On the Recognition of Fuzzy Circular Interval Graphs

Fuzzy circular interval graphs are a generalization of proper circular arc graphs and have been recently introduced by Chudnovsky and Seymour as a fundamental subclass of claw-free graphs. In this paper, we provide a polynomial-time algorithm for recognizing such graphs, and more importantly for building a suitable representation.Comment: 12 pages, 2 figure

Mixed unit interval graphs

AbstractThe class of intersection graphs of unit intervals of the real line whose ends may be open or closed is a strict superclass of the well-known class of unit interval graphs. We pose a conjecture concerning characterizations of such mixed unit interval graphs, verify parts of it in general, and prove it completely for diamond-free graphs. In particular, we characterize diamond-free mixed unit interval graphs by means of an infinite family of forbidden induced subgraphs, and we show that a diamond-free graph is mixed unit interval if and only if it has intersection representations using unit intervals such that all ends of the intervals are integral

Powers of cycles, powers of paths, and distance graphs

In 1988, Golumbic and Hammer characterized powers of cycles, relating them to circular-arc graphs. We extend their results and propose several further structural characterizations for both powers of cycles and powers of paths. The characterizations lead to linear-time recognition algorithms of these classes of graphs. Furthermore, as a generalization of powers of cycles, powers of paths, and even of the well-known circulant graphs, we consider distance graphs. While colourings of these graphs have been intensively studied, the recognition problem has been so far neglected. We propose polynomial-time recognition algorithms for these graphs under additional restrictions

Um problema de dominação eterna : classes de grafos, métodos de resolução e perspectiva prática

Orientadores: Cid Carvalho de Souza, Orlando LeeTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de ComputaçãoResumo: O problema do conjunto dominante m-eterno é um problema de otimização em grafos que tem sido muito estudado nos últimos anos e para o qual se têm listado aplicações em vários domínios. O objetivo é determinar o número mínimo de guardas que consigam defender eternamente ataques nos vértices de um grafo; denominamos este número o índice de dominação m-eterna do grafo. Nesta tese, estudamos o problema do conjunto dominante m-eterno: lidamos com aspectos de natureza teórica e prática e abordamos o problema restrito a classes especícas de grafos e no caso geral. Examinamos o problema do conjunto dominante m-eterno com respeito a duas classes de grafos: os grafos de Cayley e os conhecidos grafos de intervalo próprios. Primeiramente, mostramos ser inválido um resultado sobre os grafos de Cayley presente na literatura, provamos que o resultado é válido para uma subclasse destes grafos e apresentamos outros achados. Em segundo lugar, fazemos descobertas em relação aos grafos de intervalo próprios, incluindo que, para estes grafos, o índice de dominação m-eterna é igual à cardinalidade máxima de um conjunto independente e, por consequência, o índice de dominação m-eterna pode ser computado em tempo linear. Tratamos de uma questão que é fundamental para aplicações práticas do problema do conjunto dominante m-eterno, mas que tem recebido relativamente pouca atenção. Para tanto, introduzimos dois métodos heurísticos, nos quais formulamos e resolvemos modelos de programação inteira e por restrições para computar limitantes ao índice de dominação m-eterna. Realizamos um vasto experimento para analisar o desempenho destes métodos. Neste processo, geramos um benchmark contendo 750 instâncias e efetuamos uma avaliação prática de limitantes ao índice de dominação m-eterna disponíveis na literatura. Por m, propomos e implementamos um algoritmo exato para o problema do conjunto dominante m-eterno e contribuímos para o entendimento da sua complexidade: provamos que a versão de decisão do problema é NP-difícil. Pelo que temos conhecimento, o algoritmo proposto foi o primeiro método exato a ser desenvolvido e implementado para o problema do conjunto dominante m-eternoAbstract: The m-eternal dominating set problem is a graph-protection optimization problem that has been an active research topic in the recent years and reported to have applications in various domains. It asks for the minimum number of guards that can eternally defend attacks on the vertices of a graph; this number is called the m-eternal domination number of the graph. In this thesis, we study the m-eternal dominating set problem by dealing with aspects of theoretical and practical nature and tackling the problem restricted to specic classes of graphs and in the general case. We examine the m-eternal dominating set problem for two classes of graphs: Cayley graphs and the well-known proper interval graphs. First, we disprove a published result on the m-eternal domination number of Cayley graphs, show that the result is valid for a subclass of these graphs, and report further ndings. Secondly, we present several discoveries regarding proper interval graphs, including that, for these graphs, the m- eternal domination number equals the maximum size of an independent set and, as a consequence, the m-eternal domination number can be computed in linear time. We address an issue that is fundamental to practical applications of the m-eternal dominating set problem but that has received relatively little attention. To this end, we introduce two heuristic methods, in which we propose and solve integer and constraint programming models to compute bounds on the m-eternal domination number. By performing an extensive experiment to validate the features of these methods, we generate a 750-instance benchmark and carry out a practical evaluation of bounds for the m-eternal domination number available in the literature. Finally, we propose and implement an exact algorithm for the m-eternal dominating set problem and contribute to the knowledge on its complexity: we prove that the decision version of the problem is NP-hard. As far as we know, the proposed algorithm was the first developed and implemented exact method for the m-eternal dominating set problemDoutoradoCiência da ComputaçãoDoutor em Ciência da Computação141964/2013-8CAPESCNP

Fully dynamic recognition of proper circular-arc graphs

We present a fully dynamic algorithm for the recognition of proper circular-arc (PCA) graphs. The allowed operations on the graph involve the insertion and removal of vertices (together with its incident edges) or edges. Edge operations cost O(log n) time, where n is the number of vertices of the graph, while vertex operations cost O(log n + d) time, where d is the degree of the modified vertex. We also show incremental and decremental algorithms that work in O(1) time per inserted or removed edge. As part of our algorithm, fully dynamic connectivity and co-connectivity algorithms that work in O(log n) time per operation are obtained. Also, an O(\Delta) time algorithm for determining if a PCA representation corresponds to a co-bipartite graph is provided, where \Delta\ is the maximum among the degrees of the vertices. When the graph is co-bipartite, a co-bipartition of each of its co-components is obtained within the same amount of time.Comment: 60 pages, 15 figure

Grafos PI

Orientadores: Celia Picinin de Mello, Anamaria GomideDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de ComputaçãoResumo: Uma representação PI consiste em duas retas paralelas, r e s, e triângulos com um vértice em r e um lado em s. Considere R uma representação PI. O grafo interseção de R é chamado grafo P I quando cada vértice do grafo corresponde a um triângulo de R e existe aresta entre dois vértices se, e somente se, os triângulos correspondentes se intersectam. Segundo o livro Graph Classes - a Survey (1999) [3], escrito por Brandstiidt, Le e Spinrad, os problemas de reconhecer e de caracterizar a classe dos grafos PI ainda não estão resolvidos. Essa é a principal motivação para o estudo da classe PI. Nesta dissertação, apresentamos um estudo dos grafos PI baseado nas suas relações com outras classes de grafos tais como os grafos de intervalos e permutação, que são classes amplamente conhecidas de grafos interseção, e os grafos trapezóides, que possuem uma estrutura muito semelhante à dos grafos PI. Esta dissertação é uma síntese de trabalhos existentes sobre a classe PI e apresenta novas condições necessárias e/ou suficientes para que um grafo seja PIAbstract: A PI-representation consists of two parallellines, r and s, and triangles with one vertex on r and the other two on s. Let R be a PI-representation. The intersection graph of R is called PI graph when each vertex in the graph corresponds to a triangle in R and there exists an edge between two vertices if and only if their corresponding triangles intersect. According to the book Graph Classes - a Survey (1999) [3], by Brandstiidt, Le and Spinrad, the PI graph characterization and recognition problems are still open. This is the main motivation for the study of the PI graph class. In this dissertation, we present a study of PI graphs based on their relationship with other graph classes such as the interval and permutation graphs, which are well known intersection graph classes, and trapezoid graphs, which have a very similar structure to that of PI graphs. This dissertation is a survey on existing work on the PI graph class and presents new necessary andj or sufficient conditions for a graph to be PIMestradoTeoria da ComputaçãoMestre em Ciência da Computaçã

A LINEAR-TIME ALGORITHM FOR PROPER INTERVAL GRAPH RECOGNITION

Interval graphs are the intersection graphs of families of intervals in the real line. If the intervals can be chosen so that no interval contains another, we obtain the subclass of proper interval graphs. We show how to recognize proper interval graphs in linear time by constructing the clique partition from the output of a single lexicographic breadth-first search.56317918