèrtexs; o condicions de paritat. En el nostre cas, totes les raons anteriors fracassen. En el Capítol 3, ampliem la família de corones (super) branca-màgiques perfectes. Una corona és el graf que s’obté a partir d’un afegint el mateix nombre de branques a cada vèrtex del cicle. Intuïtivament parlant, un graf (super) branca màgic és (super) branca màgic si es donen totes les possibles valències teòriques. El resultat principal del capítol és que les corones definides per un cicle de longitud pq, on p i q són primers senars diferents, són (super) branca màgics perfectes. També proporcionem cotes inferiors per a la quantitat de valències màgiques de corones. Per a grafs d'igual ordre i mida, la construcció de l'etiquetatge senar i parell permet obtenir dos etiquetatges branca-màgics a partir d'un etiquetatge super branca-màgic. El nom fa referència a la paritat de les etiquetes de vèrtex. Al capítol 4, comencem proporcionant algunes propietats de la construcció de l'etiquetatge senar i parell relacionades amb l'etiquetatge (super) branca-màgic del que proven i també al producte h de dígrafs. També obtenim una nova aplicació del producte h intercanviant el paper dels factors. Això ens permet considerar la conjectura de Godbold i Slater respecte a les valències dels cicles des d’un punt de vista diferent a les existents. Finalment, dediquem el Capítol 5 a estudiar el problema de les valències branca-màgiques de les corones, en les que apareixen cicles parells, i a establir una relació entre els grafs super branca-màgic i les descomposicions de grafs. També s'estableixen alguns cotes inferiors del nombre de valències (super) branca-màgiques