A Note on Rectangle Covering with Congruent Disks

In this note we prove that, if $S_n$ is the greatest area of a rectangle which can be covered with $n$ unit disks, then $2\leq S_n/n<3 \sqrt{3}/2$, and these are the best constants; moreover, for $\Delta(n):=(3\sqrt{3}/2)n-S_n$, we have $0.727384<\liminf\Delta(n)/\sqrt{n}<2.121321$ and $0.727384<\limsup\Delta(n)/\sqrt{n}<4.165064$.Comment: 8 pages, 3 figures, some corrections made in version

The density of numbers nn having a prescribed G.C.D. with the nnth Fibonacci number

For each positive integer $k$, let $\mathscr{A}_k$ be the set of all positive integers $n$ such that $\gcd(n, F_n) = k$, where $F_n$ denotes the $n$th Fibonacci number. We prove that the asymptotic density of $\mathscr{A}_k$ exists and is equal to $$\sum_{d = 1}^\infty \frac{\mu(d)}{\operatorname{lcm}(dk, z(dk))}$$ where $\mu$ is the M\"obius function and $z(m)$ denotes the least positive integer $n$ such that $m$ divides $F_n$. We also give an effective criterion to establish when the asymptotic density of $\mathscr{A}_k$ is zero and we show that this is the case if and only if $\mathscr{A}_k$ is empty

Probing the Surface of a Laccase for Clues towards the Design of Chemo-Enzymatic Catalysts

Systems featuring a multi-copper oxidase associated with transition-metal complexes can be used to perform oxidation reactions in mild conditions. Here, a strategy is presented for achieving a controlled orientation of a ruthenium–polypyridyl graft at the surface of a fungal laccase. Laccase variants are engineered with unique surface-accessible lysine residues. Distinct ruthenium–polypyridyl-modified laccases are obtained by the reductive alkylation of lysine residues precisely located relative to the T1 copper centre of the enzyme. In none of these hybrids does the presence of the graft compromise the catalytic efficiency of the enzyme on the substrate 2,2′-azino-bis(3-ethylbenzothiazoline-6-sulfonic acid). Furthermore, the efficiency of the hybrids in olefin oxidation coupled to the light-driven reduction of O2 is highly dependent on the location of the graft at the enzyme surface. Simulated RuII–CuII electron coupling values and distances fit well the observed reactivity and could be used to guide future hybrid designs.L.S. was the recipient of a MinistHre de l’Education Nationale fellowship. This study was supported by grants from the Agence Nationale de la Recherche (ANR-09-BLANC-0176 and ANR-15-CE07-0021-01) and from the Ministerio de EconomÍa, Industria y Competitividad (CTQ2016-79138-R). We thank Elise Courvoisier-Dezord from the Plateforme AVB (AMU): Analyse et Valorisation de la Biodiversit8 and Yolande Charmasson for help in the production of the recombinant enzymes, as well as Pascal Mansuelle and R8gine Lebrun from the Plateforme Prot8omique (CNRSAMU) for help in acquiring mass spectrometry data.Peer ReviewedPostprint (published version

The greatest common divisor of linear recurrences

We survey the existing theory on the greatest common divisor gcd(u_n,v_n) of two linear recurrence sequences (u_n)_n and (v_n)_n , with focus on recent development in the case where one of the two sequences is polynomial

Problèmes d’intersections improbables en arithmétique

In this thesis, we consider some problems, coming from the theory of unlikely intersections, that can be solved by mostly arithmetical means. In the first chapter, we consider a problem of André--Oort type whose non-effective proof was given by Pila and Tsimerman. Here we prove the effective n=3 case: that is, we bound the triples of singular moduli that are multiplicatively dependent. The proof combines a detailed analysis of archimedean properties of the j-invariant with Galois arguments. In the second chapter, we give a bound of Bugeaud--Corvaja--Zannier type for the algebraic group G_a x G_m; the proofs are elementary. In the third chapter, we come back to GC problems for algebraic groups, and we show the strong Ailon--Rudnick property for G_a x G_m. Then we consider the group G_a x E, E an elliptic curve, for which one can define a GCD sequence indexed by ideals of the complex multiplication ring. We show an analogous Ailon--Rudnick property for this generalized sequence. The proof combines elementary sieve arguments with the study of reductions of E modulo primes.Dans cette thèse on considère quelques problèmes provenant dela théorie des intersections improbables qui peuvent être résolus avecdes méthodes principalement arithmétiques. Dans le premier chapitre,on considère un problème de type André-Oort dont la preuvenon-effective a été donnée par Pila et Tsimerman. Ici on démontre lecas n=3 effectif de leur théorème en bornant les triplets de modulessinguliers qui sont multiplicativement dépendants. La démonstrationcombine une analyse détaillée des propriétés archimédiennes duj-invariant avec des arguments galoisiens pour établir une relationlinéaire entre les exposants. Dans le deuxième chapitre, on donne uneborne de type Bugeaud-Corvaja-Zannier pour le groupe algébrique G_a xG_m dont la preuve est élémentaire. Dans le troisième chapitre, oncontinue l'étude des problèmes de PGCD pour les groupes algébriques,et on montre la propriété d'Ailon-Rudnick forte pour G_a x G_m. Onconsidère ensuite le groupe G_a x E où E est une courbe elliptique,pour lequel on peut définir une suite de PGCD indexée par les idéauxde l'anneau de multiplication complexe. On démontre une propriété deAilon-Rudnick analogue pour cette suite généralisée. La preuve combinedes arguments élémentaires de crible avec l'étude des réductions de E

Problems of unlikely intersections in arithmetic

Dans cette thèse on considère quelques problèmes provenant dela théorie des intersections improbables qui peuvent être résolus avecdes méthodes principalement arithmétiques. Dans le premier chapitre,on considère un problème de type André-Oort dont la preuvenon-effective a été donnée par Pila et Tsimerman. Ici on démontre lecas n=3 effectif de leur théorème en bornant les triplets de modulessinguliers qui sont multiplicativement dépendants. La démonstrationcombine une analyse détaillée des propriétés archimédiennes duj-invariant avec des arguments galoisiens pour établir une relationlinéaire entre les exposants. Dans le deuxième chapitre, on donne uneborne de type Bugeaud-Corvaja-Zannier pour le groupe algébrique G_a xG_m dont la preuve est élémentaire. Dans le troisième chapitre, oncontinue l'étude des problèmes de PGCD pour les groupes algébriques,et on montre la propriété d'Ailon-Rudnick forte pour G_a x G_m. Onconsidère ensuite le groupe G_a x E où E est une courbe elliptique,pour lequel on peut définir une suite de PGCD indexée par les idéauxde l'anneau de multiplication complexe. On démontre une propriété deAilon-Rudnick analogue pour cette suite généralisée. La preuve combinedes arguments élémentaires de crible avec l'étude des réductions de E.In this thesis, we consider some problems, coming from the theory of unlikely intersections, that can be solved by mostly arithmetical means. In the first chapter, we consider a problem of André--Oort type whose non-effective proof was given by Pila and Tsimerman. Here we prove the effective n=3 case: that is, we bound the triples of singular moduli that are multiplicatively dependent. The proof combines a detailed analysis of archimedean properties of the j-invariant with Galois arguments. In the second chapter, we give a bound of Bugeaud--Corvaja--Zannier type for the algebraic group G_a x G_m; the proofs are elementary. In the third chapter, we come back to GC problems for algebraic groups, and we show the strong Ailon--Rudnick property for G_a x G_m. Then we consider the group G_a x E, E an elliptic curve, for which one can define a GCD sequence indexed by ideals of the complex multiplication ring. We show an analogous Ailon--Rudnick property for this generalized sequence. The proof combines elementary sieve arguments with the study of reductions of E modulo primes

Problèmes d’intersections improbables en arithmétique

Dans cette thèse on considère quelques problèmes provenant dela théorie des intersections improbables qui peuvent être résolus avecdes méthodes principalement arithmétiques. Dans le premier chapitre,on considère un problème de type André-Oort dont la preuvenon-effective a été donnée par Pila et Tsimerman. Ici on démontre lecas n=3 effectif de leur théorème en bornant les triplets de modulessinguliers qui sont multiplicativement dépendants. La démonstrationcombine une analyse détaillée des propriétés archimédiennes duj-invariant avec des arguments galoisiens pour établir une relationlinéaire entre les exposants. Dans le deuxième chapitre, on donne uneborne de type Bugeaud-Corvaja-Zannier pour le groupe algébrique G_a xG_m dont la preuve est élémentaire. Dans le troisième chapitre, oncontinue l'étude des problèmes de PGCD pour les groupes algébriques,et on montre la propriété d'Ailon-Rudnick forte pour G_a x G_m. Onconsidère ensuite le groupe G_a x E où E est une courbe elliptique,pour lequel on peut définir une suite de PGCD indexée par les idéauxde l'anneau de multiplication complexe. On démontre une propriété deAilon-Rudnick analogue pour cette suite généralisée. La preuve combinedes arguments élémentaires de crible avec l'étude des réductions de E.In this thesis, we consider some problems, coming from the theory of unlikely intersections, that can be solved by mostly arithmetical means. In the first chapter, we consider a problem of André--Oort type whose non-effective proof was given by Pila and Tsimerman. Here we prove the effective n=3 case: that is, we bound the triples of singular moduli that are multiplicatively dependent. The proof combines a detailed analysis of archimedean properties of the j-invariant with Galois arguments. In the second chapter, we give a bound of Bugeaud--Corvaja--Zannier type for the algebraic group G_a x G_m; the proofs are elementary. In the third chapter, we come back to GC problems for algebraic groups, and we show the strong Ailon--Rudnick property for G_a x G_m. Then we consider the group G_a x E, E an elliptic curve, for which one can define a GCD sequence indexed by ideals of the complex multiplication ring. We show an analogous Ailon--Rudnick property for this generalized sequence. The proof combines elementary sieve arguments with the study of reductions of E modulo primes

The efficiency of preventive restructuring procedures: evidence from France

The paper evaluates the EU's Directive on restructuring and insolvency law, comparing the effectiveness of preventive restructurings with standard bankruptcies, finding that while preventive restructurings lead to higher survival rates, they also result in worse financial performance, challenging the notion that early restructuring is uniformly beneficial and highlighting the need for careful design of such procedures to avoid enabling non-viable firms to persist

Politics and Image

This volume on Politics and Image aims to provide a basis for reflection within the framework of Political Philosophy on the central role of the image in the current political landscape. However, this does not exempt the history of thought and other related academic disciplines from issuing their verdicts on this old dilemma between ideas and action. If the most visible face of this meeting is located in the territory Political Communication, the background rests on the concepts that ground our reality, dispersed and hidden, in the multiple screens that mediate life