Interconnection networks for parallel and distributed computing

Parallel computers are generally either shared-memory machines or distributed- memory machines. There are currently technological limitations on shared-memory architectures and so parallel computers utilizing a large number of processors tend tube distributed-memory machines. We are concerned solely with distributed-memory multiprocessors. In such machines, the dominant factor inhibiting faster global computations is inter-processor communication. Communication is dependent upon the topology of the interconnection network, the routing mechanism, the flow control policy, and the method of switching. We are concerned with issues relating to the topology of the interconnection network. The choice of how we connect processors in a distributed-memory multiprocessor is a fundamental design decision. There are numerous, often conflicting, considerations to bear in mind. However, there does not exist an interconnection network that is optimal on all counts and trade-offs have to be made. A multitude of interconnection networks have been proposed with each of these networks having some good (topological) properties and some not so good. Existing noteworthy networks include trees, fat-trees, meshes, cube-connected cycles, butterflies, Möbius cubes, hypercubes, augmented cubes, k-ary n-cubes, twisted cubes, n-star graphs, (n, k)-star graphs, alternating group graphs, de Bruijn networks, and bubble-sort graphs, to name but a few. We will mainly focus on k-ary n-cubes and (n, k)-star graphs in this thesis. Meanwhile, we propose a new interconnection network called augmented k-ary n- cubes. The following results are given in the thesis.1. Let k ≥ 4 be even and let n ≥ 2. Consider a faulty k-ary n-cube Q(^k_n) in which the number of node faults f(_n) and the number of link faults f(_e) are such that f(_n) + f(_e) ≤ 2n - 2. We prove that given any two healthy nodes s and e of Q(^k_n), there is a path from s to e of length at least k(^n) - 2f(_n) - 1 (resp. k(^n) - 2f(_n) - 2) if the nodes s and e have different (resp. the same) parities (the parity of a node Q(^k_n) in is the sum modulo 2 of the elements in the n-tuple over 0, 1, ∙∙∙ , k - 1 representing the node). Our result is optimal in the sense that there are pairs of nodes and fault configurations for which these bounds cannot be improved, and it answers questions recently posed by Yang, Tan and Hsu, and by Fu. Furthermore, we extend known results, obtained by Kim and Park, for the case when n = 2.2. We give precise solutions to problems posed by Wang, An, Pan, Wang and Qu and by Hsieh, Lin and Huang. In particular, we show that Q(^k_n) is bi-panconnected and edge-bipancyclic, when k ≥ 3 and n ≥ 2, and we also show that when k is odd, Q(^k_n) is m-panconnected, for m = (^n(k - 1) + 2k - 6’ / ‘_2), and (k -1) pancyclic (these bounds are optimal). We introduce a path-shortening technique, called progressive shortening, and strengthen existing results, showing that when paths are formed using progressive shortening then these paths can be efficiently constructed and used to solve a problem relating to the distributed simulation of linear arrays and cycles in a parallel machine whose interconnection network is Q(^k_n) even in the presence of a faulty processor.3. We define an interconnection network AQ(^k_n) which we call the augmented k-ary n-cube by extending a k-ary n-cube in a manner analogous to the existing extension of an n-dimensional hypercube to an n-dimensional augmented cube. We prove that the augmented k-ary n-cube Q(^k_n) has a number of attractive properties (in the context of parallel computing). For example, we show that the augmented k-ary n-cube Q(^k_n) - is a Cayley graph (and so is vertex-symmetric); has connectivity 4n - 2, and is such that we can build a set of 4n - 2 mutually disjoint paths joining any two distinct vertices so that the path of maximal length has length at most max{{n- l)k- (n-2), k + 7}; has diameter [(^k) / (_3)] + [(^k - 1) /( _3)], when n = 2; and has diameter at most (^k) / (_4) (n+ 1), for n ≥ 3 and k even, and at most [(^k)/ (_4) (n + 1) + (^n) / (_4), for n ^, for n ≥ 3 and k odd.4. We present an algorithm which given a source node and a set of n - 1 target nodes in the (n, k)-star graph S(_n,k) where all nodes are distinct, builds a collection of n - 1 node-disjoint paths, one from each target node to the source. The collection of paths output from the algorithm is such that each path has length at most 6k - 7, and the algorithm has time complexity O(k(^3)n(^4))

Anells cordals:propietats estructurals i models de comunicacions

En els darrers anys hi ha hagut un gran desenvolupament de la recerca en l'àrea de les xarxes informàtiques. En aquest context, la utilització dels grafs com a models per a les xarxes, on els nodes són ordinadors o processadors interconnectats, que s'han de comunicar entre ells de la manera més eficaç possible, ha donat lloc a gran quantitat de treballs. Quan es tracta de xarxes d'interconnexió, en què el nivell d'integració és elevat, es solen considerar models amb bones propietats de simetria, que permeten definir i analitzar els algorismes amb més facilitat. Per exemple, els grafs de Cayley són grafs definits a partir de l'operació d'un grup. Això permet utilitzar l'estructura algèbrica subjacent per a la resolució dels problemes.Aquesta tesi tracta de les propietats d'una família de grafs, els anells cordals de grau 3, que són grafs de Cayley sobre el grup de simetries d'un polígon regular o grup dièdric. Aquest grup no és commutatiu, però els seus elements satisfan bones relacions. A més, està molt relacionat amb el grup cíclic, i això fa que els anells cordals tinguin molt a veure amb els grafs circulants.Una part important del treball és l'estudi de les propietats estructurals dels anells cordals, mentre que en una segona part es donen algorismes de comunicació punt a punt, o encaminaments, amb bones propietats, i d'intercanvi d'informació entre tots els nodes, o gossiping. Aquestes dues parts del treball estan interrelacionades, ja que les propietats estructurals dels grafs s'utilitzen en les definicions i en l'anàlisi dels algorismes que es proposen en la segona part i, a la vegada, l'estudi de problemes de comunicacions ha motivat el plantejament de problemes de caire més teòric, com la classificació per isomorfisme dels anells cordals, la caracterització del seu grup d'automorfismes o el càlcul de l'aresta bisecció. Part de l'interès d'aquest treball és l'ús de les tessel.lacions per a la representació dels grafs. Aquesta eina s'ha revelat molt útil en l'estudi de propietats mètriques i de problemes en què s'han d'establir camins entre els nodes, ja que en facilita la visualització. Les altres famílies de grafs que han estat estudiades per diversos autors mitjançant tessel.lacions del pla són, sobretot, els grafs circulants de grau 4, en què s'utilitzen quadrats per representar els vèrtexs, i de grau 6, en què s'utilitzen hexàgons. Per als anells cordals de grau 3 s'han utilitzat triangles. En particular es veu com la tessel.lació determina totalment el graf, i les propietats del graf es tradueixen en propietats de la tessel.lació. Es poden citar com a problemes oberts la generalització dels resultats a altres famílies de grafs, i l'estudi d'altres problemes de comunicacions. En particular, per al problema del càlcul de l'índex òptic, es tenen alguns resultats en el cas d'anells cordals aresta transitius, que utilitzen la caracterització del grup d'automorfismes i la definició d'encaminaments amb bones propietats presentats en aquesta tesi.Postprint (published version

Anells cordals:propietats estructurals i models de comunicacions

En els darrers anys hi ha hagut un gran desenvolupament de la recerca en l'àrea de les xarxes informàtiques. En aquest context, la utilització dels grafs com a models per a les xarxes, on els nodes són ordinadors o processadors interconnectats, que s'han de comunicar entre ells de la manera més eficaç possible, ha donat lloc a gran quantitat de treballs. Quan es tracta de xarxes d'interconnexió, en què el nivell d'integració és elevat, es solen considerar models amb bones propietats de simetria, que permeten definir i analitzar els algorismes amb més facilitat. Per exemple, els grafs de Cayley són grafs definits a partir de l'operació d'un grup. Això permet utilitzar l'estructura algèbrica subjacent per a la resolució dels problemes.Aquesta tesi tracta de les propietats d'una família de grafs, els anells cordals de grau 3, que són grafs de Cayley sobre el grup de simetries d'un polígon regular o grup dièdric. Aquest grup no és commutatiu, però els seus elements satisfan bones relacions. A més, està molt relacionat amb el grup cíclic, i això fa que els anells cordals tinguin molt a veure amb els grafs circulants.Una part important del treball és l'estudi de les propietats estructurals dels anells cordals, mentre que en una segona part es donen algorismes de comunicació punt a punt, o encaminaments, amb bones propietats, i d'intercanvi d'informació entre tots els nodes, o gossiping. Aquestes dues parts del treball estan interrelacionades, ja que les propietats estructurals dels grafs s'utilitzen en les definicions i en l'anàlisi dels algorismes que es proposen en la segona part i, a la vegada, l'estudi de problemes de comunicacions ha motivat el plantejament de problemes de caire més teòric, com la classificació per isomorfisme dels anells cordals, la caracterització del seu grup d'automorfismes o el càlcul de l'aresta bisecció. Part de l'interès d'aquest treball és l'ús de les tessel.lacions per a la representació dels grafs. Aquesta eina s'ha revelat molt útil en l'estudi de propietats mètriques i de problemes en què s'han d'establir camins entre els nodes, ja que en facilita la visualització. Les altres famílies de grafs que han estat estudiades per diversos autors mitjançant tessel.lacions del pla són, sobretot, els grafs circulants de grau 4, en què s'utilitzen quadrats per representar els vèrtexs, i de grau 6, en què s'utilitzen hexàgons. Per als anells cordals de grau 3 s'han utilitzat triangles. En particular es veu com la tessel.lació determina totalment el graf, i les propietats del graf es tradueixen en propietats de la tessel.lació. Es poden citar com a problemes oberts la generalització dels resultats a altres famílies de grafs, i l'estudi d'altres problemes de comunicacions. En particular, per al problema del càlcul de l'índex òptic, es tenen alguns resultats en el cas d'anells cordals aresta transitius, que utilitzen la caracterització del grup d'automorfismes i la definició d'encaminaments amb bones propietats presentats en aquesta tesi