A Zermelo navigation problem with a vortex singularity

Helhmoltz-Kirchhoff equations of motions of vortices of an incompressible fluid in the plane define a dynamics with singularities and this leads to a Zermelo navigation problem describing the ship travel in such a field where the control is the heading angle. Considering one vortex, we define a time minimization problem which can be analyzed with the technics of geometric optimal control combined with numerical simulations, the geometric frame being the extension of Randers metrics in the punctured plane, with rotational symmetry. Candidates as minimizers are parameterized thanks to the Pontryagin Maximum Principle as extremal solutions of a Hamiltonian vector field. We analyze the time minimal solution to transfer the ship between two points where during the transfer the ship can be either in a strong current region in the vicinity of the vortex or in a weak current region. The analysis is based on a micro-local classification of the extremals using mainly the integrability properties of the dynamics due to the rotational symmetry. The discussion is complex and related to the existence of an isolated extremal (Reeb) circle due to the vortex singularity. The explicit computation of cut points where the extremal curves cease to be optimal is given and the spheres are described in the case where at the initial point the current is weak

Homotopic approach for turnpike and singularly perturbed optimal control problems

The first aim of this article is to present the link between the turnpike property and the singular perturbations theory: the first one being a particular case of the second one. Then, thanks to this link, we set up a new framework based on continuation methods for the resolution of singularly perturbed optimal control problems. We consider first the turnpike case, then, we generalize the approach to general control problems with singular perturbations (that is with fast but also slow variables). We illustrate each step with an example

Méthodes géométriques et numériques en contrôle optimal et problèmes de Zermelo sur les surfaces et révolution : applications

This work studies Zermelo problems on revolutions surfaces from the point of view of optimal control in the Hamiltonian framework by combining so-called geometrical and numerical methods. It is motivated by several case studies, in particular the historical example of Carathéodory-Zermelo which is one of the founding problems of the calculus of variations and an interesting normal form for the microlocal analysis of the global problem, as well as the so-called "vortex problem" which is a recent application from hydrodynamics and which describes the evolution of a passive particle around a vortex point. The considered Zermelo problem is determined by a triplet (M, g, F0) where M is a 2D manifold with normal coordinates q = (r,thêta), g is a Riemannian metric on M and F0 is a vector field defining the current (or the wind). From the optimal control view point, this problem corresponds to a minimum time transfer problem between two points q0 and q1 for an affine control system of the form : q(t) = F0(q) + u1F1(q) + u2F2(q), ‖u‖ 1), which are associated to new situations such as : the loss of local controllability in q0, the discontinuity of the minimal time value function, the deformation of small spheres and balls, the apparition of new branches in the cut locus (set of points where trajectories lose their optimality), etc. Our analysis is essentially based on two points of view. The first point of view is the Caratheodory viewpoint, equivalent to the Goh transform in control. It allows us to rewrite the problem as an affine and scalar control system in dimension 3 and to use geometric tools of this framework in order to compute the conjugate and cut loci in relation with the local and global optimality of the solutions. The second point of view is the mechanical system viewpoint which allows to write the problem using a generalized potential and to use the Clairaut relation to integrate the flow and to classify the trajectories according to a classification method called GMR (generalized Morse-Reeb) which generalizes the Morse-Reeb classification in dynamical system. In this context, we introduce the concepts of Reeb foliation, Reeb component, separatrix geodesic which separated the geodesic flow into different classes. A special attention is given to the study of the vortex problem which can be seen as a toy model of the Kepler problem, but with an orthoradial current. In this case, we provide a result for the existence of an optimal solution and we construct the synthesis of the problem.Ce travail étudie les problèmes de Zermelo sur les surfaces de révolution du point de vue du contrôle optimal dans le cadre hamiltonien en combinant des méthodes dites géométriques et numériques. Il est motivé par plusieurs cas d'études notamment l'exemple historique de Carathéodory-Zermelo qui est l'un des problèmes fondateurs du calcul des variations et une forme normale intéressante pour l'analyse microlocale du problème dans le cas général, ainsi que le problème dit "du vortex" qui est une application récente provenant de l'hydrodynamique et qui décrit l'évolution d'une particule passive autour d'un point vortex. Le problème de Zermelo ainsi considéré est déterminé par un triplet (M, g, F0) où M est une variété de dimension 2 avec des coordonnées normales q = (r,thêta), g une métrique riemannienne sur M et F0 un champ de vecteur définissant le courant (ou le vent). Du point de vue du contrôle optimal, ce problème correspond à un problème de transfert en temps minimal entre deux points q0 et q1 pour un système de contrôle affine de la forme : q = F0(q) + u1 F1(q) + u2 F2(q), ‖u‖ 1), celles-ci étant associées aux situations nouvelles telles que : la perte de contrôlabilité locale en q0, la discontinuité de la fonction temps minimale, la déformation des petites sphères et boules, l'apparition de nouvelles branches dans le lieu de coupure (lieu où les trajectoires perdent leur optimalité), etc. Notre analyse est principalement basée sur deux points de vue. Le premier point de vue est le point de vue de Carathéodory, équivalent à la transformée de Goh en contrôle. Il permet de réécrire le problème comme un système de contrôle affine et scalaire en dimension 3 et d'utiliser des outils géométriques de ce cadre pour calculer les lieux conjugué et de coupure en lien avec l'optimalité locale et globale des solutions. Le second point de vue est le point de vue système mécanique qui permet d'écrire le problème à l'aide d'un potentiel généralisé et d'utiliser la relation de Clairaut pour intégrer le flot et classifier les trajectoires suivant une méthode de classification appelée GMR (generalized Morse-Reeb) qui généralise la classification de Morse-Reeb en système dynamique. Dans ce contexte, nous introduisons les concepts de feuilletage de Reeb, composante de Reeb, géodésique séparatrice qui sépare en différente classe le flot géodésique. Un accent particulier est ensuite mis sur l'étude du problème vortex qui peut être vue comme un modèle réduit du problème de Kepler, mais avec un courant orthoradial. Dans ce cas, on établit un résultat d'existence de solution optimale et on construit la synthèse du problème

Méthodes géométriques et numériques en contrôle optimal et problèmes de Zermelo sur les surfaces et révolution : applications

This work studies Zermelo problems on revolutions surfaces from the point of view of optimal control in the Hamiltonian framework by combining so-called geometrical and numerical methods. It is motivated by several case studies, in particular the historical example of Carathéodory-Zermelo which is one of the founding problems of the calculus of variations and an interesting normal form for the microlocal analysis of the global problem, as well as the so-called "vortex problem" which is a recent application from hydrodynamics and which describes the evolution of a passive particle around a vortex point. The considered Zermelo problem is determined by a triplet (M, g, F0) where M is a 2D manifold with normal coordinates q = (r,thêta), g is a Riemannian metric on M and F0 is a vector field defining the current (or the wind). From the optimal control view point, this problem corresponds to a minimum time transfer problem between two points q0 and q1 for an affine control system of the form : q(t) = F0(q) + u1F1(q) + u2F2(q), ‖u‖ 1), which are associated to new situations such as : the loss of local controllability in q0, the discontinuity of the minimal time value function, the deformation of small spheres and balls, the apparition of new branches in the cut locus (set of points where trajectories lose their optimality), etc. Our analysis is essentially based on two points of view. The first point of view is the Caratheodory viewpoint, equivalent to the Goh transform in control. It allows us to rewrite the problem as an affine and scalar control system in dimension 3 and to use geometric tools of this framework in order to compute the conjugate and cut loci in relation with the local and global optimality of the solutions. The second point of view is the mechanical system viewpoint which allows to write the problem using a generalized potential and to use the Clairaut relation to integrate the flow and to classify the trajectories according to a classification method called GMR (generalized Morse-Reeb) which generalizes the Morse-Reeb classification in dynamical system. In this context, we introduce the concepts of Reeb foliation, Reeb component, separatrix geodesic which separated the geodesic flow into different classes. A special attention is given to the study of the vortex problem which can be seen as a toy model of the Kepler problem, but with an orthoradial current. In this case, we provide a result for the existence of an optimal solution and we construct the synthesis of the problem.Ce travail étudie les problèmes de Zermelo sur les surfaces de révolution du point de vue du contrôle optimal dans le cadre hamiltonien en combinant des méthodes dites géométriques et numériques. Il est motivé par plusieurs cas d'études notamment l'exemple historique de Carathéodory-Zermelo qui est l'un des problèmes fondateurs du calcul des variations et une forme normale intéressante pour l'analyse microlocale du problème dans le cas général, ainsi que le problème dit "du vortex" qui est une application récente provenant de l'hydrodynamique et qui décrit l'évolution d'une particule passive autour d'un point vortex. Le problème de Zermelo ainsi considéré est déterminé par un triplet (M, g, F0) où M est une variété de dimension 2 avec des coordonnées normales q = (r,thêta), g une métrique riemannienne sur M et F0 un champ de vecteur définissant le courant (ou le vent). Du point de vue du contrôle optimal, ce problème correspond à un problème de transfert en temps minimal entre deux points q0 et q1 pour un système de contrôle affine de la forme : q = F0(q) + u1 F1(q) + u2 F2(q), ‖u‖ 1), celles-ci étant associées aux situations nouvelles telles que : la perte de contrôlabilité locale en q0, la discontinuité de la fonction temps minimale, la déformation des petites sphères et boules, l'apparition de nouvelles branches dans le lieu de coupure (lieu où les trajectoires perdent leur optimalité), etc. Notre analyse est principalement basée sur deux points de vue. Le premier point de vue est le point de vue de Carathéodory, équivalent à la transformée de Goh en contrôle. Il permet de réécrire le problème comme un système de contrôle affine et scalaire en dimension 3 et d'utiliser des outils géométriques de ce cadre pour calculer les lieux conjugué et de coupure en lien avec l'optimalité locale et globale des solutions. Le second point de vue est le point de vue système mécanique qui permet d'écrire le problème à l'aide d'un potentiel généralisé et d'utiliser la relation de Clairaut pour intégrer le flot et classifier les trajectoires suivant une méthode de classification appelée GMR (generalized Morse-Reeb) qui généralise la classification de Morse-Reeb en système dynamique. Dans ce contexte, nous introduisons les concepts de feuilletage de Reeb, composante de Reeb, géodésique séparatrice qui sépare en différente classe le flot géodésique. Un accent particulier est ensuite mis sur l'étude du problème vortex qui peut être vue comme un modèle réduit du problème de Kepler, mais avec un courant orthoradial. Dans ce cas, on établit un résultat d'existence de solution optimale et on construit la synthèse du problème

Méthodes Géométriques et Numériques en Contrôle Optimal et Problèmes de Zermelo sur les Surfaces de Révolution - Applications

This work studies Zermelo problems on surfaces of revolution from the optimal control point of view in the Hamiltonian framework by combining so-called geometric and numerical methods. It is motivated by several case studies including the historical example of Carathéodory-Zermelo and the vortex problem" . The main goal is to construct an optimal synthesis in an adapted neighborhood R , it is summarized in the study of the regularity and the description of sub-level lines of the minimal time value function . The main diculty of this analysis lies in the existence of abnormal directions in the general case, which are associated to new situations such as : the loss of local controllability in q0 , the discontinuity of the minimal time function, the deformation of small spheres and balls , etc. Our analysis is based on two points of view. The first one is the Caratheodory-Zermelo-Goh point of view which allows us to rewrite the problem as a 3D affine and scalar control system in order to compute the conjugate and cut loci in relation to the optimality of solutions. The second point of view is the mechanical system one , which allows to write the problem with a generalized potential and to use the Clairaut relation to integrate the flow and to classify the trajectories following a classication method called GMR (generalized Morse-Reeb). Special attention is given to the study of the vortex problem which can be seen as a toy model of the Kepler problem with an orthoradial ow. In this case, we establish an existence solution result and we construct the synthesis of the problem.Ce travail étudie les problèmes de Zermelo sur les surfaces de révolution du point de vue du contrôle optimal dans le cadre hamiltonien en combinant des méthodes dites géométriques et numériques. Il est motivé par plusieurs cas d'études notamment l'exemple historique de Carathéodory-Zermelo et le "problème du vortex" . L'objectif principal est de construire une synthèse optimale dans un voisinage adapté R , il se résume dans l'étude de la régularité et la description des lignes de (sous)-niveaux de la fonction temps minimale . La principale difficulté de cette analyse réside dans l'existence de directions anormales dans le cas d'un courant fort, celles-ci étant associées aux situations nouvelles telles que : la perte de contrôlabilité locale en q0 , la discontinuité de la fonction temps minimale, la déformation des petites sphères et boules , etc. Notre analyse est basée sur deux points de vue. Le premier point de vue est celui de Carathéodory-Zermelo-Goh qui permet de réécrire le problème comme un système de contrôle ane et scalaire en 3D affine de calculer les lieux conjugué et de coupure en lien avec l'optimalité des solutions. Le second point de vue est le point de vue système mécanique qui permet d'écrire le problème à l'aide d'un potentiel généralisé et d'utiliser la relation de Clairaut pour intégrer le flot et classiffier les trajectoires suivant une méthode de classiffication appelée GMR (generalized Morse-Reeb). Un accent particulier est mis sur l'étude du problème vortex qui peut être vue comme un modèle réduit du problème de Kepler avec un courant orthoradial. Dans ce cas, on établit un résultat d'existence de solution et on construit la synthèse du problème

Geometric and numerical methods in optimal control and Zermelo problems in the plane : applications

Ce travail étudie les problèmes de Zermelo sur les surfaces de révolution du point de vue du contrôle optimal dans le cadre hamiltonien en combinant des méthodes dites géométriques et numériques. Il est motivé par plusieurs cas d'études notamment l'exemple historique de Carathéodory-Zermelo qui est l'un des problèmes fondateurs du calcul des variations et une forme normale intéressante pour l'analyse microlocale du problème dans le cas général, ainsi que le problème dit "du vortex" qui est une application récente provenant de l'hydrodynamique et qui décrit l'évolution d'une particule passive autour d'un point vortex. Le problème de Zermelo ainsi considéré est déterminé par un triplet (M, g, F0) où M est une variété de dimension 2 avec des coordonnées normales q = (r,thêta), g une métrique riemannienne sur M et F0 un champ de vecteur définissant le courant (ou le vent). Du point de vue du contrôle optimal, ce problème correspond à un problème de transfert en temps minimal entre deux points q0 et q1 pour un système de contrôle affine de la forme : q = F0(q) + u1 F1(q) + u2 F2(q), ‖u‖ 1), celles-ci étant associées aux situations nouvelles telles que : la perte de contrôlabilité locale en q0, la discontinuité de la fonction temps minimale, la déformation des petites sphères et boules, l'apparition de nouvelles branches dans le lieu de coupure (lieu où les trajectoires perdent leur optimalité), etc. Notre analyse est principalement basée sur deux points de vue. Le premier point de vue est le point de vue de Carathéodory, équivalent à la transformée de Goh en contrôle. Il permet de réécrire le problème comme un système de contrôle affine et scalaire en dimension 3 et d'utiliser des outils géométriques de ce cadre pour calculer les lieux conjugué et de coupure en lien avec l'optimalité locale et globale des solutions. Le second point de vue est le point de vue système mécanique qui permet d'écrire le problème à l'aide d'un potentiel généralisé et d'utiliser la relation de Clairaut pour intégrer le flot et classifier les trajectoires suivant une méthode de classification appelée GMR (generalized Morse-Reeb) qui généralise la classification de Morse-Reeb en système dynamique. Dans ce contexte, nous introduisons les concepts de feuilletage de Reeb, composante de Reeb, géodésique séparatrice qui sépare en différente classe le flot géodésique. Un accent particulier est ensuite mis sur l'étude du problème vortex qui peut être vue comme un modèle réduit du problème de Kepler, mais avec un courant orthoradial. Dans ce cas, on établit un résultat d'existence de solution optimale et on construit la synthèse du problème.This work studies Zermelo problems on revolutions surfaces from the point of view of optimal control in the Hamiltonian framework by combining so-called geometrical and numerical methods. It is motivated by several case studies, in particular the historical example of Carathéodory-Zermelo which is one of the founding problems of the calculus of variations and an interesting normal form for the microlocal analysis of the global problem, as well as the so-called "vortex problem" which is a recent application from hydrodynamics and which describes the evolution of a passive particle around a vortex point. The considered Zermelo problem is determined by a triplet (M, g, F0) where M is a 2D manifold with normal coordinates q = (r,thêta), g is a Riemannian metric on M and F0 is a vector field defining the current (or the wind). From the optimal control view point, this problem corresponds to a minimum time transfer problem between two points q0 and q1 for an affine control system of the form : q(t) = F0(q) + u1F1(q) + u2F2(q), ‖u‖ 1), which are associated to new situations such as : the loss of local controllability in q0, the discontinuity of the minimal time value function, the deformation of small spheres and balls, the apparition of new branches in the cut locus (set of points where trajectories lose their optimality), etc. Our analysis is essentially based on two points of view. The first point of view is the Caratheodory viewpoint, equivalent to the Goh transform in control. It allows us to rewrite the problem as an affine and scalar control system in dimension 3 and to use geometric tools of this framework in order to compute the conjugate and cut loci in relation with the local and global optimality of the solutions. The second point of view is the mechanical system viewpoint which allows to write the problem using a generalized potential and to use the Clairaut relation to integrate the flow and to classify the trajectories according to a classification method called GMR (generalized Morse-Reeb) which generalizes the Morse-Reeb classification in dynamical system. In this context, we introduce the concepts of Reeb foliation, Reeb component, separatrix geodesic which separated the geodesic flow into different classes. A special attention is given to the study of the vortex problem which can be seen as a toy model of the Kepler problem, but with an orthoradial current. In this case, we provide a result for the existence of an optimal solution and we construct the synthesis of the problem

A Zermelo navigation problem with a vortex singularity

International audienceHelhmoltz-Kirchhoff equations of motions of vortices of an incompressible fluid in the plane define a dynamics with singularities and this leads to a Zermelo navigation problem describing the ship travel in such a field where the control is the heading angle. Considering one vortex, we define a time minimization problem which can be analyzed with the technics of geometric optimal control combined with numerical simulations, the geometric frame being the extension of Randers metrics in the punctured plane, with rotational symmetry. Candidates as minimizers are parameterized thanks to the Pontryagin Maximum Principle as extremal solutions of a Hamiltonian vector field. We analyze the time minimal solution to transfer the ship between two points where during the transfer the ship can be either in a strong current region in the vicinity of the vortex or in a weak current region. The analysis is based on a micro-local classification of the extremals using mainly the integrability properties of the dynamics due to the rotational symmetry. The discussion is complex and related to the existence of an isolated extremal (Reeb) circle due to the vortex singularity. The explicit computation of cut points where the extremal curves cease to be optimal is given and the spheres are described in the case where at the initial point the current is weak.Les équations d’Helhmoltz-Kirchhoff pour le mouvement tourbillonaire d’un fluide incompressible dans le plan définissent une dynamique hamiltonienne à singularités localisées aux tourbillons. Cela conduit à définir un problème de Zermelo décrivant le mouvement d’un navire où le contrôle est l’angle de cap et le critère à minimiser est le temps de transfert entre deux points du plan. Dans cet article, on se limite au cas d’un seul tourbillon localisé en zéro et le problème est analysé avec les techniques du contrôle optimal géométrique combinées à des simulations numériques, le contexte géométrique étant l’extension des métriques de Randers dans le plan possédant une symétrie de révolution. On doit en effet considérer le cas d’un courant faible, mais aussi d’un courant fort localisé au voisinage du tourbillon. Les trajectoires candidates à minimiser le temps sont paramétrées en utilisant le Principe du Maximum de Pontryaguine comme des extrémales solutions d’un système hamiltonien dont les projections sur l’espace d’état sont les géodésiques. L’analyse du problème optimal repose sur la classification micro-locale des solutions extrémales utilisant l’intégrabilité de la dynamique. La discussion est complexe et repose sur l’existence d’un cercle géodésique dit de Reeb, conséquence de la singularité tourbillonaire. La discussion est complétée par l’évaluation des points de coupure, les points où les extrémales cessent d'être optimales. Les sphères sont décrites dans le cas d’un état initial à courant faible