Quadratic programming algorithms and their application

Tato práce se zabývá algoritmy k řešení úloh kvadratického programování bez omezení, konkrétně se jedná o gradientní metody, kterými jsou metoda největšího spádu, metoda Barzilai-Borwein a metoda sdružených gradientů. Věnovat se bude i předpodmíněním těchto metod. Cílem této práce je seznámit se s algoritmy kvadratického programování, jejich implementací a také aplikacemi.This thesis deals with algorithms for solving unconstrained quadratic programming problems, in particular is about gradient methods as steepest descent method, Barzilai-Borwein algorithm and conjugate gradient method and preconditioning of these mothods. The goal of this thesis is to deal with algorithms of quadratic programming, their implementation and also their application.470 - Katedra aplikované matematikyvýborn

Interfacing the Preprocessor and Postprocessor GiD with GEM Finite Element Package

Import 26/06/2013Tato práce se zabývá rozhraním k systému GiD umožňující načítat a zpracovávat data programu pro matematické modelování GEM. V práci jsou popsány oba programy, způsob předávání výsledků GEMu a možnosti jejich vizualizace v prostředí programu GiD. Dále jsou nastíněny další možnosti jeho využití jakožto preprocesor úloh pro řešič GEM.The present thesis deals with the interface to the GiD system that enables to read and to process the program data for mathematical GEM simulation. Both programs as well as the way of handing over GEM results and possibilities of their visualisation in the GiD program setting are described in the thesis. Other possibilities of its use such as a preprocessor of tasks for GRM solver are also sketched.460 - Katedra informatikyvelmi dobř

Acceleration of numerical computation of heat conduction in solids in inverse tasks

Diplomová práce se zabývá možnostmi urychlení numerických výpočtů, které jsou prováděny v rámci řešení úloh vedení tepla v tuhých tělesech. Práce shrnuje základní poznatky o principech přenosu tepla s důrazem na vedení. Dále se věnuje teorii metody kontrolních objemů, která umožňuje převést danou přímou úlohu vedení tepla do tvaru soustavy lineárních rovnic s řídkou maticí. Přehledově je popsána problematika inverzních úloh vedení tepla, v rámci kterých jsou výpočty přímých úloh intenzivně využívány. Jsou představeny vybrané numerické metody, které lze pro účely časově efektivního řešení přímých úloh vedení tepla využít. Vysvětleny jsou poznatky o implementaci výpočtů a jejich testování na modelové úloze dvourozměrného vedení tepla. Dosažené výsledky jsou porovnány a zhodnoceny z hlediska časové náročnosti testovaných přístupů.The master's thesis deals with possible ways of accelerating numerical computations, which are present in problems related to heat conduction in solids. The thesis summarizes basic characteristics of heat transfer phenomena with emphasis on heat conduction. Theoretical principles of control volume method are utilized to convert a direct heat conduction problem into a sparse linear system. Relevant fundamentals from the field of inverse heat conduction problems are presented with reference to intensive computations of direct problems of such kind. Numerical methods which are well-suited to find a solution of direct heat conduction problems are described. Remarks on practical implementation of time-efficient computations are made in relation with a two-dimensional heat conduction model. The results are compared and discussed with respect to obtained computational time for several tested methods.

2d multigrid domain decomposition methods

Tato práce se zabývá optimalizací výpočetní náročnosti metody rozložení oblasti ve dvou dimenzích pomocí nahrazení Gaussovy eliminace s kvadratickou složitostí multigridem, jehož složitost je lineární. Na úvod se text věnuje metodě konečných prvků, která je nejpoužívanější metodou při numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic. Dále je popsána metoda rozložení oblasti, která umožňuje rozdělit problém na lokální úlohy a řešit je paralelně. Později text popisuje multigrid a algoritmus metody dvou sítí. Na závěr jsou pak srovnány výsledky pro metodu rozložení oblasti s využitím Gaussovy eliminace a metodu rozložení oblasti, kde je Gaussova eliminace nahrazena metodou dvou sítí.This thesis is focused on two dimensional Domain decomposition method optimization by replacing Gauss elimination, with the quadratic complexity, by Multigrid whose complexity is linear. The introductory text deals with the finite element method, which is the most used method in numerical solution of partial differential equations. Next, the method of domain decomposition is described, which allows to divide the problem into local tasks and solve them parallel. Further text describes multigrid and the two-gird algorithm. Finally, there are compared two variants of domain decomposition method. The standart one, using Gauss elimination method, is compared to a novel one, where Gauss elimination method is replaced by two-grid method.470 - Katedra aplikované matematikyvelmi dobř

Deflated Conjugate Gradient Method

Conjugate gradient method is one of the basic iterative methods for solving systems of linear algebraic equations with a symmetric positive definite matrix. We present two different derivations of the method and show some its properties. In situations where the method converges slowly or almost stagnates, techniques that transform the original system are usually used to speed up the convergence. Among them there is a precon- ditioning, for which we briefly present the basic idea and algorithm of preconditioned conjugate gradients. We then focus in more detail on the so-called deflation. We present the context in which it has been described in the literature, and comment on various approaches to the derivation of the deflated CG algorithm. We explain the principle of deflation and derive thoroughly the algorithm, describing steps that are not explic- itly stated or discussed in detail in the literature. On simple numerical experiments we illustrate the effect of the deflation on the convergence rate. 1Metoda sdružených gradientů je jednou ze základních iteračních metod pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic se symetrickou pozitivně definitní maticí. V práci uvádíme dvě různá odvození této metody a ukazujeme některé její vlastnosti. V situa- cích, kdy metoda konverguje pomalu či téměř stagnuje, se obvykle používají techniky, které transformují původní soustavu s cílem konvergenci urychlit. Jednou z nich je před- podmínění, u kterého stručně uvádíme základní myšlenku a algoritmus předpodmíně- ných sdružených gradientů. Podrobněji se pak zaměřujeme na techniku tak zvané deflace. Představujeme kontext, v jakém byla popsána v literatuře, a komentujeme různé přístupy k odvození algoritmu deflated CG. Vysvětlujeme princip deflace a algoritmus detailně od- vozujeme, přičemž popisujeme i kroky, které v literatuře nebývají explicitně uvedeny nebo podrobně rozebrány. Vliv deflace na rychlost konvergence ilustrujeme na jednoduchých numerických experimentech. 1Katedra numerické matematikyDepartment of Numerical MathematicsFaculty of Mathematics and PhysicsMatematicko-fyzikální fakult

Selected Extensions of the Albegraic System Octave

Práce se zabývá problematikou řešení soustavy lineárních rovnic v prostředí číslicového počítače. Popisuje základní používané algoritmy s důrazem na jejich silné a slabé stránky. Věnuje se obecným problémům jako je časová složitost a paměťová náročnost daných algoritmů. V závěru popisujeme průběh implementace vybraných procedur do algebraického systému Octave.This work deals with issues linked to solving system of linear equations in the environment of numerical computer. It describes the fundamental algorithms emphasizing their positive as well as negative sides. The work is devoted to general issues such as time complexity and memory demandingness of given algorithms. In the last part, the process of implementation of selected procedures into the algebraic system Octave is described.

Odhady algebraické chyby a zastavovací kritéria v numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic

Název práce: Odhady algebraické chyby a zastavovací kritéria v numerickém řešení parciálních diferenciálních rovnic Autor: Jan Papež Katedra: Katedra numerické matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Zdeněk Strakoš, DrSc. Abstrakt: Po uvedení modelového problému a jeho vlastností je v práci popsána metoda sdružených gradientů (Conjugate Gradient Method - CG), jsou uvedeny odhady energetické normy chyby a je navržena heuristika pro adaptivní zpřesňování odhadů ve výpočtech. Na konkrétních příkladech je ukázán rozdíl v lokálním chování algebraické a diskretizační chyby v nume- rickém řešení modelového problému. Dále jsou uvedeny a posteriori odhady diskretizační a celkové chyby, které zahrnují chybu řešení algebraické sou- stavy. Myšlenka použití více sítí při řešení modelového problému je ukázána na víceúrovňové metodě (multigrid method). Poté je popsána Deuflhardova metoda Cascadic Conjugate Gradient Method (CCG), pro kterou jsou odvo- zena nová zastavovací kritéria s využitím odhadů algebraické a diskretizační chyby popsaných v předchozích částech předložené práce. Na závěr je metoda CCG s novými zastavovacími kritérii testována. Klíčová slova: numerické řešení parciálních...Title: Estimation of the algebraic error and stopping criteria in numerical solution of partial differential equations Author: Jan Papež Department: Department of Numerical Mathematics Supervisor of the master thesis: Zdeněk Strakoš Abstract: After introduction of the model problem and its properties we describe the Conjugate Gradient Method (CG). We present the estimates of the energy norm of the error and a heuristic for the adaptive refinement of the estimate. The difference in the local behaviour of the discretization and the algebraic error is illustrated by numerical experiments using the given model problem. A posteriori estimates for the discretization and the total error that take into account the inexact solution of the algebraic system are then discussed. In order to get a useful perspective, we briefly recall the multigrid method. Then the Cascadic Conjugate Gradient Method of Deuflhard (CCG) is presented. Using the estimates for the error presented in the preceding parts of the thesis, the new stopping criteria for CCG are proposed. The CCG method with the new stopping criteria is then tested. Keywords: numerical PDE, discretization error, algebraic error, error es- timates, locality of the error, adaptivityDepartment of Numerical MathematicsKatedra numerické matematikyFaculty of Mathematics and PhysicsMatematicko-fyzikální fakult

Parallelization of the solution of elliptic boundary value problems using TFETI domain decomposition method

Import 03/08/2012Práce se zabývá paralelní implementací TFETI metody rozložení oblasti, která je vyvíjena na Katedře aplikované matematiky VŠB - TU Ostrava pro řešení rozsáhlých inženýrských problémů, a dále její aplikací na řešení eliptických okrajových úloh. Po diskretizaci oblasti pomocí metody konečných prvků se oblast rozdělí na nepřekrývající se podoblasti tvořené elementy sítě. Toto vede na soustavu rovnic s blokovou maticí tuhosti, což usnadňuje paralelizaci jejího řešení. Pomocí Lagrangeových multiplikátorů jsou pak vynucovány nejen lepící podmínky, ale i Dirichletovy okrajové podmínky. Metoda je tak ve srovnání s metodou FETI efektivnější a snažší na implementaci. Je zde také provedena efektivní regularizace matic tuhosti podoblastí a jsou zavedeny ortogonální projektory, které zlepšují podmíněnost duální úlohy s Lagrangeovými multiplikátory. Na numerických experimentech je ověřena numerická i paralelní škálovatelnost metody.The bachelor thesis deals with parallel implementation of the TFETI domain decomposition method, which is developed at the Department of Applied Mathematics VŠB - TU Ostrava to solve large engineering problems. It deals also with application of TFETI on the solution of elliptic boundary value problems. After finite element space discretization we decompose the domain into nonoverlapping subdomains defined by mesh elements. This leads to a system of linear equations with block-diagonal system matrix which enables its effective parallel solution. The gluing conditions and even the Dirichlet boundary conditions are enforced by the Lagrange multipliers, so the method is more effective and simpler for implementation than FETI. The effective regularization of the stiffness matrices of the subdomains is performed and the condition number of the dual problem with Lagrange multipliers is improved by using orthogonal projectors. Both numerical and parallel scalability of TFETI are tested in the numerical experiments.470 - Katedra aplikované matematikyvýborn

Algebraic Equations Solution Convergence

Práce podrobně popisuje metody řešení soustav lineárních algebraických a diferenciálních rovnic. Představuje metodu převodu ze soustav lineárních algebraických rovnic na soustavy rovnic diferenciálních. Vysvětluje metodu elementárního převodu, převod pomocí transformačního algoritmu a oba postupy demonstruje na jednoduchých příkladech s ukázkou jejich vlastností. Práce srovnává metody řešení soustav rovnic z hlediska přesnosti a rychlosti. Pro řešení příkladů a experimenty byly použity programy TKSL a TKSL/C. Program TKSL/C byl v rámci práce rozšířen o grafické uživatelské rozhraní určené k automatickému převodu soustav a jejich výpočtu.The work describes techniques for solving systems of linear and differential equations. It explains the definition of conversion from system of linear to system of differential equations. The method of the elementary transmission and the transform algorithm are presented. Both of methods are demonstrated on simply examples and properties of conversion are shown. The work compares fast and accurate solutions of methods and algorithm. For computing examples and solving experiments following programs were used: TKSL and TKSL/C. The program TKSL/C was enriched with the graphic user interface which makes the conversion of systems and computing results easier.

Efektivní iterační metody a řešiče pro MKP analýzu

The main topic of this thesis is the three-field formulation of Biot's model of poroelasticity and preconditioners to solve the equations of the model after finite element discretization. The three field-formulation that is used describes the state of the porous media using displacement, fluid flux and pressure. Using this formulation we introduce a classical formulation of the model, use implicit time discretization and introduce the weak formulation for the timestep problem. The main focus is on the preconditioners for the timestep problem. Several block diagonal preconditioners based on Schur complements are presented and analysed on the level of the weak formulation and on the matrix level. The same approach is then applied to Biot-Barenblatt model that generalizes Biot's model. The results on condition number estimates are illustrated by numerical experiments. The author's contributions are based on the coauthored articles that cover the construction of Schur complement preconditioners. This thesis generalizes them by taking most of the analysis to the weak formulation which provides clearer presentation and discretization-independent results.Hlavním tématem této práce je trojpolní formulace Biotova modelu poroelasticity a předpodmiňovače k řešení soustav vzniklých diskretizací modelu pomocí metody konečných prvků. Pro popis stavu porézního prostředí jsou použita pole posunutí, toku a tlaku kapaliny. Biotův model je představen nejprve v klasické formulaci této trojpolní formulace a následně je přestavena variační formulace problému pro krok diskretizace v čase. Hlavní náplní práce jsou předpodmiňovače pro řešení systému rovnic pro jednotlivé časové kroky. Je představeno několik blokově diagonálních předpodmiňovačů založených na Schurových doplňcích, které jsou analyzovány na úrovni slabé formulace a následně na maticové úrovni. Stejný přístup je poté aplikovám pro předpodmiňovače pro Biotův-Barenblattův model, který je zobecněním Biotova modelu. Výsledky analýzy čísel podmíněnosti jednotlivých předpodmiňovačů jsou podpořeny numerickými experimenty. Přínos práce je založen na publikovaných výsledcích autora, které popisují konstrukci a analýzu předpodmínění založeného na Schurových doplňcích. V práci jsou navíc tyto výsledky zobecněné tím, že většina analýzy se přesouvá do slabá formulace. Prezentace se tak stává přehlednější a umožňuje jednodušší odvození výsledků nezávisejících na konkretní diskretizaci.470 - Katedra aplikované matematikyvyhově