Teoria homotòpica de tipus

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2020, Director: Carles Casacuberta[en] Homotopy type theory is a branch of mathematics that emerged in the decade of 2010. The major novelties with respect to previous type theories are the association of types with $\infty$ -groupoids, Voevodsky’s univalence axiom, and higher-order inductive types. Higher- order inductive types allow certain objects to be defined, such as a circle or a torus, in a synthetic way. The first chapters of this work offer an introduction to homotopy type theory, focusing especially on understanding higher-order inductive types. Due to the short time elapsed since the advent of homotopy type theory, there are many open questions waiting to be answered. This work sets out a research direction motivated by one of these questions: how to find an appropriate definition of orientability which is meaningful for surfaces or, more generally, for manifolds. From the existing definition of a torus as a higher-order inductive type, we have studied an analogous definition of a Klein bottle, focusing on the fact that a torus is a two-sheeted covering of a Klein bottle. This work contains basic facts about coverings in homotopy type theory, as well as a few results that are relevant in the special case of the torus and the Klein bottle

Adaptació de LOGSE a LOE d’un mòdul formatiu del cicle formatiu de grau superior Disseny en Fabricació Mecànica.

En aquest treball fi de màster s’ha realitzat la programació del mòdul formatiu de Disseny d’útils de processat de xapa i estampació que pertany al cicle formatiu de grau superior de Disseny en Fabricació Mecànica. L’origen d’aquest projecte té lloc en la proposta per part del tutor de pràctiques de realitzar l’adaptació del mòdul LOGSE a la nova normativa LOE. S’ha intentat conservar materials utilitzats en l’antiga programació com també s’han generat noves activitats d’E/A per tal de millorar el mòdul. Els passos que s’han seguit per a l’elaboració del projecte han estat en un primer moment analitzar les característiques del cicle LOGSE i del cicle LOE, veien semblances i diferències. Seguidament es detalla com es farà la programació tenint en compte els nous criteris que requereixen les programacions LOE. El principal pes del projecte es troba en l’apartat de la programació on es passa pels següents punts: ‐ Relació d’unitats formatives i nuclis formatius ‐ Estratègies metodològiques i organització del mòdul professional ‐ Avaluació i qualificació del MP ‐ Espais, equipament i recursos del MP ‐ Programació de les unitats formatives En les conclusions es fa una valoració de la importància de les programacions i com afecten al funcionament de les classes. Finalment en els annexes es detallen les fitxes d’activitats per a cada una de les cinc unitats formatives que conformen el mòdul formatiu, on es detallen objectius, equip i materials, activitats i criteris d’avaluació. Per una altra banda també hi ha als annexes les fitxes d’activitat d’alumne, aquestes fitxes estan pensades per portar un control del treballs realitzats per cada un dels alumnes

Mètode analític i transcendentalitat

No tinc la seguretat que l'expressió «filosofia analítica» siga un rètol adient per a cap tendència, mètode o escola de l'activitat filosòfica. En un sentit molt general i potser trivial, encara que no n'estic cert, la filosofia és, del seu origen ençà, anàlisi: anàlisi del pensar i de l'ésser, i de les condicions de l'un i de l'altre. Tanmateix, només al nostre segle s'ha etiquetat una manera de fer filosofia com a «filosofia analítica», per motius no gaire clars

P versus NP: el problema estrella de la matemàtica de la computació

El problema «P versus NP» és un dels set Problemes del Mil.lenni de l?Institut Clay de Matemàtiques, la solució del qual estaria premiada amb un milió de dòlars. En aquest article presentem de manera divulgativa el problema i els seus orígens, donant pel camí exemples de problemes computacionals de diferents nivells de dificultat, alguns algoritmes no trivials, la definició de màquina de Turing ?el model matemàtic d?ordinador? i el concepte de reducció polinòmica entre problemes. La part més avançada de l?article presenta una demostració del teorema de Razborov sobre circuits monòtons de l?any 1985 que resol un cas especial de la conjectura. També donem una traducció al català d?una carta de Gödel a Von Neumann de l?any 1956 que es va descobrir l?any 1988 i que es pot considerar com la primera formulació per escrit del problema «P versus NP».The problem ?P versus NP? is one of the seven Millennium Prize Problems of the Clay Mathematics Institute, whose solution would be awarded one million dollars. In this article we present in an informal manner the problem and its origin, giving along the way examples of computational problems of diferent levels of hardness, some non-trivial algorithms, the definition of Turing machine ? the mathematical model of a computer ? and the concept of polynomial reduction between problems. The most advanced part of the article presents a proof of Razborov?s 1985 theorem for monotone circuits, which solves a special case of the conjecture. We also give a translation into Catalan of a letter from Gödel to Von Neumann from 1956 which was discovered in 1988 and can be considered the first written formulation of the problem ?P versus NP?

Estudi de la influència de l'estil social a l'aprenentatge de les matemàtiques d'alumnes de 4t d'Educació Secundària Obligatòria

Els treballs en grup són recursos molt utilitzats a la docència de les matemàtiques amb els alumnes de l'ESO, ja que potencien moltes de les competències bàsiques que han d’assolir, com per exemple l’autonomia en l’aprenentatge. En el present estudi es realitza una classificació dels estils socials dels alumnes mitjançant el model de Merrill, basat en la tipologia de Jung, amb la finalitat de poder predir comportaments i millorar les dinàmiques de grup de l’assignatura de matemàtiques per a alumnes de 4t de l'ESO. Per realitzar la classificació dels estils socials dels alumnes he utilitzat un test validat per a adults basat en el mètode de Merrill, que els classifica en quatre estils socials: afable, analític, conductor i expressiu, depenent del grau d’influència i de la sensibilitat que mostren respecte els altres. Aquest mateix test també ha estat contestat pels professors adoptant la identitat de cada alumne. He recollit dades qualitatives dels alumnes mitjançant observacions a classe, entrevistes amb els professors i gravacions de les resolucions de problemes, que m’han permès, juntament amb l’anàlisi dels resultats del test, comparar prediccions i realitats de les dinàmiques de grups i comprovar que existia una interrelació entre els dos conceptes. He completat el meu estudi incloent petites recomanacions perquè els professors puguin millorar i fer més eficient el treball realitzat pels diversos grups. Les conclusions són que la realització de l’anàlisi ha estat satisfactòria, així com que aquells grups que funcionen millor són aquells en els quals els seus membres presenten versatilitat. Aquesta versatilitat en ocasions pot estar relacionada amb la seguretat i el coneixement de l’alumne en l’assignatura. També he pogut determinar mitjançant l’anàlisi del test del professor que no resulta trivial per al docent conèixer l’estil social de tots els seus alumnes

Proof verification in algebraic topology

Treballs Finals de Grau de Matemàtiques, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona, Any: 2020, Director: Carles Casacuberta[en] Homotopy type theory is a relatively new field which results from the surprising blend of algebraic topology (homotopy) and type theory (type), that tries to serve as a theoretical base for theorem-proving software. This setting is particularly suitable for synthetic homotopy theory. In this work, we describe how the programming language Agda can be used for proof verification, by examining the construction of the fundamental group of the circle $\mathbb{S}^{1}$. Then, trying to obtain the fundamental group of the real projective plane $\mathbb{R} \mathrm{P}^{2}$, we end up exploring a new construction of $\mathbb{R} \mathrm{P}^{2}$ as a higher inductive type

Accessible higher modalities

Treballs finals del Màster en Matemàtica Avançada, Facultat de Matemàtiques, Universitat de Barcelona: Curs: 2022-2023. Director: Carles Casacuberta[en] The main goal of this master’s thesis is to study localizations in the setting of homotopy type theory. In particular the special case of modalities, an object resembling the namesake notion in classical logic that allows to qualify statements to express things as possibility or necessity. In the first chapter we introduce the syntax of homotopy type theory and some motivating examples for the study of modalities. Next, we study localizations and modalities as described in [1; 2]. We focus on the fact that accessible modalities correspond to nullifications and work on the existence of non-accessible modalities. Finally we explore the use of Agda (a programming language for automatic proof verification) towards implementing results about factorization systems and modalities

Teories vector-tensor en gravitació i cosmologia

Aquesta tesi fa un estudi de ses teories Vector-Tensor (VT) basades en es Lagrangià proposat per Will en 1972, que, a banda d’involucrar sa curvatura escalar en sa dita acció, conté uns termes que involucren a un camp vectorial, ses seves derivades i quatre paràmetres arbitraris. Comença fent uns estudi des paràmetres PPN (Parameterized post-Newtonian) en s’ambit d’aquestes teories VT a partir des qual s’avaluen quines d’aquestes teories val sa pena estudiar. A partir d’aquest estudi i d’un segon estudi de viabilitat, quant absència d’inestabilitats quàntiques i clàssiques, és seleccionada per s’estudi una teoria que ha estat etiquetada com a teoria VTIIIa, que correspon a una certa parametrització de sa densitat Lagrangiana, sa qual té tots es valors des PPN coincidents amb sos mateixos en Relativitat General. Una volta centrats en sa teoria VTIIIa; en primer lloc s’escomet un estudi general per passar immediatament a un exhaustiu estudi centrat en cosmologia, es qual comença amb un estudi de s’anometat background cosmològic. Dit estudi de background conclou, entre altres coses, que sa densitat d’energia des camp vectorial, pot exercir es paper de s’energia de la constant cosmològica des model estàndard, i llavors sense necessitat de recórrer a s’energia de buit. Acabat s’estudi de VTIIIa a nivell de background, en segon lloc, són estudiades ses fluctuacions cosmològiques en sa seva aproximació lineal, utilitzant es formalisme invariant gauge de Bardeen. En aquest estudi es demostrat que: 1) es modes tensorials són es mateixos que en Relativitat General i evolucionen d’igual manera, 2) que es modes vectorials són es mateixos que en sa teoria Einstein-Maxwell en absència de càrregues i corrents, 3) que ses equacions d’evolució des modes escalars són diferents a ses de Relativitat General. Acte seguit se procedeix amb so desplegament des modes escalars a on és aparegut un nou mode escalar característic d’aquesta teoria i que no apareix en Relativitat General, calculant-se totes ses equacions per a dites pertorbacions escalars. A continuació són adaptats es codis informàtics CMBFAST, es qual realitza ses prediccions teòriques, i COSMOMC que fa es contrast d’aquestes prediccions amb dades observacionals, concretament amb mesures des satèl·lit WMAP. Igualment se fa amb sos codis informàtics CAMB i una altra versió de COSMOMC pet tal de poder fer ús de ses bases de dades de mesures des satèl·lit Planck. Amb sos nous codis se procedeix a fer una sèrie de processos d’ajust o encaix que inclouen es cas d’un nombre mínim de paràmetres amb diverses fonts de contrast observacional. Respecte an ets resultats obtenguts podríem destacar es següents: • Ses dades des millor encaix són ben similars a Relativitat General, però existeixen uns intervals més amplis per a un nivell de confiança des 68%. • Existeix un ampli rang de valors des paràmetre característic de ses pertorbacions escalars de VTIIIa dins des nivell de confiança des 68%. • En tots ets casos, sa relació entre sa funció de versemblança de VTIIIa i Relativitat General, pes millor encaix, permet afirmar que: des d’un punt de vista estadístic, VTIIIa és lleugerament més probable que Relativitat General. Sa teoria VTIIIa també es aplicada a simetria esfèrica estàtica, a on és trobat que sa forma de sa mètrica és similar a sa mètrica de Reissner–Nordström–de Sitter, mostrant-se que es paper de sa càrrega elèctrica és jugat per una quantitat que és proporcional a sa massa de sa font gravitatòria i certs paràmetres característics de VTIIIa. Finalment, també inclou un estudi d’altre tipus de teoria VT classificada com a VTIb, que és aplicada a cosmologia a on és provat que, es modes vectorials sub-horitzó oscil·len però es seus valors mitjans són coincidents amb sos de Relativitat General que són decreixents; però, es modes super-horitzó augmenten sense oscil·lacions. Per tant, aquests darrers modes podrien esser prou grans prop des desacoblament i posteriorment, i llavors pot esser una explicació a certes anomalies detectades en es primers multipols des sa radiació de fons de microones. Sa tesi inclou, entre altres, un apèndix que demostra que VTIIIa és una teoria de gravitació i no d’electromagnetisme estès

Gilles Deleuze i Félix Guattari: per una política menor. Una anàlisi sobre la crisi del model representatiu, o com assumir el repte d'articular la vida en comú des de l'autonomia i l'horitzontalitat

En aquest treball analitzem les alternatives que, principalment des dels moviments socials i a través de les noves subjectivitats emergents i no assimilades pel sistema de poder establert, es proposen per a l'articulació de les relacions en el camp social, al marge del model neoliberal i de les formes de representació tradicionalment vinculades a aquest model; tot plegat, emmarcat dins els darrers cicles de lluites sorgits al voltant de l'any 2011. Així mateix, posem el focus d'atenció en els precedents que trobem per aquest costat, a saber: les lluites protagonitzades pel moviment obrer durant la segona meitat del segle XIX i principis del XX -la qual cosa ens permet analitzar algunes de les principals nocions que es posen en joc des del marxisme, en paral·lel al pensament polític deleuzo-guattarià-, les mobilitzacions que van començar pels volts de l'any 1968 en diferents indrets del món, sense oblidar les manifestacions del moviment alterglobalització que van obrir el nou segle XXI. Per a tal efecte, analitzem i tractem de posar en funcionament les eines conceptuals que ofereixen Deleuze i Guattari sobre la possibilitat de coordinar la vida en comú des de la base i de forma immanent, reivindicant la singularitat dels diferents elements implicats i la seua capacitat de participació i de decisió directa i no delegada -és aquesta possibilitat, precisament, la que es defineix al voltant del que anomenem una política menor-, així com el plantejament que proposen altres autors, com ara Foucault o Hardt i Negri, al voltant de la qüestió.En aquest treball analitzem les alternatives que, principalment des dels moviments socials i a través de les noves subjectivitats emergents i no assimilades pel sistema de poder establert, es proposen per a l'articulació de les relacions en el camp social, al marge del model neoliberal i de les formes de representació tradicionalment vinculades a aquest model; tot plegat, emmarcat dins els darrers cicles de lluites sorgits al voltant de l'any 2011. Així mateix, posem el focus d'atenció en els precedents que trobem per aquest costat, a saber: les lluites protagonitzades pel moviment obrer durant la segona meitat del segle XIX i principis del XX -la qual cosa ens permet analitzar algunes de les principals nocions que es posen en joc des del marxisme, en paral·lel al pensament polític deleuzo-guattarià-, les mobilitzacions que van començar pels volts de l'any 1968 en diferents indrets del món, sense oblidar les manifestacions del moviment alterglobalització que van obrir el nou segle XXI. Per a tal efecte, analitzem i tractem de posar en funcionament les eines conceptuals que ofereixen Deleuze i Guattari sobre la possibilitat de coordinar la vida en comú des de la base i de forma immanent, reivindicant la singularitat dels diferents elements implicats i la seua capacitat de participació i de decisió directa i no delegada -és aquesta possibilitat, precisament, la que es defineix al voltant del que anomenem una política menor-, així com el plantejament que proposen altres autors, com ara Foucault o Hardt i Negri, al voltant de la qüestió