Desingularization of Implicit Analytic Differential Equations

The question of finding solutions to given implicit differential equations (IDE) has been answered by several authors in the last few years, using different approaches, in an algebraic and also a geometric setting. Many of those results assume in one way or another that the subimmersion theorem can be applied at several stages of the reduction algorithm, which, roughly speaking, allows to reduce a given IDE to a collection of ODE depending on parameters. The main purpose of the present paper is to improve some of the known results by introducing at each stage of the reduction algorithm a desingularization of the manifolds with singularities that may appear when the subimmersion theorem cannot be applied. This can be done for analytic IDE by using some fundamental results on subanalytic subsets and desingularization of closed subanalytic subsets due mainly to Lojasiewicz, Hironaka, Gabrielov, Hardt, Bierstone, Milman and Sussmann, among others. We will show how this approach helps to understand the dynamics given by the Lagrange-D'Alembert-Poincare equations for the symmetric elastic sphere.Comment: 50 page

The Dirac theory of constraints, the Gotay-Nester theory and Poisson geometry

The Dirac theory of constraints has been widely studied and applied very successfully by physicists since the original works by Dirac and by Bergmann. From a mathematical standpoint, several aspects of the theory have been exposed rigorously afterwards by many authors. However, many questions related to, for instance, singular or infinite dimensional cases remain open. The work of Gotay and Nester presents a mathematical generalization in terms of presymplectic geometry, which introduces a dual point of view. We present a study of the Dirac theory of constraints emphasizing the duality between the Poisson-algebraic and the geometric points of view, related respectively to the work of Dirac and of Gotay and Nester, under strong regularity conditions. We deal with some questions insufficiently treated in the literature: a study of uniqueness of solution; avoiding almost completely the use of coordinates; the role of the Pontryagin bundle. We also show how one can globalize some results usually treated locally in the literature. For instance, we introduce the globalnotion of second class submanifoldas being tangent to a second class subbundle. A general study of global results for Dirac and Gotay-Nester theories remains an open question in this theory.La Teoría de ligaduras deDirac, lateoría de Gotay-Nester y geometría dePoissin. La teoría de Dirac ha sido ampliamente estudiada y aplicada muy exitosamente por los físicos desde los trabajos originales de Dirac y de Bergmann. Desde un punto de vista matemático, varios aspectos de la teoría han sido expuestos rigurosamente por varios autores. Sin embargo, aún quedan abiertas varias preguntas relacionadas, por ejemplo, con casos singulares o infinito-dimensionales. El trabajo de Gotay y Nester presenta una generalización matemática en términos de la geometría presimpléctica, lo cual introduce un punto de vista dual. Presentamos un estudio de la teoría de ligaduras de Dirac enfatizando la dualidad entre los puntos de vista de las álgebras de Poisson y de la geometría presimpléctica, relacionados respectivamente con los trabajos de Dirac y de Gotay-Nester, bajo condiciones de regularidad fuertes. Abordamos algunas cuestiones insuficientemente tratadas en la literatura: un estudio de la unicidad de solución; evitar casi completamente el uso de coordenadas; el rol del fibrado de Pontryagin. También mostramos cómo se pueden globalizar algunos resultados usualmente tratados localmente en la literatura. Por ejemplo, introducimos la noción globalde subvariedad de segunda clasecomo variedad tangente a un subfibrado de segunda clase. Un estudio general de resultados globales para las teorías de Dirac y de Gotay-Nester sigue siendo una pregunta abierta en esta teoría.Fil: Cendra, Hernan. Universidad Nacional del Sur. Departamento de Matemática; Argentina. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - Bahía Blanca; ArgentinaFil: Etchechoury, María del Rosario. Universidad Nacional de La Plata; ArgentinaFil: Ferraro, Sebastián José. Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. Centro Científico Tecnológico Conicet - Bahía Blanca. Instituto de Matemática Bahía Blanca. Universidad Nacional del Sur. Departamento de Matemática. Instituto de Matemática Bahía Blanca; Argentin

The Dirac theory of constraints, the Gotay-Nester theory and Poisson geometry

The Dirac theory of constraints has been widely studied and applied very successfully by physicists since the original works by Dirac and by Bergmann. From a mathematical standpoint, several aspects of the theory have been exposed rigorously afterwards by many authors. However, many questions related to, for instance, singular or infinite dimensional cases remain open. The work of Gotay and Nester presents a mathematical generalization in terms of presymplectic geometry, which introduces a dual point of view. We present a study of the Dirac theory of constraints emphasizing the duality between the Poisson-algebraic and the geometric points of view, related respectively to the work of Dirac and of Gotay and Nester, under strong regularity conditions. We deal with some questions insufficiently treated in the literature: a study of uniqueness of solution; avoiding almost completely the use of coordinates; the role of the Pontryagin bundle. We also show how one can globalize some results usually treated locally in the literature. For instance, we introduce the globalnotion of second class submanifoldas being tangent to a second class subbundle. A general study of global results for Dirac and Gotay-Nester theories remains an open question in this theory.La teoría de Dirac ha sido ampliamente estudiada y aplicada muy exitosamente por los físicos desde los trabajos originales de Dirac y de Bergmann. Desde un punto de vista matemático, varios aspectos de la teoría han sido expuestos rigurosamente por varios autores. Sin embargo, aún quedan abiertas varias preguntas relacionadas, por ejemplo, con casos singulares o infinito-dimensionales. El trabajo de Gotay y Nester presenta una generalización matemática en términos de la geometría presimpléctica, lo cual introduce un punto de vista dual. Presentamos un estudio de la teoría de ligaduras de Dirac enfatizando la dualidad entre los puntos de vista de las álgebras de Poisson y de la geometría presimpléctica, relacionados respectivamente con los trabajos de Dirac y de Gotay-Nester, bajo condiciones de regularidad fuertes. Abordamos algunas cuestiones insuficientemente tratadas en la literatura: un estudio de la unicidad de solución; evitar casi completamente el uso de coordenadas; el rol del fibrado de Pontryagin. También mostramos cómo se pueden globalizar algunos resultados usualmente tratados localmente en la literatura. Por ejemplo, introducimos la noción globalde subvariedad de segunda clasecomo variedad tangente a un subfibrado de segunda clase. Un estudio general de resultados globales para las teorías de Dirac y de Gotay-Nester sigue siendo una pregunta abierta en esta teoría.Instituto de Investigaciones en Electrónica, Control y Procesamiento de SeñalesFacultad de Ciencias Exacta

An extension of the dirac and gotay-nester theories of constraints for dirac dynamical systems

This paper extends the Gotay-Nester and the Dirac theories of constrained systems in order to deal with Dirac dynamical systems in the integrable case. Integrable Dirac dynamical systems are viewed as constrained systems where the constraint submanifolds are foliated. The cases considered usually in the literature correspond to a trivial foliation, with only one leaf. A Constraint Algorithm for Dirac dynamical systems (CAD), which extends the Gotay-Nester algorithm, is developed. Evolution equations are written using a Dirac bracket adapted to the foliations and an adapted total energy. The interesting example of LC circuits is developed in detail. The paper emphasizes the point of view that Dirac and Gotay-Nester theories are, in a certain sense, dual and that using a combination of results from both theories may have advantages in dealing with a given example, rather than using systematically one or the other.Laboratorio de Electrónica Industrial, Control e Instrumentació

Sistemas diferenciales-algebraicos: aplicaciones a perturbación singular y control

Los Sistemas Diferenciales Algebraicos (SDA) son también conocidos como sistemas singulares, implícitos, descriptores o sistemas generalizados. Surgen naturalmente como modelos dinámicos de aplicaciones de la ingeniería (tales como redes de circuitos eléctricos [1], sistemas de potencia [2], sistemas mecánicos con restricciones [3], ingeniería aeroespacial [4] y procesos químicos [5]); se utilizan también para modelar sistemas sociales, sistemas económicos, sistemas biológicos; etc. En muchos casos los SDA pueden resolverse eficientemente por medio de métodos numéricos standard utilizados para la resolución de Sistemas Diferenciales Ordinarios (SDO). Este enfoque fue introducido por Gear [6], y utilizado por diferentes autores, por ejemplo en [7] y [8]. Sin embargo, los SDA suelen tener algunas propiedades que provocan que estos métodos numéricos fracasen. En [7] y [9], por ejemplo, se presentan algunos resultados acerca de las causas de tales dificultades para el caso particular de una clase de SDA lineales. Las técnicas utilizadas en estos trabajos son de naturaleza algebraica, y no brindan una información completa acerca de la existencia y unicidad de soluciones. Otro enfoque diferente surge al considerar un SDA como un conjunto de ecuaciones diferenciales sobre una variedad. Esta aproximación geométrica permite desarrollar una teoría de existencia y unicidad de soluciones que da lugar a conocer nuevas propiedades de los SDA, y a analizar cuales son las causas por la que los métodos numéricos fallan algunas veces, [10].Facultad de Ciencias Exacta

Singularity crossing phenomena in nonlinear electrical circuits

In a nonlinear system a singular crossing point is a singular point such that there is at least one solution crossing through it. In this article we study a family of nonlinear electrical circuits, that can be represented by nonlinear Implicit Differential Equations -IDEs-. We set conditions that ensure the existence of singular crossing points in these circuits. There are different approaches to this problem for a given general IDE, but the results we get for this family of circuits allow us to find these points in an extremely simple way. The results are illustrated in a concrete example.Facultad de Ingenierí

Singularity crossing phenomena in nonlinear electrical circuits

In a nonlinear system a singular crossing point is a singular point such that there is at least one solution crossing through it. In this article we study a family of nonlinear electrical circuits, that can be represented by nonlinear Implicit Differential Equations -IDEs-. We set conditions that ensure the existence of singular crossing points in these circuits. There are different approaches to this problem for a given general IDE, but the results we get for this family of circuits allow us to find these points in an extremely simple way. The results are illustrated in a concrete example.Facultad de Ingenierí

Estabilidad del equilibrio singular en redes eléctricas no lineales

En este trabajo analizamos la estabilidad del equilibrio singular para una clase de circuitos eléctricos no lineales que se modelizan por ecuaciones diferenciales algebraicas: los circuitos RLC. El analisis consta de dos partes: por un lado, se usan resultados conocidos que permiten determinar la estabilidad del equilibrio singular, y por el otro, se utiliza una técnica de reducción, que nos permite modelar el sistema por una ecuación diferencial ordinaria sobre un espacio de menor dimensión, de este modo el estudio de la estabilidad puede hacerse a partir de resultados clásicos de sistemas no-lineales. Además, se obtienen conclusiones sobre la dinámica alrededor del equilibrio, es decir, más allá de establecer la estabilidad asintótica, es posible determinar la caracterización de las órbitas en las cercanías del mismo.Facultad de Ciencias ExactasFacultad de Ingeniería (FI

Evaluación del comportamiento térmico de muros en función de su absorbancia solar

A fin de analizar el comportamiento térmico de un muro exterior sometido a la radiación solar en función de la absorbancia de la superficie expuesta, es necesario conocer los parámetros que intervienen en la ecuación de transferencia de calor. En este trabajo, ésto se lleva a cabo mediante la medición de la temperatura de dicha superficie en función de su absorbancia solar para el caso de un muro con orientación norte-sur. Se observa que la variación de flujo de calor en dirección normal al muro como consecuencia de la variación de la absorbancia solar de su superficie exterior se corresponde con la variación en el valor máximo admisible de transmitancia térmica establecido por la norma IRAM 11605.In order to analize the thermal behaviour of an external wall under solar radiation as a function of the absorptance of the exposed surface, the knowledge of the parameters involved in the heat transfer equation is necessary. In this work, this is carried out through the measurement of temperature of the referred surface as a function of its solar absorptance for the case of a wall with north-south orientation. It is observed that heat flux variation in a direction normal to the wall as a consequence of solar absorptance of its external surface is according to the variation in the maximum value admitted for thermal transmittance by IRAM standard 11605.Asociación Argentina de Energías Renovables y Medio Ambiente (ASADES

Evaluación del comportamiento térmico de muros en función de su absorbancia solar

A fin de analizar el comportamiento térmico de un muro exterior sometido a la radiación solar en función de la absorbancia de la superficie expuesta, es necesario conocer los parámetros que intervienen en la ecuación de transferencia de calor. En este trabajo, ésto se lleva a cabo mediante la medición de la temperatura de dicha superficie en función de su absorbancia solar para el caso de un muro con orientación norte-sur. Se observa que la variación de flujo de calor en dirección normal al muro como consecuencia de la variación de la absorbancia solar de su superficie exterior se corresponde con la variación en el valor máximo admisible de transmitancia térmica establecido por la norma IRAM 11605.In order to analize the thermal behaviour of an external wall under solar radiation as a function of the absorptance of the exposed surface, the knowledge of the parameters involved in the heat transfer equation is necessary. In this work, this is carried out through the measurement of temperature of the referred surface as a function of its solar absorptance for the case of a wall with north-south orientation. It is observed that heat flux variation in a direction normal to the wall as a consequence of solar absorptance of its external surface is according to the variation in the maximum value admitted for thermal transmittance by IRAM standard 11605.Asociación Argentina de Energías Renovables y Medio Ambiente (ASADES