A heuristic approach for multi-product capacitated single-allocation hub location problems

Tese de mestrado, Estatística e Investigação Operacional, Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2015Em redes onde o fluxo entre nodos é muito elevado (como pode ser o caso do transporte de pessoas e mercadorias ou até mesmo fluxo de dados numa rede), torna-se menos dispendioso criar pontos onde se concentram os fluxos provenientes das diferentes origens para depois serem consolidados e redistribuídos até aos destinos. A esses pontos dá-se o nome de hubs. O problema de localização de hubs consiste na localização de hubs numa rede e na alocação de todos os nodos da rede a esses hubs, de modo a que se possa encaminhar os fluxos entre os pares origem-destino a menos que sejam hubs. A rede constituída pelos hubs é normalmente definida como completa e não se permitem ligações diretas entre os pares origem-destino. Para além disso, assume-se que existe um factor de desconto para o fluxo que circula entre hubs. Neste tipo de redes (hub-and-spoke networks) podem aparecer duas variantes, no que diz respeito à alocação dos nodos aos hubs: single-allocation e multiple-allocation. No primeiro caso, permite-se apenas uma ligação de cada nodo não hub a um hub de modo a que todo o fluxo com origem e destino a cada nodo saia e chegue a esse nodo através de apenas um hub. No caso em que se tem multiple-allocation, cada nodo poderá ser afecto a mais do que um hub e o fluxo que chega e sai desse nodo poderá usar mais do que um hub. Algumas variantes que se poderão considerar para este problema incluem restrições de capacidade nos hubs (restrições que limitam a capacidade de um hub processar uma certa quantidade de fluxo de origem, limitações na capacidade total, limitações no processamento de fluxo que sai do hub, etc.), restrições de capacidade nos arcos, problemas multi-periódicos, presença de incerteza, o número de hubs ser fixo, o tipo de objectivo (minimizar custos, minimizar distâncias entre hubs, etc.) entre outras. A necessidade de aproximar este tipo de problemas aos casos que se observam no mundo real leva à inclusão de cada vez mais restrições dando origem a mais variantes do problema. Neste trabalho, será abordado o problema de localização de hubs na variante single-Allocation, com restrições de capacidade em relação ao fluxo que cada hub é capaz de processar. Para além disso, considera-se fluxos relativos a mais do que um tipo de produto. Este problema é designado por Problema Multi-produto de Localização de Hubs com Capacidade1. Cada hub poderá ser dedicado a processar apenas um tipo de produto, poderá processar mais do que um, ou mesmo todos. A rede de hubs é completa para cada produto mas, no entanto, se se considerar a rede de hubs para todos os produtos, esta poderá não ser completa. Como constatado em Correia et al. [17], no caso em que cada hub processa todos os tipos de produto, resolver o problema multi-produto ao invés de se resolver vários problemas, um para cada produto em separado, dá origem a melhores resultados. A complexidade inerente a este tipo de problemas leva a que sejam classificados como problemas NP-Hard pois não existem algoritmos que sejam capazes de os resolver em tempo polinomial. Por esta razão faz sentido desenvolver algoritmos heurísticos de modo a se conseguir obter, em tempo útil, soluções para instâncias maiores do problema . Como referido em Meyer et al. [51], em problemas de localização de hubs, duas soluções com valores objectivo muito semelhantes poderão ser estruturalmente muito diferentes, e portanto, através um mecanismo de pesquisa local poderá ser muito difícil a passagem de uma boa solução para outra melhor. Por esta razão, neste trabalho opta-se por uma heurística que se baseia num método em que se constroem soluções repetidamente. Para a construção das soluções, considerando que um processo de construção do tipo Greedy poderia dar origem a um número limitado de soluções e que as componentes da solução que são escolhidas por último são as piores, optou-se pelo desenvolvimento de um algoritmo de Ant Colony Optimization (ACO). Esta meta-heurística baseia-se no comportamento apresentado pelas formigas quando estas procuram alimento. Quando uma formiga deixa a colónia em busca de alimento, no seu trajeto, deposita um químico (feromona) que pode ser detectado por outras formigas. Quanto maior a concentração de feromona, maior a atração de cada formiga por esse trajeto e, portanto, os trajetos com maiores concentrações de feromonas serão percorridos por mais formigas. Por outro lado, se o caminho de ida e volta até ao alimento for mais curto, mais vezes será percorrido e maior será a concentração de feromona nesse caminho. O resultado destes dois tipos de reforço positivo nas concentrações de feromona nos trajetos percorridos pelas formigas, aliados ao facto de que existe evaporação do químico (a concentração de feromona diminui nos caminhos menos percorridos ao longo do tempo) dá origem aos \carreirinhos" de formigas que se podem observar na natureza e que normalmente representam o caminho mais curto entre o alimento e a Colónia de formigas. Considere-se o problema em questão em que se tem n nodos e p produtos. Para a representação das soluções, em vez de se considerar uma matriz binária n χ n χ p, onde o valor 1 representa uma afetação, considerou-se uma matriz n χ p, em que cada entrada representa, para cada produto, o hub ao qual o nodo foi afecto. O caso em que um nodo é afecto a si mesmo indica que esse nodo é hub para o produto correspondente. Este tipo de representação permite reduzir o tamanho da matriz e diminuir o uso da memória computacional. Antes da construção de uma solução, é aplicado um pré-processamento que vai evitar, com base nas restrições do problema, que certas componentes da solução sejam consideradas durante o processo de construção da solução. Deste modo, reduz-se o espaço de procura de soluções e algum esforço computacional. Para a construção de uma solução, escolhe-se o tamanho da colonia (o número de formigas que pertencem à colónia) e cada formiga vai escolhendo, sucessivamente, componentes da solução através de uma regra pseudo-aleatória onde algumas componentes da solução são escolhidas de um modo greedy e outras são escolhidas através de roulette wheel selection. A cada componente da solução é atribuído um valor inicial de feromona e, à medida que cada formiga vai adicionando componentes à solução, o valor da feromona associado à componente adicionada vai decrescendo, o que resulta na diminuição da probabilidade de que essa componente seja escolhida pela próxima formiga, dando origem à diversificação do conjunto de soluções construído por cada colónia. No fim, depois de todas as formigas terem construído uma solução, escolhe-se a melhor solução e reforça-se a concentração de feromona na melhor solução construída pela colónia. Se, por acaso, uma formiga der origem a uma solução não admissível, a solução construída por essa formiga não é considerada. Para mais detalhe em relação a este processo consultar Dorigo et al. [20]. Este tipo de algoritmo permite a inclusão de métodos de pesquisa local de modo a que a solução obtida por cada colónia seja melhorada. Com o objectivo de obter um algoritmo mais eficiente, escolheu-se incluir esta possibilidade e procedeu-se ao reforço da concentração de feromona após feita uma pesquisa local. Na pesquisa local efectuada, usaram-se três tipos de vizinhança. Um deles fecha os hubs dedicados que só servem a si próprios e realoca-os a outros já abertos para esse mesmo produto. Outro, escolhe aleatoriamente um nodo alocado a um hub dedicado para um dado produto e realoca-o a outro hub dedicado ao mesmo produto. Um terceiro, escolhe um hub aleatoriamente e transforma-o num nodo, realocando-o a outro hub dedicado ao mesmo tipo de produto. De modo a obter soluções iniciais melhores, explora-se a possibilidade de atribuir valores iniciais de feromona mais altos às componentes de solução pertencentes à solução da relaxação linear, na proporção do valor correspondente no caso das variáveis 0-1. Uma outra variação explorada consiste em fazer o reforço do valor de feromona às componentes da solução, apenas quando esta é a melhor de todas encontrada até ao momento, permitindo que haja evaporação de certas componentes de solução que poderão estar a ser escolhidas consecutivamente e permitindo que se escape mais facilmente de óptimos locais. Após implementação do algoritmo procede-se à fase dos testes computacionais em instâncias do problema com 10, 20, 25 e 40 nodos, 1, 2 e 3 produtos e hubs que processam 1, 2 e 3 produtos. As instâncias usadas nos testes computacionais pertencem ao Australian Post data set e foram adaptados por Correia et al. [17] de modo a que se tivesse dados para mais do que um tipo de produto.In this thesis, an heuristic procedure is proposed for the the multi-product capacitated single-allocation hub location problem. When addressing a problem in which it is necessary to determine the transportation of large commodity flows between many origin-destination (O-D) pairs, instead of using direct links, it becomes more efficient to design the networks in such a way that some of the nodes become consolidation centers or hubs. The Multi-Product Capacitated Single-Allocation Hub Location Problem (MP-CSAHLP according to Correia et al. [17]), is a NP-Hard problem in which several types of ow are considered, making it possible to consider the case when multiple types of products are to be shipped between each O-D pair. It can be seen as an extension of the classical Capacitated Single-Allocation Hub Location Problem. In the problem investigated in this work, no more than one hub can be located in each node and the hubs can be either dedicated (each hub can only handle one type of product) or non-dedicated (one hub can handle more than one type product). The hubs have capacity limitations regarding the incoming flow. Furthermore, the hub network is complete for each product but, when considering the hub network as a whole, it does not necessarily have to be complete. The goal is to locate the hubs in the network, allocate the non-hub nodes to the opened hubs and route the flow between each O-D pair. The objective is to minimize the total ow routing cost plus the setup costs of the hubs and costs of preparing the hubs to handle the different types of products. In order to obtain feasible solutions to the above problem, an Ant Colony Optimization procedure is proposed, which is a constructive, population-based meta-heuristic based in the foraging behavior of ants. Indirect communication between the ants through pheromones reflects the colony search experience. High-quality solutions are found as an outcome of the global cooperation among all the ants of the colony. A preprocessing procedure is also proposed in which some solution components are forbidden based on the problems restrictions. Such preprocessing reduces the search space and thus may reduce the computational effort. The proposed heuristic uses a single ant colony, which simultaneously chooses the hubs and allocates the nodes to the hubs. Once these solutions are found, the routing of the flow is computed in a short amount of time, using the optimization models for the MP-CSAHLP in which some variables (location and allocation) are fixed. The results show that the proposed heuristic has the potential to find good quality solutions for the MP-CSAHLP and that its performance can be improved with finer parameter tuning, longer runs and more intense local search

Model and solution methods for some hub location problems

In this thesis we study some hub location problems in the context of transportation networks. These are combinatorial optimization problems appearing in situations where there is a need of transporting some traffic, like items, people, and information, from many origins to many destinations. Instead of sending these flows using a direct shipment between all pairs of nodes in the network, a subset of these nodes is selected to use as hubs, with the aim of consolidating and distribute the flows. Thus, hubs induce a subnetwork that sends the traffic more efficiently and at a cheaper cost, allowing economies of scale when large amounts of traffic between nodes on this subnet are transported. We study different variants of hub location problems that try to model several real world situations and characteristics. In all of them, we aim to minimize the cost of sending traffic through the transportation network.In this thesis we study some hub location problems in the context of transportation networks. These are combinatorial optimization problems appearing in situations where there is a need of transporting some traffic, like items, people, and information, from many origins to many destinations. Instead of sending these flows using a direct shipment between all pairs of nodes in the network, a subset of these nodes is selected to use as hubs, with the aim of consolidating and distribute the flows. Thus, hubs induce a subnetwork that sends the traffic more efficiently and at a cheaper cost, allowing economies of scale when large amounts of traffic between nodes on this subnet are transported. We study different variants of hub location problems that try to model several real world situations and characteristics. In all of them, we aim to minimize the cost of sending traffic through the transportation network

A multi-start biased-randomized algorithm for the capacitated dispersion problem

The capacitated dispersion problem is a variant of the maximum diversity problem in which a set of elements in a network must be determined. These elements might represent, for instance, facilities in a logistics network or transmission devices in a telecommunication network. Usually, it is considered that each element is limited in its servicing capacity. Hence, given a set of possible locations, the capacitated dispersion problem consists of selecting a subset that maximizes the minimum distance between any pair of elements while reaching an aggregated servicing capacity. Since this servicing capacity is a highly usual constraint in real-world problems, the capacitated dispersion problem is often a more realistic approach than is the traditional maximum diversity problem. Given that the capacitated dispersion problem is an NP-hard problem, whenever large-sized instances are considered, we need to use heuristic-based algorithms to obtain high-quality solutions in reasonable computational times. Accordingly, this work proposes a multi-start biased-randomized algorithm to efficiently solve the capacitated dispersion problem. A series of computational experiments is conducted employing small-, medium-, and large-sized instances. Our results are compared with the best-known solutions reported in the literature, some of which have been proven to be optimal. Our proposed approach is proven to be highly competitive, as it achieves either optimal or near-optimal solutions and outperforms the non-optimal best-known solutions in many cases. Finally, a sensitive analysis considering different levels of the minimum aggregate capacity is performed as well to complete our study.Peer ReviewedPostprint (published version

Internet of Things in urban waste collection

Nowadays, the waste collection management has an important role in urban areas. This paper faces this issue and proposes the application of a metaheuristic for the optimization of a weekly schedule and routing of the waste collection activities in an urban area. Differently to several contributions in literature, fixed periodic routes are not imposed. The results significantly improve the performance of the company involved, both in terms of resources used and costs saving

A heuristic approach for a multi-period capacitated single-allocation hub location problem

Tese de mestrado, Estatística e Investigação Operacional (Investigação Operacional) Universidade de Lisboa, Faculdade de Ciências, 2016Hubs são instalações centrais que funcionam como pontos de consolidação de fluxo, ou, como definido por Alumur e Kara [3], instalações especiais que servem como pontos de troca, transshipment e triagem em sistemas de distribuição de muitos para muitos. Muitas vezes são usados para tirar partido de factores de desconto e economias de escala associados à consolidação de fluxo. Normalmente, é mais eficiente consolidar o fluxo proveniente de localidades próximas em vez de ligar directamente cada par Origem-Destino (O-D). O uso de redes de hubs é bastante relevante em sistemas logísticos de distribuição, redes de transportes públicos e serviços de correio, por exemplo. Dependendo da natureza do problema em estudo os hubs podem realizar diferentes funções, como troca, triagem ou ligação, permitindo que os luxos sejam redireccionados, consolidação ou separação de fluxos, processamento do fluxo ou ainda divisão ou combinação de fluxos, como no caso das redes de telecomunicações. Um problema de localização de hubs consiste na escolha dos nodos onde será realizada a localização dos hubs e na alocação de nodos de procura a esses mesmos hubs de modo a encaminhar o fluxo entre os pares origem-destino. Na maioria dos casos o objectivo é minimizar o custo total envolvido. Como Campbell e O'Kelly [17] realçam, algumas características distinguem os problemas de localização de hubs de outros problemas de localização. Num problema de localização de hubs (HLP) a procura está associada a fluxos entre pares O-D, os fluxos podem passar através dos hubs, a localização dos hubs tem que ser determinada, existe algum benefício ou obrigatoriedade em rotear os fluxos pelos hubs e o valor da função objectivo depende da localização dos hubs e do roteamento dos fluxos. Em geral, num problema de hubs luxos directos entre pares O-D não são permitidos. As principais decisões relacionadas com problemas de localização de hubs estão relacionadas com a localização dos hubs e o roteamento dos fluxos, incluindo as ligações entre hubs e os restantes nodos e as ligações entre cada par de hubs. De modo a melhor interpretar a realidade, diversos tipos de problemas podem ser considerados, dependendo das suas características. A rede constituída pelos hubs pode ser completa ou incompleta. Numa rede completa, todos os pares de hubs estão directamente ligados entre si. Numa rede incompleta, as ligações entre os hubs fazem parte do processo de decisão. Num problema de localização de hubs diversas estratégias de afectação entre os nodos e os hubs podem ser consideradas, sendo as mais comuns Single-Allocation e Multiple-Allocation. No primeiro caso, cada nodo (não hub) deve estar afecto a exactamente um hub e no segundo, cada nodo pode estar afecto a mais que um hub. A maior parte da literatura relativa a HLPs considera problemas estáticos, ou seja, um plano de acção deve ser feito e implementado num único passo. Recentemente, algum trabalho tem vindo a ser desenvolvido sobre HLPs multi-periódicos. Neste caso, um horizonte temporal é considerado de modo a reflectir o tempo para implementar completamente a rede. Tipicamente, este horizonte temporal é dividido em diversos períodos de tempo. O objectivo é definir um plano multi-periódico para a localização dos hubs e o roteamento dosl fluxos. Nesta dissertação, o problema em estudo é um Problema de Localização de Hubs Multi-Periódico com Capacidades Modulares1. Na vertente estudada deste problema, considera-se que cada nodo deve ser afecto a exactamente um hub (Sinlge-Allocation), que existe apenas um tipo de fluxo (Single-Product), que a procura é determinística e que a rede a nível dos hubs é incompleta. Para além disso, consideram-se custos fixos e variáveis para os hubs, custos operacionais para as ligações entre hubs, custos fixos para a instalação de módulos de capacidades nos hubs e custos de roteamento de fluxos. O problema consiste em determinar quando e onde instalar hubs, determinar as afectações entre nodos e hubs em cada período de tempo, determinar as capacidades modulares a instalar em cada hub e período, determinar as ligações entre hubs usadas em cada período e determinar o roteamento dos fluxos na rede. Em 2016, Alumur et al. [6] apresentaram uma formulação em programação linear inteira mista para este problema e, através da realização de testes computacionais, concluíram ser necessário desenvolver uma heurística ou algoritmo para encontrar soluções admissíveis de boa qualidade para instâncias de grande dimensão. O objectivo desta dissertação passa, precisamente, por desenvolver uma heurística para obter (boas) soluções admissíveis para este problema num espaço de tempo razoável. Uma vez que, em problemas de localização, soluções estruturalmente diferentes podem ter custos muito próximos e vice-versa, a aplicação de um processo baseado em Pesquisa Local poderia gerar algumas dificuldades a nível da passagem de uma solução admissível para outra melhor. Para além disso, por causa das restrições de capacidade e de Single-Allocation, a utilização deste tipo de procedimentos poderia causar problemas ao nível da admissibilidade das soluções. De modo a evitar estas situações, optou-se pela aplicação de um algoritmo de Kernel Search. Kernel Search é uma heurística baseada na ideia de identificar subconjuntos de variáveis e resolver uma sequência de problemas de programação linear inteira mista (MILP) restritos a esses subconjuntos de variáveis (Guastaroba e Speranza [34]). As variáveis são divididas entre um Kernel e uma série de Buckets (ou \baldes"), por ordem de probabilidade de tomarem valores positivos na solução óptima. Note-se que esta probabilidade é apenas empírica. Considera-se que uma variável tem uma maior probabilidade que outra de tomar valores positivos na solução óptima se tiver maior valor na relaxação linear do problema. No caso de terem o mesmo valor, considera-se que é a que apresenta um menor custo reduzido que tem maior possibilidade de tomar valores positivos na solução óptima. Este esquema heurístico é composto por duas fases: a fase de inicialização e a fase de solução. Na fase de inicialização, o Kernel e os Buckets são construídos, com base nos valores da relaxação linear do problema e um primeiro problema MILP restrito às variáveis do Kernel é resolvido. Na fase de solução, é resolvido um problema MILP restrito às variáveis do Kernel actual e de um bucket, com a restrição de melhorar o valor da solução obtida anteriormente (caso exista) e de seleccionar pelo menos um hub pertencente ao bucket, sendo actualizado o Kernel. Este procedimento repete-se sucessivamente enquanto um certo número de buckets não tiver sido analisado. Uma vez que o problema em estudo é um problema multi-periódico optou-se por aplicar o esquema heurístico apresentado a cada período de tempo em vez de o aplicar ao problema todo. Deste modo é possível diminuir o tamanho dos problemas MILP a resolver e acelerar o processo de obtenção de uma solução. Como a solução obtida para um período infuencia a solução dos períodos seguintes, os períodos de tempo são analisados sequencialmente e a solução obtida para cada período é adicionada como uma restrição nos períodos seguintes. Para testar este algoritmo foram usadas instâncias de 15 e 25 nodos do conjunto de dados CAB (Civil Aeronautics Board) que representam o comportamento dos passageiros de companhias aéreas nos Estados Unidos da América. Foram também considerados 5 períodos de tempo e dois tipos de capacidades e fluxos. Para avaliar a qualidade da adaptação da heurística Kernel Search ao problema em estudo usaram-se as soluções exactas obtidas resolvendo o modelo apresentado por Alumur et al. [6] com um general solver. Concluiu-se que a heurística estudada é capaz de obter soluções de boa qualidade num intervalo de tempo razoável, tal como se pretendia. No entanto, ainda é possível melhorar vários aspectos da abordagem heurística de modo a melhorar os tempos computacionais e o valor das soluções obtidas.A hub is a central facility that works as a ow consolidation point and/or serves as a switching, sorting and transshipment point in many-to-many distribution systems. Hubs are mostly used to take advantage of discount factors associated with the ow consolidation. In this work a heuristic approach was developed in order to obtain (good) solutions for the Multi-Period Capacitated Single-Allocation Hub Location Problem with Modular Capacities in a reasonable amount of time. The Multi-Period Capacitated Single-Allocation Hub Location Problem with Modular Capacities is an extension of the classical hub location problem to the situation where the hub network can be progressively built over time. Each demand node must be allocated to exactly one hub (single-allocation) and the planning horizon is divided in several time periods. Since the hub network is not assumed to be complete (the hubs do not have to be directly connected to each other), its design is a part of the decision making process. The objective is to minimize the sum of all the costs involved. A Kernel Search algorithm was proposed to tackle this problem. The Kernel Search relies in dividing the variables of the problem into smaller subsets (a Kernel and a set of buckets) and solving restricted MILP problems on those sets. This heuristic scheme is composed of two phases: the initialization phase and the solution phase. In the initialization phase the kernel and the buckets are defined and a initial MILP problem restricted on the Kernel is solved. In the solution phase a sequence of MILP problems restricted on the current Kernel and a bucket is solved and, after solving each MILP problem, the Kernel updated. Since the problem studied is a multi-period problem, instead of applying the Kernel Search framework to the whole problem, it was applied to each time period separately, adding the solution of each period as a constraint to the following time periods. Computational tests were performed using 15 and 25 nodes instances from the CAB (Civil Aeronautics Board) data set

A simheuristic for routing electric vehicles with limited driving ranges and stochastic travel times

Green transportation is becoming relevant in the context of smart cities, where the use of electric vehicles represents a promising strategy to support sustainability policies. However the use of electric vehicles shows some drawbacks as well, such as their limited driving-range capacity. This paper analyses a realistic vehicle routing problem in which both driving-range constraints and stochastic travel times are considered. Thus, the main goal is to minimize the expected time-based cost required to complete the freight distribution plan. In order to design reliable Routing plans, a simheuristic algorithm is proposed. It combines Monte Carlo simulation with a multi-start metaheuristic, which also employs biased-randomization techniques. By including simulation, simheuristics extend the capabilities of metaheuristics to deal with stochastic problems. A series of computational experiments are performed to test our solving approach as well as to analyse the effect of uncertainty on the routing plans.Peer Reviewe

A Heuristic for the Two-Echelon Multi-Period Multi-Product Location–Inventory Problem with Partial Facility Closing and Reopening

In this paper, the two-echelon multi-period multi-product location–inventory problem with partial facility closing and reopening is studied. For each product and period, plants serve warehouses, which serve consolidation hubs, which service customers with independent, normally distributed demands. The schedule of construction, temporary partial closing, and reopening of modular capacities of facilities, the continuous-review inventory control policies at warehouses, the allocation of customer demands to hubs, and the allocation of hubs to warehouses are determined. The service levels for stockout at warehouses during lead time and the violation of warehouse and hub capacities are explicitly considered. The proposed mixed-integer non-linear program minimizes the weighted summation of the number of different facilities and logistical costs, so that the number of different facilities can be controlled. Since the proposed model is np-hard, the multi-start construction and tabu search improvement heuristic (MS-CTSIH) with two improvement strategies and the modified MS-CTSIH incorporating both strategies are proposed. The experiment shows that the two improvement strategies appear non-dominated, and the modified MS-CTSIH yields the best results. The comparison of the modified MS-CTSIH and a commercial solver on a small instance shows the efficiency and effectiveness of the modified MS-CTSIH. The sensitivity analyses of problem parameters are performed on a large instance

The incorporation of fixed cost and multilevel capacities into the discrete and continuous single source capacitated facility location problem

In this study we investigate the single source location problem with the presence of several possible capacities and the opening (fixed) cost of a facility that is depended on the capacity used and the area where the facility is located. Mathematical models of the problem for both the discrete and the continuous cases using the Rectilinear and Euclidean distances are produced. Our aim is to find the optimal number of open facilities, their corresponding locations, and their respective capacities alongside the assignment of the customers to the open facilities in order to minimise the total fixed and transportation costs. For relatively large problems, two solution methods are proposed namely an iterative matheuristic approach and VNS-based matheuristic technique. Dataset from the literature is adapted to assess our proposed methods. To assess the performance of the proposed solution methods, the exact method is first applied to small size instances where optimal solutions can be identified or lower and upper bounds can be recorded. Results obtained by the proposed solution methods are also reported for the larger instances