Best rank-k approximations for tensors: generalizing Eckart-Young

Joint work with Jan Draisma and Giorgio Ottaviani. Given a tensor f in a Euclidean tensor space, we are interested in the critical points of the distance function from f to the set of tensors of rank at most k, which we call the critical rank-at-most-k tensors for f. When f is a matrix, the critical rank-one matrices for f correspond to the singular pairs of f . The critical rank-one tensors for f lie in a linear subspace H_f, the critical space of f. Our main result is that, for any k, the critical rank-at-most-k tensors for a sufficiently general f also lie in the critical space H_f. This is the part of Eckart-Young Theorem that generalizes from matrices to tensors. Moreover, we show that when the tensor format satisfies the triangle inequalities, the critical space H_f is spanned by the complex critical rank-one tensors. Since f itself belongs to H_f, we deduce that also f itself is a linear combination of its critical rank-one tensors. For simplicity, we will focus on binary forms during the talk.Universidad de Málaga. Campus de Excelencia Internacional Andalucía Tech

Celebrative Talk. Enrique's Homemade Algebraic Geometry.

During the talk, Enrique Arrondo's life and mathematical research were highlighted, intertwining his career with a touch of history and significant photos that captured important moments in Enrique's life. Enrique's fascination with mathematics was ignited at an early age, propelling him to become a prodigious thinker. Scholarships and fellowships paved the way for him in his academic pursuits, both locally and internationally. Enrique's contributions to the field of mathematics were remarkable. His interest in algebraic geometry led to numerous publications in prestigious journals, cementing his reputation as an exceptional mind in his field by continuing to advance the resolution of Hartshorne's conjecture. A summary was made of each of the topics he covered, including congruences, vector fibrations without intermediate cohomology, projections on Grassmannian varieties and his advances related with low codimension bundles. In addition, the new lines of research that were created from the results of Enrique's research were presented in the talk.Universidad de Málaga. Campus de Excelencia Internacional Andalucía Tech

Caracterización cohomológica de fibrados universales de la Grassmaniana de rectas

Tesis inédita de la Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Ciencias Matemáticas, Departamento de Álgebra, leída el 22-07-2015La tesis Caracterización Cohomológica de los Fibrados Universales de la Grasmanniana de Rectas se dedica a dar una caracterización mediante anulaciones de cohomología de los productos simétricos de uno de los fibrados de la Grassmanniana de rectas, en particular, del fibrado cociente que tiene rango 2. Probablemente uno de los resultados más importantes sobre fibrados vectoriales sobre un espacio proyectivo es el criterio de Horrocks que dice que un fibrado vectorial sobre el espacio proyectivo de dimension n escinde si y sólo si no tiene cohomología intermedia. Este teorema se ha generalizado a otras variedades projectivas. Por ejemplo G. Ottaviani caracterizó dichos fibrados vectoriales sobre las Grassmannianas de k planos y sobre cuádricas lisas. Una mejora del criterio de Ottaviani, que será el punto de inicio de esta tesis, lo dieron E. Arrondo y F. Malaspina para el caso de las Grassmannianas de rectas. La idea que hay detrás de la prueba de este resultado es bastante simple. Si un fibrado vectorial tiene como sumando directo un fibrado de linea, ésto es equivalente a tener las aplicaciones del fibrado lineal al fibrado que queremos caracterizar y viceversa, cuya composición es no nula. La parte difícil es relacionar la composición de dichas aplicaciones con un par perfecto dado por la dualidad de Serre. Uno podría estar interesado en caracterizar cohomológicamente otros fibrados vectoriales, y no sólo los fibrados lineales. Un resultado del tipo que estamos buscando está hecho por E. Arrondo y B. Graña en el que caracterizan la suma directa de twists de fibrados lineales y del fibrado cociente en la Grassmanniana de rectas en el espacio proyectivo de dimensión 4. Tomaron como punto de partida el criterio dado por G. Ottaviani y que da una caracterización de sumas directas de fibrados lineales. Ya que el fibrado cociente no escinde, tiene que haber alguna hipótesis de ese teorema que no la satisfaga. Hay exactamente una de ellas, y uno es capaz de probar que el resto de hipótesis nos sirven para caracterizar sumas directas de twists de fibrados lineales y de fibrados cocientes. Nuestro objetivo es dar una caracterización para sumas directas de twists de los productos simétricos del fibrado cociente en la Grassmanniana de rectas en el espacio proyectivo de dimensión n. Daremos dicha clasificación para productos simétricos de orden no mayor de n-2. Como ideas principales, usaremas las que ya hemos señalado. Empezaremos por el criterio de escisión dado por E. Arrondo y F. Malaspina. Contrairamente a lo que ocurre en la prueba de E. Arrondo y B. Graña, quitando la única hipótesis del criterio de escisión no será suficiente para caracterizar las sumas directas de twists de fibrados lineales y fibrados cocientes, así que necesitaremos añadir más hipótesis para dicha caracterización. La idea de encontrar un sumando directo del fibrado cociente estará relacionada con la dualidad de Serre. Con todas estas ideas en la cabeza, uno puede ir quitando paso a paso condiciones y añadiendo algunas más, hasta llegar a la clasificación que queríamos. Por otro lado, las técnicas de categorías derivadas es también un modo natural para llegar al tipo de caracterizaciones que acabamos de mencionar. Por lo tanto también estudiamos esos métodos, en particular el teorema de Beilinson, para el caso proyectivo y para Grassmannianas, mediante el cual pudimos realizar un critetio de escisión para la Grassmanniana de rectas. Seguimos los pasos dados por V. Ancona y G. Ottaviani en el caso del espacio proyectivo. Comparamos el criterio que obtenemos con el obtenido por G. Ottaviani, mostrando que es más fuerte, y con el realizado por E. Arrondo and F. Malaspina. En este segundo caso podemos ver fácilmente que esta nueva caracterización hecha usando el teorema de Beilinson tiene muchas más condiciones que la que nosotros hemos tomado como nuestro punto de partida.Depto. de Álgebra, Geometría y TopologíaFac. de Ciencias MatemáticasTRUEunpu

Homemade algebraic geometry: celebrating Enrique Arrondo’s 60th birthday

In this survey we recognize Enrique Arrondo’s contributions over the whole of his career, recalling his professional history and collecting the results of his mathematical productioFunding for open access charge: Universidad de Málaga / CBU

Tensor Product of Evolution Algebras

The starting point of this work is the fact that the class of evolution algebras over a fixed field is closed under tensor product. We prove that, under certain conditions, the tensor product is an evolution algebra if and only if every factor is an evolution algebra. Another issue arises about the inheritance of properties from the tensor product to the factors and conversely. For instance, nondegeneracy, irreducibility, perfectness and simplicity are investigated. The four-dimensional case is illustrative and useful to contrast conjectures, so we achieve a complete classification of four-dimensional perfect evolution algebras emerging as tensor product of two-dimensional ones. We find that there are four-dimensional evolution algebras that are the tensor product of two nonevolution algebras.Funding for open access publishing: Universidad Málaga/CBUA

Tensor Product of Evolution Algebras

The starting point of this work is the fact that the class of evolution algebras over a fixed field is closed under tensor product. We prove that, under certain conditions, the tensor product is an evolution algebra if and only if every factor is an evolution algebra. Another issue arises about the inheritance of properties from the tensor product to the factors and conversely. For instance, nondegeneracy, irreducibility, perfectness and simplicity are investigated. The four-dimensional case is illustrative and useful to contrast conjectures, so we achieve a complete classification of four-dimensional perfect evolution algebras emerging as tensor product of two-dimensional ones. We find that there are four-dimensional evolution algebras that are the tensor product of two nonevolution algebras.Funding for open access publishing: Universidad Málaga/CBUA

Validation of the inverse method for the determination of the access flow with thermodilution

La termodilución es un método ampliamente usado para la medición del flujo de acceso vascular (QA). Entre las posibilidades de la termodilución, el método inverso (MI) puede ser beneficioso en el tiempo de ejecución, sin repercusión en la eficacia dialítica (Kt). Sin embargo, no es una técnica lo suficientemente estudiada. Método: Estudio transversal sobre 117 fístulas arteriovenosas. Se realizaron 2 mediciones de QA con el método descrito por el fabricante (MR) y otra con MI. El MI se basa en la obtención del registro de recirculación invertida al iniciar la sesión y una única medición posterior de recirculación con las líneas en posición normal. En el análisis de concordancia se utilizó el método Bland-Altman y el índice kappa de Cohen. Resultados: Se evidenció muy buena concordancia entre MR y MI para QA inferiores a 700 ml/min, pero empeora a medida que aumenta el flujo. La variabilidad mediana entre las mediciones con MR (variabilidad intramétodo) fue del 3,4% (−17,13). Este valor no difirió de la variabilidad mediana generada entre MR y MI (variabilidad intermétodo), que fue del 2% (−14,12) (p = 0,287). El grado de acuerdo entre ambos para identificar fístulas arteriovenosas susceptibles de intervención fue muy bueno (kappa = 0,834). El tiempo empleado utilizando el MI fue significativamente menor (p = 0,000), sin evidenciarse variaciones en el Kt de las sesiones de medida (p = 0,201). Conclusiones: El MI de termodilución es válido para determinar el flujo del acceso vascular, especialmente en QA inferiores a 700 ml/min, con gran ahorro de tiempo, simplificación del procedimiento y sin modificar la eficacia de diálisis. La variabilidad entre la medición por MR y MI es similar a la propia del MR. La concordancia entre métodos a la hora de identificar fístulas arteriovenosas potencialmente patológicas es muy buena

Impact of the COVID-19 pandemic in Spain in the successive pandemic waves on hemodialysis patients and healthcare personnel

(1) Background: The impact of SARS-CoV-2 has been variable over the time course of the pandemic and in different populations. The aim was to analyze the impact of COVID-19 infection in a known population of hemodialysis (HD) patients and professionals in Spain at different times of the pandemic. (2) Methods: We conducted an observational, descriptive study with a follow-up from 3 March 2020 to 23 April 2022 (776 days), using in average of 414 professionals and 1381 patients from 18 HD units in Spain. The data from the positive PCR or the rapid antigen detection test (RADT) subject were analyzed and segmented into six periods (waves). (3) Results: Of 703 positive COVID-19 tests, 524 were HD patients (74.5%), and 179 were HD professionals (25.5%). Overall, 38% of staff and 43% of patients were affected. Differences were observed in regard to incidence (21% vs. 13%), mortality (3.5% vs. 0%), and symptomatology between the patients and professionals and throughout the pandemic. (4) Conclusions: COVID-19 severity varied during different pandemic waves, with a greater impact seen in the first wave. HD professionals and patients had similar infection rates, but patients had higher mortality rates. Community transmission was the primary route of infection.This research received was founded by Fundación Renal Íñigo Álvarez de Toledo (FRIAT). The research groups of S.M.-F. and E.G.-P. are funded by the Ministerio de Economia, Industria y competitividad: FIS/Fondos FEDER (PI20/00487; PI21/01430). The funders had no role in study design, data collection and analysis, decision to publish, or preparation of the manuscript. Financiadores Fundación Renal Íñigo Álvarez de Toledo Ministerio de Economia Federación Española de Enfermedades Raras Spain PI21/0143

Automorphism groups of Cayley evolution algebras

In this paper we introduce a new species of evolution algebras that we call Cayley evolution algebras. We show that if a field k contains sufficiently many elements (for example if k is infinite) then every finite group G is isomorphic to Aut(X) where X is a finite-dimensional absolutely simple Cayley evolution k-algebra