Upper bounds for packings of spheres of several radii

We give theorems that can be used to upper bound the densities of packings of different spherical caps in the unit sphere and of translates of different convex bodies in Euclidean space. These theorems extend the linear programming bounds for packings of spherical caps and of convex bodies through the use of semidefinite programming. We perform explicit computations, obtaining new bounds for packings of spherical caps of two different sizes and for binary sphere packings. We also slightly improve bounds for the classical problem of packing identical spheres.Comment: 31 page

Von der Idee zur industriellen Produktion von Parkhausdeckenplatten mit Carbonbeton

Carbonbeton ist ein neuartiger Verbundwerkstoff, der seit ca. 20 Jahren in den Sonderforschungsbereichen (SFB) 528 und 532 erforscht wird. Abgesehen von vereinzelten Unikaten im Neubaubereich sind Einsatzgebiete bisher vornehmlich die Bereiche Sanieren, Verstärken und Ertüchtigen in Verbindung mit engmaschigen Bewehrungsstrukturen und hochfesten Feinbetonen. In Ergänzung hierzu wird in dieser Arbeit ein Versuchskonzept für die industriell gefertigte Deckenplatte des Parkhaussystems GOBACAR® als Neubauteil vorgestellt, bei welcher eine Bewehrungsstruktur mit großer Maschenweite und Normalbeton (Großkorn 16 mm) Anwendung findet. Aus einem umfassenden Versuchsprogramm beginnend mit der Ermittlung von Festigkeitswerten für die Bewehrung, über die Ermittlung einer Dauerfestigkeit, Verbundeigenschaften und Auswirkungen aus dynamischer Beanspruchung bis hin zu Einflüssen aus Temperaturwirkung auf die Bewehrung und deren Verbundfestigkeit werden Teilsicherheitsbeiwerte abgeleitet und daraus ein Bemessungsmodell für die Biegetragfähigkeit beschrieben. Es wird aufgezeigt, wie die aus den Versuchen ermittelten Kennwerte in die Bemessung einfließen. Aus dem Versuchsprogramm werden weiterhin Bauteilversuche mit Originalspannweite im Maßstab 1:1 vorgestellt, aus denen Bauteilwiderstände für die Biege und Querkrafttragfähigkeit sowie Durchstanzen aus simulierter Radlast für die Deckenplatte als Systembauteil abgeleitet werden. Für die Biegetragfähigkeit wird der Widerstand aus dem Bemessungsmodell und der versuchsgestützte Bauteilwiderstand gegenübergestellt. Für die Entwicklung der Parkhausdeckenplatte mit Carbonbeton hat das Unternehmen GOLDBECK unter der Gesamtleitung des Autors in der Summe mehr als 400 Versuche durchgeführt, von denen etwas mehr als 100 die Grundlage dieser Arbeit sind und aus denen eine wirtschaftliche Biegebemessung mit der ermittelten Dauerfestigkeit der Carbonbewehrung abgeleitet wird

On the multiple Borsuk numbers of sets

The Borsuk number of a set S of diameter d >0 in Euclidean n-space is the smallest value of m such that S can be partitioned into m sets of diameters less than d. Our aim is to generalize this notion in the following way: The k-fold Borsuk number of such a set S is the smallest value of m such that there is a k-fold cover of S with m sets of diameters less than d. In this paper we characterize the k-fold Borsuk numbers of sets in the Euclidean plane, give bounds for those of centrally symmetric sets, smooth bodies and convex bodies of constant width, and examine them for finite point sets in the Euclidean 3-space.Comment: 16 pages, 3 figure

Diszkrét geometria = Discrete Geometry

A kutatások folyamán elért új eredmények zömét publikáltuk, illetve közzétételük folyamatban van. A legfontosabb témakörök az alábbiak: Egyoldali Hadwiger szám [5]. Fejes Tóth szoliditási sejtése [12]. Kör/gömb-elhelyezés - Kétféle kört tartalmazó kitöltések [13]. - Minkowski elhelyezések [3], [21]. - Alternatív hatékonysági mértékek [1, 2, 4]. - Tammes probléma (n=13 [9], illetve n=14,15,16 és 17 [7]). - Voronoi celláinak felszínbecslései [24]. Halmazok átmérője Minkowski terek átlósan maximális halmazai [19], Cilindrikus Borsuk-feldarabolások [34]. Jellemzés felület-vágással [23] Petty szám becslés véges normált terekben [6]. Antipodális poliéderek és él-antipodális poliéderek [11, 26] Relatív hossz problémák [16, 17, 18, 22, 28, 36]. Fedési problémák A "nem-keresztezési feltétel" szükségessége [14], illetve az elliptikus sík fedése [15]. Izoperimetrikus problémák mozaikokon [35], geodetikus görbülettű oldalakkal határolt poligonok állandó görbületű síkon [30]. Helly típusú transzverzális problémák [27, 32, 33]. Kneser-Poulsen problémakör [20, 29]. Egyéb publikált eredmények [8], [10], [25], [31]. | Most of the new results have been published or being published. The most importan topics are as follows: One-sided Hadwiger number [5]. Fejes Tóth?s solidity conjecture [12]. Packing of discs/balls - Two-size packings [13]. - Minkowskian packings [3], [21]. - Alternative efficiency measures [1, 2, 4]. - Tammes' problem (for n=13 [9], for n=14,15,16 és 17 [7]). - Surface area of Voronoi cells [24]. Diameter of sets Diametrally maximal sets in Minkowskian spaces [19], Cylindrical Borsuk-decomposition [34]. Characterization of sets of constant width by coundary cuts [23] Petty number Estimates in normed spaces [6]. Antipodális poliéderek és él-antipodális poliéderek [11, 26] Relatíve length problems [16, 17, 18, 22, 28, 36]. Covering problems On the possibility of dropping the 'non-crossing' assumption [14], the thinnest covering of the elliptic plane by 4 circles [15]. Izoperimetric problems for tilings [35], for polygons bonded by sides of given geodethic curcvature (on planes of constant curvature.) [30]. Helly type transversal problems [27, 32, 33]. Kneser-Poulsen problems [20, 29]. Other published results [8], [10], [25], [31]

Diszkrét és kombinatórikus geometriai kutatások = Topics in discrete and combinatorial geometry

A most lezárult OTKA grant, 8 résztvevő diszkrét geometriai kutatását támogatta. Itt a témák ilusztrálására kiemelünk néhányat az elért 72 publikációból. 1. Jelentős eredmények születtek (8 cikk) gráfok síkba rajzolhatóságáról, például az úgynevezett metszési számról. 2. Többek között sikerült igazolni Katchalski és Lewis 20 éves sejtését, mely szerint diszjunkt egységkörökből álló rendszereknél ha bármely három körnek van közös metsző egyenese akkor van olyan egyenes, amely legfeljebb 2 kör kivételével valamennyit metsz. 3. Littlewood (1964) problémájaként ismert volt az a kérdés, hogy hány henger érintheti kölcsönösen egymást? Viszonylag alacsony felső korlátot találtunk és egy régóta ismert elhelyzés valótlanságát igazoltuk. 4. Többszörös fedések egyszerű fedésekre való szétbontását vizsgáltuk és értünk el lényeges előrelépést. 5. A Borsuk-féle darabolási problémanak azt a variánsát vizsgáltuk, amelyben a darabolást u. n. hengeres darabolásra korlátozták. 6. Bebizonyítottuk, hogy ''nem nagyon elnyúlt'' ellipszisek esetében a sík legritkább fedésének meghatározásánál el lehet tekinteni az u.n. nem-keresztezési feltételtől. 7. A sejtetthez nagyon közeli korlátot találtunk arra a problémára, hogy az n-dimenziós térben legfeljebb hány homotetikus konvex test helyezhető el úgy, hogy bármely kettő érintse egymást. | Discrete geometry in Hungary flourished since the sixties as a result of the work of László Fejes Tóth. The supported research of 8 participant also belongs to this area. Here we illustrate the achieved 72 publications by mentioning a few results. 1. Important theorems (8 papers) were proved concerning graph drawing. 2. Among others, a 20 year old problem of Katchalsky was proved, stating that in a packing of congruent circles, if any three has a common transversal, then there is a line, which avoids at most two of the circles. 3. Concerning a conjecture of Littlewood we found a small upper bound for the number of infinite cylinders which mutually touch each other. 4. We studied decomposability of multiple coverings into single coverings. 5. We studied that variant of the famous Borsuk problem where the partitions are restricted to cylindrical partitions. 6. We proved that in case of ellipses which are not ''too long'' at determining the thinnest covering one can omit the usually needed noncrossing condition. 7. A bound close to the conjectured bound was found concerning the number of n-dimensional homothetic convex solids which mutually touch each other

A topological classification of convex bodies

The shape of homogeneous, generic, smooth convex bodies as described by the Euclidean distance with nondegenerate critical points, measured from the center of mass represents a rather restricted class M_C of Morse-Smale functions on S^2. Here we show that even M_C exhibits the complexity known for general Morse-Smale functions on S^2 by exhausting all combinatorial possibilities: every 2-colored quadrangulation of the sphere is isomorphic to a suitably represented Morse-Smale complex associated with a function in M_C (and vice versa). We prove our claim by an inductive algorithm, starting from the path graph P_2 and generating convex bodies corresponding to quadrangulations with increasing number of vertices by performing each combinatorially possible vertex splitting by a convexity-preserving local manipulation of the surface. Since convex bodies carrying Morse-Smale complexes isomorphic to P_2 exist, this algorithm not only proves our claim but also generalizes the known classification scheme in [36]. Our expansion algorithm is essentially the dual procedure to the algorithm presented by Edelsbrunner et al. in [21], producing a hierarchy of increasingly coarse Morse-Smale complexes. We point out applications to pebble shapes.Comment: 25 pages, 10 figure