Un problema inverso en la teoría de Morales - Ramis

La teoría de Morales - Ramis es considerada actualmente como el criterio más potente para detectar no integrabilidad en un sistema hamiltoniano, estableciendo que la integrabilidad del hamiltoniano implica grupo de Galois abeliano en la ecuación variacional. En este artículo se presenta un resumen, con una gran variedad de ejemplos, del método MSAB (Morales- Simó-Acosta-Blázquez), el cual es un método para construir sistemas hamiltonianos a partir de una ecuación variacional conocida. De esta forma, si el grupo de Galois es no abeliano entonces se tienen familias completas de sistemas hamiltonianos no integrables

Teoría de Galois en extensiones algebraicas de grado infinito

En este trabajo se presenta una teoría de Galois para extensiones algebraicas de grado infinito, en particular, la generalización de la versión clásica del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois. Iniciamos dotando al grupo de Galois, Gal (L/K), con la topología de Krull. Como primera consecuencia, se obtiene que los subgrupos cerrados son los que se corresponden con los subcuerpos intermedios de la extensión. Adicionalmente, el grupo de Galois adquiere la propiedad de Hausdorff, totalmente disconexo y compacto. Finalmente, utilizamos la teoría de grupos profinitos para caracterizar al grupo de Galois y calcularlo para ciertas extensiones de Q, IP,, y C(t)

Sobre la ecuación diferencial de segundo orden y Maple.

No todos los algoritmos que se implementan en un lenguaje como Maple, en el caso de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, son tomados textualmente; algunos algoritmos requieren de técnicas más sofisticadas, las cuales no aparecen en los textos tradicionales

El icosaedro y la irreducibilidad de la quíntica

According to Galois theory, every irreducible quintic whose Galois group is isomorphic to A5 can not be solved by radicals, due to this group is not solvable. Since the symmetry group of the icosahedron is also isomorphic to A5, it is natural to think that there is any connection between the solutions of the irreducible quintic and the icosahedron. In this dissertation we will show up this connection. One of the first things we will do is to build a polyhedral equation associated to the icosahedral Möbius group (the icosahedral equation) and we will study a method based on hypergeometric functions to solve it. After that, we will reduce the general quintic to a simplest form, the so called canonical form. Using the symmetries of the icosahedron, we will be able to build a suitable quintic resolvent whose roots coincide with those of the canonical quintic and can be expressed as a function of the solution of the icosahedral equation.Universidad de Sevilla. Grado en Matemática

Galoisian and numerical approach of three dimensional linear differential systems with skew symmetric matrices defined in a non- constant differential field

Este trabajo contrasta métodos numéricos con métodos algebraicos aplicados ambos a la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales 3-dimensionales con matrices antisimétricas definidas en un cuerpo diferencial no constante. Al mismo sistema se aplican métodos y algorítmos propios de la Teoría de Galois Diferencial, lo que permite resolverlo algebraicamente y métodos numéricos, en particular métodos de la familia de Runge - Kutta. Por último, se calculan los errores absolutos y relativos entre las soluciones Liouvillianas, obtenidas mediante la resolución algebraica y las soluciones obtenidas aplicando métodos numéricos.This work contrasts numerical methods with algebraic methods. These methods are applied to solve a three dimensional linear differential system with skew symmetric matrices defined in a non- constant differential field. Algorithms and methods of Differential Galois Theory, are used to provide an algebraic solution, while numerical methods, in particular, methods from Runge - Kutta family, are applied to the same system. Finally, the absolute and relative errors between Liouvillians solution are calculated comparing the solutions obtained by means of algebraic methods and by means of numerical methods.Peer Reviewe

Grupos de Galois Profinitos

El presente trabajo sobre Teoría de Galois se aleja de la cuestión de la resolubilidad por radicales de los polinomios de grado mayor o igual que cinco para estudiar el Grupo de Galois sobre extensiones de Galois que pueden ser infinitas. Se utilizarán resultados del caso de las extensiones finitas y comprobaremos que existe, con alguna salvedad, una versión del Teorema Fundamental de la Teoría de Galois ya generalizada a extensiones de cuerpos de grado infinito. Será necesario definir una topología, la Topología de Krull, sobre dichos Grupos de Galois, y estudiar las propiedades topológicas que aparecen en ellos, así como sus consecuencias, con el fin de contar con la herramienta de la Topología para el cumplimiento del objetivo de este trabajo. Este será, a grandes rasgos, identificar una clase de grupos topológicos, los grupos profinitos, con los Grupos de Galois sobre una cierta extensión.<br /

Elementos algebraicos y ecuaciones polinomiales de grado pequeño

El objetivo principal de esta memoria es tratar de profundizar en algunos conceptos de la Teor´ıa de Galois. En primer lugar, comenzaremos probando la existencia de n´umeros trascendentes de forma no constructiva utilizando la equipotencia de conjuntos y de forma constructiva, demostrando expl´ıcitamente que el n´umero de Euler es trascendente. Luego usaremos la resultante de dos polinomios para demostrar de forma constructiva que la suma y el producto de elementos algebraicos es tambi´en algebraico. Tambi´en presentamos un m´etodo alternativo de resoluci´on de las ecuaciones de tercer y cuarto grado gracias a las Transformaciones de Tschirnhaus. Finalmente, clasificaremos los grupos de Galois de c´ubicas y cu´articas y caracterizaremos cu´ando un polinomios de grado cinco es resoluble

De las matemáticas clásicas a las matemáticas modernas y contemporáneas: el caso de la teoría de Galois como una adjunción

En este trabajo de grado se presentan algunos elementos a considerar en el estudio de la transición de las Matemáticas clásicas a las Matemáticas modernas y contemporáneas, a través de un estudio histórico–epistemológico y matemático de la obra de Galois. Así, nos concentraremos en la indagación de la teoría de Galois como una adjunción, lo cual será analizado desde dos perspectivas: una matemática que nos muestra el presente teórico de la teoría de Galois y las adjunciones, lo que nos permite comentar como la teoría de Galois es un caso particular de una adjunción; y otra histórica que muestra la evolución de la teoría de Galois desde 1830 hasta la actualidad. Todo esto, porque consideramos la teoría de Galois como un ejemplo paradigmático en la transición de las matemáticas clásicas a las matemáticas modernas y contemporáneas. Al final presentaremos una reflexión didáctica y epistemológica vinculada directamente a la formación inicial de profesores en el cuerpo de las matemáticas

Sobre as extensões ciclicas de grau p de um anel comutativo

Orientador : Antonio PaquesTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaDoutoradoMatematicaDoutor em Matemátic