Investigations in Belnap's Logic of Inconsistent and Unknown Information

Nuel Belnap schlug 1977 eine vierwertige Logik vor, die -- im Gegensatz zur klassischen Logik -- die Faehigkeit haben sollte, sowohl mit widerspruechlicher als auch mit fehlender Information umzugehen. Diese Logik hat jedoch den Nachteil, dass sie Saetze der Form 'wenn ..., dann ...' nicht ausdruecken kann. Ausgehend von dieser Beobachtung analysieren wir die beiden nichtklassischen Aspekte, Widerspruechlichkeit und fehlende Information, indem wir eine dreiwertige Logik entwickeln, die mit widerspruechlicher Information umgehen kann und eine Modallogik, die mit fehlender Information umgehen kann. Beide Logiken sind nicht monoton. Wir untersuchen Eigenschaften, wie z.B. Kompaktheit, Entscheidbarkeit, Deduktionstheoreme und Berechnungkomplexitaet dieser Logiken. Es stellt sich heraus, dass die dreiwertige Logik, nicht kompakt und ihre Folgerungsmenge im Allgemeinen nicht rekursiv aufzaehlbar ist. Beschraenkt man sich hingegen auf endliche Formelmengen, so ist die Folgerungsmenge rekursiv entscheidbar, liegt in der Klasse $\Sigma_2^P$ der polynomiellen Zeithierarchie und ist DIFFP-schwer. Wir geben ein auf semantischen Tableaux basierendes, korrektes und vollstaendiges Berechnungsverfahren fuer endliche Praemissenmengen an. Darueberhinaus untersuchen wir Abschwaechungen der Kompaktheitseigenschaft. Die nichtmonotone auf S5-Modellen basierende Modallogik stellt sich als nicht minder komplex heraus. Auch hier untersuchen wir eine sinnvolle Abschwaechung der Kompaktheitseigenschaft. Desweiteren studieren wir den Zusammenhang zu anderen nichtmonotonen Modallogiken wie Moores autoepistemischer Logik (AEL) und McDermotts NML-2. Wir zeigen, dass unsere Logik zwischen AEL und NML-2 liegt. Schliesslich koppeln wir die entworfene Modallogik mit der dreiwertigen Logik. Die dabei enstehende Logik MKT ist eine Erweiterung des nichtmonotonen Fragments von Belnaps Logik. Wir schliessen unsere Betrachtungen mit einem Vergleich von MKT und verschiedenen informationstheoretischen Logiken, wie z.B. Nelsons N und Heytings intuitionistischer Logik ab

Power constructs and propositional systems

Bibliography : p. 161-176.Propositional systems are deductively closed sets of sentences phrased in the language of some propositional logic. The set of systems of a given logic is turned into an algebra by endowing it with a number of operations, and into a relational structure by endowing it with a number of relations. Certain operations and relations on systems arise from some corresponding base operation or relation, either on sentences in the logic or on propositional valuations. These operations and relations on systems are called power constructs. The aim of this thesis is to investigate the use of power constructs in propositional systems. Some operations and relations on systems that arise as power constructs include the Tarskian addition and product operations, the contraction and revision operations of theory change, certain multiple- conclusion consequence relations, and certain relations of verisimilitude and simulation. The logical framework for this investigation is provided by the definition and comparison of a number of multiple-conclusion logics, including a paraconsistent three-valued logic of partial knowledge

Computers and relevant logic : a project in computing matrix model structures for propositional logics

I present and discuss four classes of algorithm designed as solutions to the problem of generating matrix representations of model structures for some non-classical propositional logics. I then go on to survey the output from implementations of these algorithms and finally exhibit some logical investigations suggested by that output. All four algorithms traverse a search tree depthfirst. In the case of the first and fourth methods the tree is fixed by imposing a lexicographic order on possible matrices, while the second and third create their search tree dynamically as the job progresses. The first algorithm is a simple "backtrack" with some pruning of the tree in response to refutations of possible matrices. The fourth, the most efficient we have for time, maximises the amount of pruning while keeping the same basic form. The second, which uses a large number of special properties of the logics in question, and so requires some logical and algebraic knowledge on the part of the programmer, finds the matrices at the tips of branches only, while the third, due to P.A. Pritchard, is far easier to program and tests a matrix at every node of the search tree. The logics with which I am concerned are in the "relevant" group first seriously investigated by A.R. Anderson and N.D. Belnap (see their Entailment: the logic of relevance and necessity, 1975). The most surprising observation in my preliminary survey of the numbers of matrices validating such systems is that the typical models are not much like the models normally taken as canonical for the logics. In particular the proportion of inconsistent models (validating some cases of the scheme 'A & ~A') is much higher than might have been expected. Among the logical investigations already suggested by the quasi-empirical data now available in the form of matrices are some work on the system R-W, including my theorem, proved in chapter 2.3, that with the law of excluded middle it suffices to trivialise naive set theory, and the little-noticed subject of Ackermann constants (sentential constants) in these logics. The formula which collapses naive set theory in R-W plus A v ~A is the most damaging set-theoretic antinomy known. The theorem that there are at least 3088 Ackermann constants in the logic R (chapter 2.4) could not reasonably have been proved without the aid of a computer. My major conclusion is that this work on applications of computers in logical research has reached a point where we are able not only to relieve logicians of some drudgery, but to suggest theorems and insights of new and possibly important kinds

Some syntactical and semantical properties for pair sentential calculus PSC

This paper is an extended version of my talk in the Conference of Non-Classical Logics 2016. In this paper we will introduce a system that rejects the principle of identity "A is A", one of the third Aristotelian principles for thinking. The proposed system allows to deal with paradoxical sentences, like a Liar sentence "A is not A". We present both an axiomatic system and an adequate semantics for it

Four-Way Turiyam based Characterization of Non-Euclidean Geometry

Recently, a problem is addressed while dealing the data with Non-Euclidean Geometry and its characterization. The mathematician found negation of fifth postulates of Euclidean geometry easily and called as Non-Euclidean geometry. However Riemannian provided negation of second postulates also which still considered as Non-Euclidean. In this case the problem arises what will happen in case negation of other Euclid Postulates exists. Same time total total or partial negation of Euclid postulates fails as hybrid Geometry. It become more crucial in case the data is unknown, incomplete or exists beyond the three-way space as heteroclinic pattern. To understand this problem, the current paper tried to distinguish Euclidean, Non-Euclidean, Anti-Geometry, Neutrogeometry and Turiyam or Unknown geometry using the complement operator with an example

Estudio sobre las variantes de la matriz tetravaluada de Brady que verifican la lógica básica de Routley y Meyer

[ES] En la presente tesis doctoral se desarrollan y estudian en profundidad seis nuevas lógicas tetravaluadas de interés en el contexto de las lógicas no clásicas y, en particular, de las lógicas de la familia de la relevancia. Dichas lógicas están construidas a partir de las variantes implicativas de la matriz tetravaluada de Brady MBN4 que verifican la lógica básica B de Routley y Meyer. Por un lado, la lógica B de Routley y Meyer (1982) es un sistema esencial entre las lógicas de la relevancia débiles pues ha servido tradicionalmente como punto de partida para desarrollar una de las semánticas más característica de las lógicas de la relevancia: la semántica relacional ternaria tipo Routley-Meyer. Por otro lado, Brady (1982) desarrolló un sistema central entre las lógicas multivaluadas y las lógicas de la relevancia: la lógica determinada por la matriz tetravaluada MBN4. Dicha lógica ha sido considerada como la más adecuada en el contexto relevante para tratar información inconsistente e incompleta. Además, Brady escogió para su sistema el rótulo BN4 justamente porque contiene la lógica básica B de Routley y Meyer e incorpora el valor neither como uno de sus cuatro valores de verdad característicos. Robles y Méndez (2016) desarrollaron la lógica E4 como compañera del sistema BN4 a partir de una variación en la matriz de este último. De acuerdo con ellos, E4 puede entenderse como la lógica tetravaluada de la implicación relevante (entailment) mientras que BN4 puede considerarse como la lógica tetravaluada del condicional relevante (relevant implication). En ese mismo artículo, proponen otras seis tablas que constituyen variantes implicativas de las tablas características de MBN4 y ME4. También afirman que son las únicas que verifican la lógica B y que sería, por tanto, de gran interés desarrollar una investigación profunda sobre las mismas y las lógicas a las que determinan que nos permita concluir si alguna de ellas puede llegar a ser una compañera de interés para E4, o incluso BN4. La aportación esencial de este trabajo consiste en resolver el problema propuesto en el artículo de Robles y Méndez (2016), esto es, demostrar que las matrices caracterizadas por esas seis tablas son las únicas variantes implicativas de MBN4 y ME4 que verifican la lógica básica B de Routley y Meyer y desarrollar las lógicas determinadas por dichas matrices mediante sistemas axiomáticos tipo Hilbert. Se demuestra también que las lógicas aquí desarrolladas son correctas y completas respecto de diferentes tipos de semánticas características de las lógicas de la relevancia: (1) semántica bivalente tipo Belnap-Dunn; (2) semántica relacional ternaria tipo Routley-Meyer con modelos reducidos; (3) semántica relacional ternaria con dos set-ups. Con el fin de ampliar el estudio de los sistemas considerados, se exponen también diferentes expansiones modales y se adapta la semántica Belnap-Dunn previamente desarrollada a los sistemas resultantes. Por último, se demuestra que todos estos sistemas tienen abundantes propiedades de interés características de ciertas lógicas no clásicas. De lo anterior puede concluirse que esta investigación constituye un proyecto original y novedoso que da respuesta a una problemática surgida en investigaciones recientes en el contexto donde confluyen la lógica multivaluada y la lógica de la relevancia