Синтез та класифікація періодичних траєкторій руху вантажу хитної пружини

The study of possibilities of geometric modeling of non-chaotic periodic paths of motion of a load of a swinging spring and its variants has been continued. In literature, a swinging spring is considered as a kind of mathematical pendulum which consists of a point load attached to a massless spring. The second end of the spring is fixed motionless. Pendular oscillations of the spring in a vertical plane are considered in conditions of maintaining straightness of its axis. The searched path of the spring load was modeled using Lagrange second-degree equations.Urgency of the topic is determined by the need to study conditions of dissociation from chaotic oscillations of elements of mechanical structures including springs, namely definition of rational parameter values to provide periodic paths of their oscillations. Swinging springs can be used as mechanical illustrations in the study of complex technological processes of dynamic systems when nonlinearly coupled oscillatory components of the system exchange energy with each other.The obtained results make it possible to add periodic curves as «parameters» in a graphic form to the list of numerical parameters of the swinging spring. That is, to determine numerical values of the parameters that would ensure existence of a predetermined form of the periodic path of motion of the spring load. An example of calculation of the load mass was considered based on the known stiffness of the spring, its length without load, initial conditions of initialization of oscillations as well as (attention!) the form of periodic path of this load. Periodic paths of the load motion for the swinging spring modifications (such as suspension to the movable carriage whose axis coincides with the mathematical pendulum) and two swinging springs with a common moving load and with different mounting points were obtained.The obtained results are illustrated by computer animation of oscillations of corresponding swinging springs and their varieties.The results can be used as a paradigm for studying nonlinear coupled systems as well as for calculation of variants of mechanical devices where springs influence oscillation of their elements and in cases when it is necessary to separate from chaotic motions of loads and provide periodic paths of their motion in technologies using mechanical devicesПродолжено исследования возможностей геометрического моделирования нехаотических периодических траекторий движения груза качающейся пружины и ее разновидностей. В литературе качающейся пружиной (swinging spring) называют разновидность математического маятника, состоящего из точечного груза, присоединенного к невесомой пружине. Второй конец пружины фиксируется неподвижно. Рассматриваются маятниковые колебания пружины в вертикальной плоскости при условии сохранения прямолинейности ее оси. Искомая траектория груза качающейся пружины моделируется с использованием уравнений Лагранжа второго рода.Актуальность темы определяется необходимостью исследования условий отмежевания от хаотичных колебаний элементов механических конструкций, в состав которых входят пружины, а именно определения рациональных значений параметров для обеспечения периодических траекторий их колебаний. Качающиеся пружины можно использовать как механические иллюстрации при исследовании сложных технологических процессов динамических систем, когда нелинейно связанные колебательные компоненты системы обмениваются энергией между собой.Полученные результаты позволяют приобщить к перечню числовых параметров качающейся пружины еще и периодические кривые как "параметры" в графической форме. Т. е. определить числовые значения параметров, которые бы обеспечили существование заведомо заданной формы периодической траектории движения груза качающейся пружины. Рассмотрен пример вычисления массы груза по известным жесткости пружины, ее длине без нагрузки, начальным условиям инициализации колебаний, а также (внимание) форме периодической траектории этого груза. Получены периодические траектории движения груза для модификаций качающейся пружины,, таких как подвешенной к подвижной тележке, ось которой совпадает с математическим маятником. А также двух качающихся пружин с общим подвижным грузом и с разными точками крепления.Полученные результаты проиллюстрированы компьютерными анимациями колебаний соответствующих качающихся пружин и их разновидностей.Результаты можно использовать как парадигму для изучения нелинейных связанных систем, а также при расчетах вариантов механических устройств, где пружины влияют на колебание их элементов. А также в случаях, когда в технологиях использования механических устройств необходимо отмежеваться от хаотичных перемещений грузов и обеспечить периодические траектории их движенияПродовжено дослідження можливостей геометричного моделювання нехаотичних періодичних траєкторій руху вантажу хитної пружини та її різновидів. В літературі хитною пружиною (swinging spring) називають різновид математичного маятника, який складається з точкового вантажу, приєднаного до невагомої пружини. Другий кінець пружини фіксується нерухомо. Розглядаються маятникові коливання пружини у вертикальній площині за умови збереження прямолінійності її осі. Шукана траєкторія вантажу хитної пружини моделюється з використанням рівнянь Лагранжа другого роду.Актуальність теми визначається необхідністю дослідження умов відмежування від хаотичних коливань елементів механічних конструкцій, до складу яких входять пружини, а саме визначення раціональних значень параметрів для забезпечення періодичних траєкторій їх коливань. Хитні пружини можна використати як механічні ілюстрації при дослідженні складних технологічних процесів динамічних систем, коли нелінійно зв'язані коливальні компоненти системи обмінюються енергією між собою.Одержані результати дозволяють долучити до переліку числових параметрів хитної пружини ще й періодичні криві як "параметри" в графічній формі. Тобто визначити числові значення параметрів, які б забезпечили існування наперед заданої форми періодичної траєкторії руху вантажу хитної пружини. Розглянуто приклад обчислення маси вантажу за відомими жорсткістю пружини, її довжиною без навантаження, початковими умовами ініціалізації коливань, а також (увага) формою періодичної траєкторії цього вантажу. Одержано періодичні траєкторії руху вантажу для модифікацій хитної пружини - таких як підвішеної до рухомого візка і вісь якої збігається з математичним маятником. А також двох хитних пружин зі спільним рухомим вантажем і з різними точками кріплення.Одержані результати проілюстровано комп'ютерними анімаціями коливань відповідних хитних пружин та їх різновидів.Результати можна використати як парадигму для вивчення нелінійних зв'язаних систем, а також при розрахунках варіантів механічних пристроїв, де пружини впливають на коливання їх елементів. А також у випадках, коли в технологіях використання механічних пристроїв необхідно відмежуватися від хаотичних переміщень вантажів і забезпечити періодичні траєкторії їх рух

Встановлення залежності показника міцності композитного матеріалу напірних пожежних рукавів від характеру одиночних пошкоджень

Experimental studies are presented and the dependence of the change in the strength of the material of a pressure head fire hose of type T with an inner diameter of 77 mm in the longitudinal direction is established, taking into account single damages. The work describes the plan of the experiment and carried out a number of field experiments to determine the effect of the length ld and the depth K damage on the strength F of the hose material, that is, obtaining the dependence F=f (ld, K). A mathematical method of experiment planning was used and a plan was drawn up for a complete multivariate experiment of type 2k with an acceptable model accuracy of 5 %. The limits of variation of the factors are set taking into account a priori information, experimental capabilities and on the basis of the results of preliminary search experiments. The dependence in the coded and natural values of the factors is obtained. The reliability of the relationship was checked using the Fisher test, the calculated value of which was 5.98, which confirms the adequacy of the described process with a probability of 95 %. Analyzing experimental studies of the dependence of the change in the strength of the hose material on the length and depth of damage, it can be said that the change in the strength of the hose almost linearly depends on the specified damage parameters. It is found that with increasing damage, the strength of the hose material significantly decreases. When varying the length factor and the greatest depth of damage, K=0.4 mm, the strength of the hose material decreases from 11.67 kN to 8.77 kN, and in percentage terms by 25 %. The results obtained can be used in practical units of emergency rescue teams, when diagnosing hidden damage in pressure head fire hoses in order to prevent their failure in case of firesПредставлены экспериментальные исследования и установлена зависимость изменения прочности материала напорного пожарного рукава типа Т с внутренним диаметром 77 мм в продольном направлении с учетом одиночных повреждений. В работе описан план проведения эксперимента и проведен ряд натурных экспериментов с целью определения влияния длины lд и глубины К повреждение на прочность F материала рукава, то есть получение зависимости F=f (lд, K). Использован математический метод планирования эксперимента и составлен план полного многофакторного эксперимента типа 2k с допустимой точностью модели 5 %. Пределы варьирования факторов устанавливаются с учетом априорной информации, экспериментальных возможностей и на основе результатов предварительных поисковых экспериментов. Получена зависимость в кодированных и натурных значениях факторов. Достоверность зависимости было проверено с помощью критерия Фишера, расчетное значение которого составляло 5,98, что подтверждает адекватность описанного процесса с вероятностью в 95 %. Анализируя экспериментальные исследования зависимости изменения прочности материала рукава от длины и глубины повреждения, можно сказать, что изменение прочности рукава почти линейно зависит от указанных параметров повреждения. Установлено, что при увеличении повреждения существенно уменьшается прочность материала рукава. При варьировании фактора длины и наибольшей глубине повреждения, К=0.4 мм, происходит уменьшение прочности материала рукава от 11.67 кН до 8.77 кН, а в процентном отношении на 25 %. Полученные результаты можно использовать в практических подразделениях аварийно-спасательных формирований, при диагностировании скрытых повреждений в напорных пожарных рукавах с целью предотвращения их выхода из строя на пожарах.Представлені експериментальні дослідження та встановлено залежність зміни міцності матеріалу напірного пожежного рукава типу «Т» з внутрішнім діаметром 77 мм у поздовжньому напрямку з урахуванням одиночних пошкоджень. Описано план проведення експерименту та було проведено низку натурних експериментів з метою визначення впливу довжини lд та глибини К пошкодження на міцність F матеріалу рукава, тобто одержання залежності F=f (lд, K). Використано математичний метод планування експерименту та складено план повного багатофакторного експерименту типу 2k з допустимою точністю моделі 5 %. Межі варіювання факторів встановлюються з урахуванням апріорної інформації, експериментальних можливостей і на основі результатів попередніх пошукових експериментів. Отримано залежність в кодованих та натурних значеннях факторів. Достовірність залежності було перевірено за допомогою критерію Фішера розрахункове значення якого становило 5,98, що підтверджує адекватність описаного процесу з вірогідністю в 95 %. Аналізуючи експериментальні дослідження залежності зміни міцності матеріалу рукава від довжини та глибини пошкодження можна сказати, що зміна міцність матеріалу рукава майже лінійно залежить від зазначених параметрів пошкодження. Встановлено, що при збільшені пошкодження суттєво зменшується міцність матеріалу рукава. При варіюванні фактору довжини та найбільшій глибині пошкодження К=0.4 мм відбувається зменшення міцності матеріалу рукава від 11.67 кН до 8.77 кН, а в процентному відношенні на 25 %. Отримані результати можливо використовувати в практичних підрозділах аварійно-рятувальних формувань при діагностуванні прихованих пошкоджень у напірних пожежних рукавах з метою запобігання виходу їх з ладу на пожежах

Синтез та класифікація періодичних траєкторій руху вантажу хитної пружини

The study of possibilities of geometric modeling of non-chaotic periodic paths of motion of a load of a swinging spring and its variants has been continued. In literature, a swinging spring is considered as a kind of mathematical pendulum which consists of a point load attached to a massless spring. The second end of the spring is fixed motionless. Pendular oscillations of the spring in a vertical plane are considered in conditions of maintaining straightness of its axis. The searched path of the spring load was modeled using Lagrange second-degree equations.Urgency of the topic is determined by the need to study conditions of dissociation from chaotic oscillations of elements of mechanical structures including springs, namely definition of rational parameter values to provide periodic paths of their oscillations. Swinging springs can be used as mechanical illustrations in the study of complex technological processes of dynamic systems when nonlinearly coupled oscillatory components of the system exchange energy with each other.The obtained results make it possible to add periodic curves as «parameters» in a graphic form to the list of numerical parameters of the swinging spring. That is, to determine numerical values of the parameters that would ensure existence of a predetermined form of the periodic path of motion of the spring load. An example of calculation of the load mass was considered based on the known stiffness of the spring, its length without load, initial conditions of initialization of oscillations as well as (attention!) the form of periodic path of this load. Periodic paths of the load motion for the swinging spring modifications (such as suspension to the movable carriage whose axis coincides with the mathematical pendulum) and two swinging springs with a common moving load and with different mounting points were obtained.The obtained results are illustrated by computer animation of oscillations of corresponding swinging springs and their varieties.The results can be used as a paradigm for studying nonlinear coupled systems as well as for calculation of variants of mechanical devices where springs influence oscillation of their elements and in cases when it is necessary to separate from chaotic motions of loads and provide periodic paths of their motion in technologies using mechanical devicesПродолжено исследования возможностей геометрического моделирования нехаотических периодических траекторий движения груза качающейся пружины и ее разновидностей. В литературе качающейся пружиной (swinging spring) называют разновидность математического маятника, состоящего из точечного груза, присоединенного к невесомой пружине. Второй конец пружины фиксируется неподвижно. Рассматриваются маятниковые колебания пружины в вертикальной плоскости при условии сохранения прямолинейности ее оси. Искомая траектория груза качающейся пружины моделируется с использованием уравнений Лагранжа второго рода.Актуальность темы определяется необходимостью исследования условий отмежевания от хаотичных колебаний элементов механических конструкций, в состав которых входят пружины, а именно определения рациональных значений параметров для обеспечения периодических траекторий их колебаний. Качающиеся пружины можно использовать как механические иллюстрации при исследовании сложных технологических процессов динамических систем, когда нелинейно связанные колебательные компоненты системы обмениваются энергией между собой.Полученные результаты позволяют приобщить к перечню числовых параметров качающейся пружины еще и периодические кривые как "параметры" в графической форме. Т. е. определить числовые значения параметров, которые бы обеспечили существование заведомо заданной формы периодической траектории движения груза качающейся пружины. Рассмотрен пример вычисления массы груза по известным жесткости пружины, ее длине без нагрузки, начальным условиям инициализации колебаний, а также (внимание) форме периодической траектории этого груза. Получены периодические траектории движения груза для модификаций качающейся пружины,, таких как подвешенной к подвижной тележке, ось которой совпадает с математическим маятником. А также двух качающихся пружин с общим подвижным грузом и с разными точками крепления.Полученные результаты проиллюстрированы компьютерными анимациями колебаний соответствующих качающихся пружин и их разновидностей.Результаты можно использовать как парадигму для изучения нелинейных связанных систем, а также при расчетах вариантов механических устройств, где пружины влияют на колебание их элементов. А также в случаях, когда в технологиях использования механических устройств необходимо отмежеваться от хаотичных перемещений грузов и обеспечить периодические траектории их движенияПродовжено дослідження можливостей геометричного моделювання нехаотичних періодичних траєкторій руху вантажу хитної пружини та її різновидів. В літературі хитною пружиною (swinging spring) називають різновид математичного маятника, який складається з точкового вантажу, приєднаного до невагомої пружини. Другий кінець пружини фіксується нерухомо. Розглядаються маятникові коливання пружини у вертикальній площині за умови збереження прямолінійності її осі. Шукана траєкторія вантажу хитної пружини моделюється з використанням рівнянь Лагранжа другого роду.Актуальність теми визначається необхідністю дослідження умов відмежування від хаотичних коливань елементів механічних конструкцій, до складу яких входять пружини, а саме визначення раціональних значень параметрів для забезпечення періодичних траєкторій їх коливань. Хитні пружини можна використати як механічні ілюстрації при дослідженні складних технологічних процесів динамічних систем, коли нелінійно зв'язані коливальні компоненти системи обмінюються енергією між собою.Одержані результати дозволяють долучити до переліку числових параметрів хитної пружини ще й періодичні криві як "параметри" в графічній формі. Тобто визначити числові значення параметрів, які б забезпечили існування наперед заданої форми періодичної траєкторії руху вантажу хитної пружини. Розглянуто приклад обчислення маси вантажу за відомими жорсткістю пружини, її довжиною без навантаження, початковими умовами ініціалізації коливань, а також (увага) формою періодичної траєкторії цього вантажу. Одержано періодичні траєкторії руху вантажу для модифікацій хитної пружини - таких як підвішеної до рухомого візка і вісь якої збігається з математичним маятником. А також двох хитних пружин зі спільним рухомим вантажем і з різними точками кріплення.Одержані результати проілюстровано комп'ютерними анімаціями коливань відповідних хитних пружин та їх різновидів.Результати можна використати як парадигму для вивчення нелінійних зв'язаних систем, а також при розрахунках варіантів механічних пристроїв, де пружини впливають на коливання їх елементів. А також у випадках, коли в технологіях використання механічних пристроїв необхідно відмежуватися від хаотичних переміщень вантажів і забезпечити періодичні траєкторії їх рух

Розробка проекційного способу визначення нехаотичних траєкторій коливань консервативних маятникових систем

We developed a technique to determine the non-chaotic oscillations of loads in the conservative pendulum systems by using the graphic technology of projection focusing. In this case, phase trajectories of the differential equations of oscillation are considered as projections of integral curves from the phase space onto the phase plane. The effect exerted by the value of one of the system's parameters on the image of phase trajectories was examined (at stable values of other parameters). By using projection focusing, the element that defines the critical value of variable parameter is selected among a family of phase trajectories, which, in a combination with other parameters, allows us to describe a non-chaotic trajectory in the load motion.The need for such studies is predetermined by the absence, in practice, of an engineering method for computing the non-chaotic trajectory of the load motion for a certain pendulum system.We proposed the notion of a focus-line of the parametric family of curves and the technique of projection focusing, which is based on it. We constructed integral curves in the phase space based on the numerical solution of second order Lagrange differential equations. A procedure is presented to determine the critical value of pendulum oscillation parameter by using the graphic notion of projection focusing of phase trajectories in the solutions of second order Lagrange differential equations. The examples are presented of determining the parameters of certain pendulums, which would provide for the non-chaotic trajectory of the load oscillations.The developed computerized projection technique for the simulation of oscillations in the pendulum mechanical systems makes it possible to choose the required values of parameters and initial conditions for initiating the oscillations, which provide for the non-chaotic technological character of oscillation trajectory of their elements, which is important for the practical implementation in the designs of pendulum systems. Приведен способ определения нехаотических траекторий колебания грузов консервативных маятниковых систем при помощи графической технологии проекционного фокусирования. При этом фазовые траектории дифференциальных уравнений колебаний Лагранжа второго рода рассматриваются как проекции интегральных кривых из фазового пространства на фазовую плоскость. Приведены примеры вычисления нехаотических траекторий некоторых маятниковых системНаведено спосіб визначення нехаотичних траєкторій коливання вантажів консервативних маятникових систем за допомогою графічної технології проекційного фокусування. При цьому фазові траєкторії диференціальних рівнянь коливань Лагранжа другого роду розглядаються як проекції інтегральних кривих з фазового простору на фазову площину. Наведено приклади обчислення нехаотичних траєкторій деяких маятникових систе

Розробка проекційного способу визначення нехаотичних траєкторій коливань консервативних маятникових систем

We developed a technique to determine the non-chaotic oscillations of loads in the conservative pendulum systems by using the graphic technology of projection focusing. In this case, phase trajectories of the differential equations of oscillation are considered as projections of integral curves from the phase space onto the phase plane. The effect exerted by the value of one of the system's parameters on the image of phase trajectories was examined (at stable values of other parameters). By using projection focusing, the element that defines the critical value of variable parameter is selected among a family of phase trajectories, which, in a combination with other parameters, allows us to describe a non-chaotic trajectory in the load motion.The need for such studies is predetermined by the absence, in practice, of an engineering method for computing the non-chaotic trajectory of the load motion for a certain pendulum system.We proposed the notion of a focus-line of the parametric family of curves and the technique of projection focusing, which is based on it. We constructed integral curves in the phase space based on the numerical solution of second order Lagrange differential equations. A procedure is presented to determine the critical value of pendulum oscillation parameter by using the graphic notion of projection focusing of phase trajectories in the solutions of second order Lagrange differential equations. The examples are presented of determining the parameters of certain pendulums, which would provide for the non-chaotic trajectory of the load oscillations.The developed computerized projection technique for the simulation of oscillations in the pendulum mechanical systems makes it possible to choose the required values of parameters and initial conditions for initiating the oscillations, which provide for the non-chaotic technological character of oscillation trajectory of their elements, which is important for the practical implementation in the designs of pendulum systems. Приведен способ определения нехаотических траекторий колебания грузов консервативных маятниковых систем при помощи графической технологии проекционного фокусирования. При этом фазовые траектории дифференциальных уравнений колебаний Лагранжа второго рода рассматриваются как проекции интегральных кривых из фазового пространства на фазовую плоскость. Приведены примеры вычисления нехаотических траекторий некоторых маятниковых системНаведено спосіб визначення нехаотичних траєкторій коливання вантажів консервативних маятникових систем за допомогою графічної технології проекційного фокусування. При цьому фазові траєкторії диференціальних рівнянь коливань Лагранжа другого роду розглядаються як проекції інтегральних кривих з фазового простору на фазову площину. Наведено приклади обчислення нехаотичних траєкторій деяких маятникових систе

Establishment of the Dependence of the Strength Indicator of the Composite Material of Pressure Hoses on the Character of Single Damages

Experimental studies are presented and the dependence of the change in the strength of the material of a pressure head fire hose of type T with an inner diameter of 77 mm in the longitudinal direction is established, taking into account single damages. The work describes the plan of the experiment and carried out a number of field experiments to determine the effect of the length ld and the depth K damage on the strength F of the hose material, that is, obtaining the dependence F=f (ld, K). A mathematical method of experiment planning was used and a plan was drawn up for a complete multivariate experiment of type 2k with an acceptable model accuracy of 5 %. The limits of variation of the factors are set taking into account a priori information, experimental capabilities and on the basis of the results of preliminary search experiments. The dependence in the coded and natural values of the factors is obtained. The reliability of the relationship was checked using the Fisher test, the calculated value of which was 5.98, which confirms the adequacy of the described process with a probability of 95 %. Analyzing experimental studies of the dependence of the change in the strength of the hose material on the length and depth of damage, it can be said that the change in the strength of the hose almost linearly depends on the specified damage parameters. It is found that with increasing damage, the strength of the hose material significantly decreases. When varying the length factor and the greatest depth of damage, K=0.4 mm, the strength of the hose material decreases from 11.67 kN to 8.77 kN, and in percentage terms by 25 %. The results obtained can be used in practical units of emergency rescue teams, when diagnosing hidden damage in pressure head fire hoses in order to prevent their failure in case of fire