Random Lattices and Random Sphere Packings: Typical Properties

We review results about the density of typical lattices in $R^n.$ They state that such density is of the order of $2^{-n}.$ We then obtain similar results for random packings in $R^n$: after taking suitably a fraction $\nu$ of a typical random packing $\sigma$, the resulting packing $\tau$ has density $C(\nu) 2^{-n},$ with a reasonable $C(\nu).$ We obtain estimates on $C(\nu).

Schubert Varieties, Linear Codes and Enumerative Combinatorics

We consider linear error correcting codes associated to higher dimensional projective varieties defined over a finite field. The problem of determining the basic parameters of such codes often leads to some interesting and difficult questions in combinatorics and algebraic geometry. This is illustrated by codes associated to Schubert varieties in Grassmannians, called Schubert codes, which have recently been studied. The basic parameters such as the length, dimension and minimum distance of these codes are known only in special cases. An upper bound for the minimum distance is known and it is conjectured that this bound is achieved. We give explicit formulae for the length and dimension of arbitrary Schubert codes and prove the minimum distance conjecture in the affirmative for codes associated to Schubert divisors.Comment: 12 page

Evaluation dérivée, multiplication dans les corps finis et codes correcteurs

Nous présentons un algorithme de multiplication dans les corps finis, basé sur une idée de G.V. et D.V. Chudnovsky. Notre amélioration réside dans l'utilisation d'évaluations dérivées de fonctions en des places de degrés 1 et 2. Cet algorithme permet d'améliorer les bornes connues pour la complexité bilinéaire de la multiplication dans certains corps finis. Nous présentons également de nouvelles constructions de codes correcteurs pour les m-metriques, basée sur les récents articles de Xing, Niederreiter, Ozbudak et Elkies sur les codes géométriques. Nous adaptons également un algorithme de décodage en liste dans la lignée des idées de Sudan au cas des codes pour les m-métriques.We present an algorithm of multiplication in finite fields, based on an idea of G.V. and D.V. Chudnovsky. Our improvement is based on the use of derivated evaluations of functions on degree 1 and 2 places. This algorithm allows us to improve known bounds for the bilinear complexity of multiplication in some finite fields. We also present new constructions of correcting codes for the m-metrics, based on the recent work of Xing, Niederreiter, Ozbudak and Elkies on geometric codes. We also adapt a list decoding algorithm following ideas of Sudan in the case of m-metrics.AIX-MARSEILLE2-BU Sci.Luminy (130552106) / SudocSudocFranceF

Propriétés asymptotiques des corps globaux

Deux parties principales constituent le sujet de cette thèse. La première partie est consacrée à l'étude des propriétés asymptotiques des fonctions zêta, des fonctions L, des corps globaux et des variétés sur ces corps. Dans le premier chapitre, nous démontrons une généralisation du théorème de Brauer-Siegel au cas des suites de corps presque normaux. Dans le deuxième chapitre, nous étudions le comportement asymptotique des dérivées logarithmiques des fonctions zêta dans des familles de corps globaux. Dans le troisième chapitre, nous donnons un panorama des généralisations du théorème de Brauer-Siegel classique. Dans le même chapitre nous démontrons une version du théorème de Brauer-Siegel pour les variétés sur les corps finis. Le quatrième chapitre est consacré à l'étude de la distribution des zéros des fonctions L des formes modulaires. Dans le cinquième chapitre, nous étudions des propriétès asymptotiques des familles de fonctions zêta et de fonctions L sur les corps finis dans le contexte des trois problèmes suivants : l'inégalité principale, les résultats de type Brauer-Siegel et la distribution des zéros. Le but de la deuxième partie est d'obtenir une caractérisation des jacobiennes parmi les variétés abéliennes principalement polarisées de dimension 3; ce qui fournit une réponse à une question de J.-P. Serre. Nous obtenons aussi une nouvelle démonstration de la formule de Klein qui relie une certaine forme modulaire de Siegel au discriminant des quartiques planes.There are two main parts in this thesis. The first part is devoted to the study of asymptotic properties of zeta functions, L-functions, global fields and varieties over these fields. In the first chapter, we prove a generalization of the Brauer-Siegel theorem to the case of families of almost normal number fields. In the second chapter, we study the asymptotic behaviour of the logarithmic derivatives of zeta functions in families of global fields. In the third, chapter we give an overview of possible generalizations of the classical Brauer-Siegel theorem. In the same chapter, we prove a version of the Brauer-Siegel theorem for varieties over finite fields. The fourth chapter is devoted to the study of the distribution of zeroes of L-functions of modular forms. In the fifth chapter, we study the asymptotic properties of families of zeta and L-functions over finite fields in the context of the following problems : the basic inequality, the results of the Brauer-Siegel type and the distribution of zeroes. The aim of the second part is to obtain a characterization of Jacobians among principally polarized abelian varieties of dimension 3; which gives an answer to a question asked by J.-P. Serre. We also obtain a new proof of Klein's formula which connects a certain Siegel modular form to the discriminant of plane quartics.AIX-MARSEILLE2-BU Sci.Luminy (130552106) / SudocSudocFranceF

Arithmetic, Geometry, and Coding Theory: Homage to Gilles Lachaud

21 pagesInternational audienceWe give an overview of several of the mathematical works of Gilles Lachaud and provide a historical context. This is interspersed with some personal anecdotes highlighting many facets of his personality

Sur quelques propriétés asymptotiques des corps globaux

Dans cette thèse nous étudions certains aspects des corps globaux infinis (CGI). Le premier chapitre est consacré aux propriétés de leurs invariants, à la notion de famille de corps globaux asymptotiquement bonne et à leur composita. Dans le second chapitre, on essaie de contrôler les invariants à travers leur support, montrant qu on peut imposer une condition d annulation ou de non annulation sur un ensemble prescrit quelconque d entre eux. On s intéresse également au défaut des CGI, montrant entre autre qu il est croissant pour l inclusion. Le troisième chapitre est l étude du théorème de Mertens généralisé et son lien avec le théorème de Brauer-Siegel généralisé. Montrant une version explicite du premier, on en déduit une version explicite du second sous l hypothèse de Riemann généralisée(GRH), et le retrouvant sans GRH.In this thesis we study several aspects of infinite global fields (IGF). The first chapter is devoted to elementary properties of their invariants, to the notion of asymptotically good families of global fields, and to their composita. In the second chapter we try to control the invariants through their support, proving that, given a finite set of invariants, we can construct an IGF having all this invariants equal to zero and another having all this invariants positive. We are also interested in the default of IGF, proving that it is increasing for inclusion of IGF. The third chapter is the study of Mertens theorem and its link to generalised Brauer Siegel theorem. Proving an explicit version of the first one, we deduce an explicit version of the second one under the Generalised Riemann Hypothesis (GRH), and recover it without GRHAIX-MARSEILLE2-BU Sci.Luminy (130552106) / SudocSudocFranceF