Número de particiones de un entero

El trabajo "Número de particiones de un entero" estudia el problema de contar el número de particiones de un entero positivo. En los primeros capítulos se hallarán fórmulas recursivas para su cálculo y se estudiará su crecimiento asintótico. El último capítulo se centra en una importante subrama de la teoría de particiones, las Young Tableaux.<br /

El problema del máximo conjunto independiente en un grafo.

En teoría de grafos, un conjunto independiente es un conjunto de vértices en un grafo tal que ninguno de sus vértices es adyacente a otro. El propósito principal de este Trabajo Fin de Grado reside en el estudio del problema de hallar un conjunto independiente máximo en un grafo y en su complejidad computacional. Este problema es equivalente a otros problemas básicos de grafos (como el de hallar un máximo clique o recubrimiento de vértices mínimo), y es un problema de la clase NP-Hard que aparece de forma natural en muchas aplicaciones reales. El trabajo incluye las siguientes partes: - Una descripción del problema, problemas de grafos equivalentes y relacionados. Aplicaciones.- Complejidad del problema: introducción a la complejidad computacional y demostración de que el problema es NP-Hard.- Algoritmos exactos y algoritmos heurísticos para hallar un conjunto independiente óptimo. Formulación del problema como un PLE. El problema del máximo conjunto independiente en grafos de intervalo y los problemas de Scheduling.<br /

Problema de todos los pares de caminos óptimos en un grafo

El trabajo consiste en el estudio del problema de todos los pares de caminos óptimos en un grafo. Para proceder a ello explicamos los conceptos de grafo y complejidad computacional y damos el algoritmo de Floyd-Warshall para resolverlo, haciendo también un análisis de su complejidad. También vemos que este problema es equivalente a un problema matricial. Finalmente explicamos un algoritmo más reciente ideado por Timothy M. Chan que resuelve este problema pero con un coste computacional menor en un factor logarítmico

Ciclo hamiltoniano óptimo en un grafo (Problema del viajante).

El problema del viajante, también conocido como TSP, ha sido uno de los problemas más estudiadosen optimización combinatoria a lo largo de la historia. Este problema trata de determinar el camino quedebe realizar un comerciante si quiere visitar n ciudades, empezando y acabando en la misma. A lo largo de este trabajo, además de encontrar un enfoque global del problema, se profundiza en su complejidad y se desarrollan distintos algoritmos para resolverlo que van acompañados con ejemplos.<br /

Conjunto dominante conexo de un grafo.

El objetivo de este trabajo es el estudio del problema del cálculo de un conjunto dominante conexo de cardinal de tamaño mínimo en un grafo no dirigido. La principal aplicación de este problema se halla en la optimización del rendimiento de redes de comunicaciones. El tema central del trabajo estará dedicado a la demostración de que el problema pertenece a la clase de complejidad computacional NP-Completo así como a la descripción y análisis de tres algoritmos que permiten obtener una solución aproximada al problema en tiempo polinómico. Se incluye también un breve estudio del problema en triangulaciones planas y casi-triangulaciones.<br /

El problema de matching óptimo en un grafo

Un matching en un grafo G=(V,E) es un subconjunto de ejes K de manera que ningún par de ejes en K tenga vértices comunes. El problema que vamos a resolver a lo largo de este trabajo es el de encontrar un matching máximo en un grafo; es decir, un matching con el mayor número de ejes posible. Este problema es uno de los más importantes en la teoría de grafos. Es de gran interés esencialmente por sus aplicaciones en problemas de la vida real como puede ser el problema de asignación de tareas. Comenzaremos dando unas nociones básicas de teoría de grafos y explicaremos detalladamente en qué consiste el problema del máximo matching a la vez que daremos algunos ejemplos. Además, empezaremos particularizando el problema en el caso de los grafos bipartitos. Hallar el máximo matching en un grafo bipartito equivale a resolver un problema de máximo flujo en una red. La demostración del teorema de Hall aplicando el algoritmo de Ford-Fulkerson nos da el procedimiento a seguir para hallar la solución a este problema. Más adelante, generalizaremos el problema a grafos de todo tipo. Daremos las condiciones que debe cumplir un grafo para tener un matching perfecto, matching en el que participan todos sus vértices. El teorema de Tutte, análogo al de Hall para grafos en general, dice que tenemos un matching perfecto en un grafo G si y solo si el número de componentes impares que tenemos al quitar un conjunto de vértices S al grafo G es menor o igual que el número de vértices de S. Además, veremos una consecuencia de este teorema para el caso particular de los grafos cúbicos. El teorema de Petersen dice que un grafo cúbico y sin puentes tiene un matching perfecto.Finalmente, veremos cómo hallar un matching máximo usando el Algoritmo de Edmonds que se basa en la construcción de árboles alternados. La idea es construir el matching máximo iterativamente a partir de uno dado mejorándolo a través de caminos de aumento y contrayendo, a lo largo de este proceso, los ciclos de longitud impar (blossom) en un solo vértice. El proceso termina dando un camino alternado de aumento o un árbol completo.Estudiaremos también a lo largo del trabajo la complejidad computacional de cada algoritmo, dado que en la práctica estos algoritmos son muy útiles por su implementación y resolución con ayuda de un ordenador, especialmente en el caso de grafos con un elevado número de vértices y ejes.<br /

El problema de coloreado óptimo de un grafo

El objetivo de este trabajo es estudiar el coloreado óptimo de un grafo. Se expondrá formalmente este problema con aplicaciones a problemas reales (organización de un congreso, resolución de sudokus y teorema de los cuatro colores) y explicaremos tres problemas relacionados (coloreado óptimo de ejes, máximo subgrafo completo y máximo conjunto independiente).Acotando el número cromático superiormente llegaremos al teorema de Brooks, introduciremos el algoritmo voraz y el de contracción y buscaremos los coeficientes del polinomio cromático.Por ser un problema NP-hard, buscaremos cotas y algoritmos para hallar el número cromático. Decidir si un grafo se puede colorear con 3 colores es NP-completo. Se describirán, por tanto, algoritmos heurísticos: DSatur y RLF. Veremos que es difícil decir si una cota dada del número cromático es buena.Finalmente, nos centraremos en los grafos de intervalos y en los cordales, cuyas propiedades de coloración son mejores. Explicaremos qué es un orden de eliminación perfecto, ya que en combinación con el algoritmo voraz nos ofrece una coloración óptima. Justificaremos que un grafo es cordal si y solo si tiene un orden de eliminación perfecto, y que los grafos de intervalos son grafos cordales. También veremos cómo reconocer a estos tipos de grafos.<br /

Grafos planos

EL objetivo principal de este trabajo es el estudio de los grafos planos. Se incluirán las principales definiciones de la teoría de grafos, además de estudiar la fórmula de Euler, el teorema de Fáry y el teorema de Whitney. Por último, se desarrollará el teorema principal del trabajo, el teorema de Kuratowski de caracterización de grafos planos.<br /

Compatible matchings in geometric graphs

Two non-crossing geometric graphs on the same set of points are compatible if their union is also non-crossing. In this paper, we prove that every graph G that has an outerplanar embedding admits a non-crossing perfect matching compatible with G. Moreover, for non-crossing geometric trees and simple polygons, we study bounds on the minimum number of edges that a compatible non-crossing perfect matching must share with the tree or the polygon. We also give bounds on the maximal size of a compatible matching (not necessarily perfect) that is disjoint from the tree or the polygon.Postprint (published version