Simple Abelian algebras

AbstractAn algebra is called Abelian if all its term operations satisfy the so-called “term condition.” By a recent result of M. Valeriote (Proc. Amer. Math. Soc.108, 1990, 49–57), a finite simple Abelian algebra has no nontrivial proper subalgebra. Using this fact we prove that every finite simple Abelian algebra whose fundamental operations are surjective is either polynomially equivalent to a simple unitary module, or term equivalent to a matrix power of a unary permutational algebra

The Subpower Membership Problem for Finite Algebras with Cube Terms

The subalgebra membership problem is the problem of deciding if a given element belongs to an algebra given by a set of generators. This is one of the best established computational problems in algebra. We consider a variant of this problem, which is motivated by recent progress in the Constraint Satisfaction Problem, and is often referred to as the Subpower Membership Problem (SMP). In the SMP we are given a set of tuples in a direct product of algebras from a fixed finite set $\mathcal{K}$ of finite algebras, and are asked whether or not a given tuple belongs to the subalgebra of the direct product generated by a given set. Our main result is that the subpower membership problem SMP($\mathcal{K}$) is in P if $\mathcal{K}$ is a finite set of finite algebras with a cube term, provided $\mathcal{K}$ is contained in a residually small variety. We also prove that for any finite set of finite algebras $\mathcal{K}$ in a variety with a cube term, each one of the problems SMP($\mathcal{K}$), SMP($\mathbb{HS} \mathcal{K}$), and finding compact representations for subpowers in $\mathcal{K}$, is polynomial time reducible to any of the others, and the first two lie in NP

Algebrák, varietások és algoritmusok = Algebras, varieties and algorithms

A pályázat keretében három fő témakörben --- általános algebra és alkalmazásai, félcsoportelmélet és döntési problémák bonyolultsága --- nyertünk eredményeket. A kutatás jelentős része hazai, illetve külföldi kutatókkal való együttműködésben született. Kiterjesztettük Rosenberg teljességi tételét a Slupecki-klón környezetében, általánosítottuk Wiegold dichotómiatételét parallelogramma-algebrákra, és az eddig ismerteknél egyszerűbb jellemzést adtunk a kongruenciamodularitásra. Karakterizáltuk a döntések kvalitatív modellezésére szolgáló hasznossági függvényeket, és eljárást adtunk egyszerűbb függvények kompozíciójaként való előállításukra. Kiterjesztettük a McAlister-Lawson-féle elmélet egyes fedési, illetve beágyazási tételeit a lokálisan inverz félcsoportokra a majdnem faktorizálhatóság általánosításával, illetve a bal és kétoldali megszorításos félcsoportokra a W-szorzatba való beágyazhatóság jellemzésével. A homomorfizmus-problémára vonatkozó dichotómiasejtést bebizonyítottuk két különböző új algebraosztályra. Megmutattuk, hogy egy véges idempotens algebra pontosan akkor örökletesen véges relációbázisú, ha van élkifejezése. Széles algebraosztályok esetén algebrailag jellemeztük az egyenletrendszer-problémák komplexitását. Algebrai eszközökkel bizonyítottuk Valeriote egy sejtését a reflexív irányított gráfok speciális esetére, valamint igazoltuk Stahl Kneser-gráfokra vonatkozó sejtésének speciális esetét. | The results of the project belong to three areas: universal algebra and applications, semigroup theory, and complexity theory. Most of the research was carried out in international cooperation. We extended Rosenberg’s completeness theorem in the neighborhood of Slupecki’s clone, we generalized Wiegold’s dichotomy theorem to parallelogram algebras, and we found a characterization for congruence modularity which is simpler than the known criteria. We characterized utility functions which provide a tool for qualitative modelling of decision-making, and gave a procedure to express them as compositions of simpler functions. We extended some of the covering and embedding theorems of the McAlister-Lawson theory for locally inverse semigroups by generalizing almost factorizability, and for left and two-sided restriction semigroups by characterizing embeddability in W-products. We verified the constraint satisfaction problem dichotomy conjecture for two new classes of algebras. We proved that a finite idempotent algebra is inherently finitely related if and only if it has an edge term. We gave an algebraic characterization of the complexity of the problems of systems of equations for broad classes of finite algebras. Based on algebraic methods, we confirmed the Valeriote conjecture for the special case of finite reflexive digraphs, and verified a special case of the Stahl conjecture on Kneser graphs