Boolean functions minimization by the method of figurative transformations

The object of research is the method of figurative transformations for Boolean functions minimization. One of the most problematic places to minimize Boolean functions is the complexity of the minimization algorithm and the guarantee of obtaining a minimal function. During the study, the method of equivalent figurative transformations was used, which is based on the laws and axioms of the algebra of logic; minimization protocols for Boolean functions that are used when the truth table of a given function has a complete binary combinatorial system with repetition or an incomplete binary combinatorial system with repetition. A reduction in the complexity of the minimization process for Boolean functions is obtained, new criteria for finding minimal functions are established. This is due to the fact that the proposed method of Boolean functions minimization has a number of peculiarities of solving the problem of finding minimal logical functions, in particular: – mathematical apparatus of the block diagram with repetition makes it possible to obtain more information about the orthogonality, adjacency, uniqueness of the truth table blocks; – equivalent figurative transformations due to the greater information capacity are capable of replacing verbal procedures of algebraic transformations; – result of minimization is estimated based on the sign of the minimum function; – minimum DNF or CNF functions are obtained regardless of the given normal form of the logical function, which means that it is necessary to minimize the given function for two normal forms — DNF and CNF using the full truth table; This ensures that it is possible to obtain an optimal reduction in the number of variables of a given function without losing its functionality. The effectiveness of the use of equivalent figurative transformations for Boolean functions minimization is demonstrated by examples of minimization of functions borrowed from other methods for the purpose of comparison. Compared with similar well-known methods of Boolean functions minimization, this provides: – less complexity of the minimization procedure for Boolean functions; – guaranteed Boolean functions minimization; – self-sufficiency of the specified method of Boolean functions minimization due to the introduction of features of the minimal function and minimization of two normal forms – DNF and CNF on the complete truth table of a given Boolean functio

Оптимізація ациклічних суматорів бінарних кодів

The object of research is a prefix model for calculating adding and transport signals in a parallel adder circuit with a parallel transfer method. One of the most problematic places in the prefix model is the process of generating adding and carry signals, in which the beginning of the prefix calculation is provided from the first bit of the circuit. This leads, in the end, to excessive accumulation and complications of the hardware part of the device.In the course of the research, a mathematical model is used to calculate the adding and carry signals in a parallel adder circuit based on the properties of a directed acyclic graph with two typical operations.The complexity of the logical structure of the adder of binary codes is reduced, the depth of the circuit is reduced and the total length of the connecting wires is reduced. This is due to the fact that the proposed method for calculating adding and transport signals has a number of features of the device circuit synthesis, in particular, the application of a mathematical model based on the properties of an acyclic graph is calculated for:process of sequential (for lower order devices) and parallel calculation of adding and carry signals, which, in the end, reduces the complexity of the hardware of the device and does not increase the depth of the circuit;comparison of the number of computational steps of an oriented acyclic graph with the number of transfers of one to the high-order bit in the adder circuit, which allows to determine the optimal number of computational steps for the structure of the device.Due to this, it is possible to obtain optimal values for the complexity of the structure and the depth of the adder circuit. The connection between the number of computational steps of an oriented acyclic graph and the number of transfers in the parallel adder circuit with a parallel transport method indicates the expediency of comparing the structure of the adder with the corresponding oriented acyclic graph.In comparison with similar known structures of 8-bit prefix adders, this provides an increase in the quality index of 8-bit acyclic adders, for example, by power consumption, the chip area, depending on the chosen structure, by 10–40 %.Объектом исследования является префиксная модель вычисления сигналов суммы и переноса в схеме параллельного сумматора с параллельным способом переноса. Одним из наиболее проблемных мест префиксной модели является процесс вырабатывания сигналов суммы и переноса, в котором начало вычисления префикса предусмотрено с первого разряда схемы. Это приводит, в результате, к излишнему нагромождению и усложнению аппаратной части устройства.В ходе исследования использовалась математическая модель вычисления сигналов суммы и переноса в схеме параллельного сумматора, который основывается на свойствах направленного ациклического графа с двумя типовыми операциями. Получено уменьшение сложности логической структуры сумматора бинарных кодов, уменьшение глубины схемы, а также уменьшение общей протяжённости соединительных проводов. Это связано с тем, что предложенный метод вычисления сигналов суммы и переноса имеет ряд особенностей синтеза схемы устройства, в частности применение математической модели, которая основывается на свойствах ациклического графа, рассчитан на:процесс последовательного (для младших разрядов схемы устройства) и параллельного вычисления сигналов суммы и переноса, что, в итоге, даёт уменьшение сложности аппаратной части устройства и не увеличивает глубину схемы;сопоставление числа вычислительных шагов ориентированного ациклического графа с числом переноса единицы к старшому разряду в схеме сумматора, что позволяет устанавливать оптимальное число вычислительных шагом для структуры устройства.Благодаря этому обеспечивается возможность получения оптимальных значений показателей сложности структуры и глубины схемы сумматора. Связь между числом вычислительных шагов ориентированного ациклического графа и числом переноса в схеме параллельного сумматора с параллельным способом переноса указывает на целесообразность сопоставления структуры сумматора с соответствующим ориентированным ациклическим графом.В сравнении с аналогами известными структурами 8-bit префиксных сумматоров это обеспечивает увеличение показателя качества 8-bit ациклических сумматоров, например, по энергопотреблению, размерами чипа, в зависимости от выбранной структуры, на 10–40 %.Об'єктом дослідження є префіксна модель обчислення сигналів суми і перенесення у схемі паралельного суматора з паралельним способом перенесення. Одним з найбільш проблемних місць префіксної моделі є процес вироблення сигналів суми і перенесення, у якому початок обчислення префікса передбачено з першого розряду схеми. Це приводить, у підсумку, до надлишкового нагромадження і ускладнення апаратної частини пристрою.У ході дослідження використовувалась математична модель обчислення сигналів суми і перенесення у схемі паралельного суматора, що ґрунтується на властивостях направленого ациклічного графа з двома типовими операціями.Отримано зменшення складності логічної структури суматора бінарних кодів, зменшення глибини схеми та зменшення загальної протяжності з’єднувальних проводів. Це пов'язано з тим, що запропонований метод обчислення сигналів суми і перенесення має ряд особливостей синтезу схеми пристрою, зокрема застосування математичної моделі, що ґрунтується на властивостях ациклічного графа, розраховано на:процес послідовного (для молодших розрядів схеми пристрою) і паралельного обчислення сигналів суми і перенесення, що, у підсумку, дає зменшення складності апаратної частини пристрою та не збільшує глибину схеми;співставлення числа обчислювальних кроків орієнтованого ациклічного графа з числом перенесень одиниці до старшого розряду у схемі суматора, що дозволяє встановлювати оптимальне число обчислювальних кроків для структури пристрою.Завдяки цьому забезпечується можливість отримання оптимальних значень показників складності структури та глибини схеми суматора. Зв’язок між числом обчислювальних кроків орієнтованого ациклічного графа і числом перенесень у схемі паралельного суматора з паралельним способом перенесення вказує на доцільність співставлення структури суматора з відповідним орієнтованим ациклічним графом.У порівнянні з аналогічними відомими структурами 8-bit префіксних суматорів це забезпечує збільшення показника якості 8-bit ациклічних суматорів, наприклад, за енергоспоживанням, площею чіпа, у залежності від обраної структури, на 10–40 %

Оптимізація ациклічних суматорів бінарних кодів

The object of research is a prefix model for calculating adding and transport signals in a parallel adder circuit with a parallel transfer method. One of the most problematic places in the prefix model is the process of generating adding and carry signals, in which the beginning of the prefix calculation is provided from the first bit of the circuit. This leads, in the end, to excessive accumulation and complications of the hardware part of the device.In the course of the research, a mathematical model is used to calculate the adding and carry signals in a parallel adder circuit based on the properties of a directed acyclic graph with two typical operations.The complexity of the logical structure of the adder of binary codes is reduced, the depth of the circuit is reduced and the total length of the connecting wires is reduced. This is due to the fact that the proposed method for calculating adding and transport signals has a number of features of the device circuit synthesis, in particular, the application of a mathematical model based on the properties of an acyclic graph is calculated for:process of sequential (for lower order devices) and parallel calculation of adding and carry signals, which, in the end, reduces the complexity of the hardware of the device and does not increase the depth of the circuit;comparison of the number of computational steps of an oriented acyclic graph with the number of transfers of one to the high-order bit in the adder circuit, which allows to determine the optimal number of computational steps for the structure of the device.Due to this, it is possible to obtain optimal values for the complexity of the structure and the depth of the adder circuit. The connection between the number of computational steps of an oriented acyclic graph and the number of transfers in the parallel adder circuit with a parallel transport method indicates the expediency of comparing the structure of the adder with the corresponding oriented acyclic graph.In comparison with similar known structures of 8-bit prefix adders, this provides an increase in the quality index of 8-bit acyclic adders, for example, by power consumption, the chip area, depending on the chosen structure, by 10–40 %.Объектом исследования является префиксная модель вычисления сигналов суммы и переноса в схеме параллельного сумматора с параллельным способом переноса. Одним из наиболее проблемных мест префиксной модели является процесс вырабатывания сигналов суммы и переноса, в котором начало вычисления префикса предусмотрено с первого разряда схемы. Это приводит, в результате, к излишнему нагромождению и усложнению аппаратной части устройства.В ходе исследования использовалась математическая модель вычисления сигналов суммы и переноса в схеме параллельного сумматора, который основывается на свойствах направленного ациклического графа с двумя типовыми операциями. Получено уменьшение сложности логической структуры сумматора бинарных кодов, уменьшение глубины схемы, а также уменьшение общей протяжённости соединительных проводов. Это связано с тем, что предложенный метод вычисления сигналов суммы и переноса имеет ряд особенностей синтеза схемы устройства, в частности применение математической модели, которая основывается на свойствах ациклического графа, рассчитан на:процесс последовательного (для младших разрядов схемы устройства) и параллельного вычисления сигналов суммы и переноса, что, в итоге, даёт уменьшение сложности аппаратной части устройства и не увеличивает глубину схемы;сопоставление числа вычислительных шагов ориентированного ациклического графа с числом переноса единицы к старшому разряду в схеме сумматора, что позволяет устанавливать оптимальное число вычислительных шагом для структуры устройства.Благодаря этому обеспечивается возможность получения оптимальных значений показателей сложности структуры и глубины схемы сумматора. Связь между числом вычислительных шагов ориентированного ациклического графа и числом переноса в схеме параллельного сумматора с параллельным способом переноса указывает на целесообразность сопоставления структуры сумматора с соответствующим ориентированным ациклическим графом.В сравнении с аналогами известными структурами 8-bit префиксных сумматоров это обеспечивает увеличение показателя качества 8-bit ациклических сумматоров, например, по энергопотреблению, размерами чипа, в зависимости от выбранной структуры, на 10–40 %.Об'єктом дослідження є префіксна модель обчислення сигналів суми і перенесення у схемі паралельного суматора з паралельним способом перенесення. Одним з найбільш проблемних місць префіксної моделі є процес вироблення сигналів суми і перенесення, у якому початок обчислення префікса передбачено з першого розряду схеми. Це приводить, у підсумку, до надлишкового нагромадження і ускладнення апаратної частини пристрою.У ході дослідження використовувалась математична модель обчислення сигналів суми і перенесення у схемі паралельного суматора, що ґрунтується на властивостях направленого ациклічного графа з двома типовими операціями.Отримано зменшення складності логічної структури суматора бінарних кодів, зменшення глибини схеми та зменшення загальної протяжності з’єднувальних проводів. Це пов'язано з тим, що запропонований метод обчислення сигналів суми і перенесення має ряд особливостей синтезу схеми пристрою, зокрема застосування математичної моделі, що ґрунтується на властивостях ациклічного графа, розраховано на:процес послідовного (для молодших розрядів схеми пристрою) і паралельного обчислення сигналів суми і перенесення, що, у підсумку, дає зменшення складності апаратної частини пристрою та не збільшує глибину схеми;співставлення числа обчислювальних кроків орієнтованого ациклічного графа з числом перенесень одиниці до старшого розряду у схемі суматора, що дозволяє встановлювати оптимальне число обчислювальних кроків для структури пристрою.Завдяки цьому забезпечується можливість отримання оптимальних значень показників складності структури та глибини схеми суматора. Зв’язок між числом обчислювальних кроків орієнтованого ациклічного графа і числом перенесень у схемі паралельного суматора з паралельним способом перенесення вказує на доцільність співставлення структури суматора з відповідним орієнтованим ациклічним графом.У порівнянні з аналогічними відомими структурами 8-bit префіксних суматорів це забезпечує збільшення показника якості 8-bit ациклічних суматорів, наприклад, за енергоспоживанням, площею чіпа, у залежності від обраної структури, на 10–40 %

Розробка алгоритму мінімізації булевих функцій для візуально-матричної форми аналітичного методу

This research has established the possibility of improving the effectiveness of the visual-matrix form of the analytical Boolean function minimization method by identifying reserves in a more complex algorithm for the operations of logical absorption and super-gluing the variables in terms of logical functions. An improvement in the efficiency of the Boolean function minimization procedure was also established, due to selecting, according to the predefined criteria, the optimal stack of logical operations for the first and second binary matrices of Boolean functions. When combining a sequence of logical operations using different techniques for gluing variables such as simple gluing and super-gluing, there are a small number of cases when function minimization is more effective if an operation of simply gluing the variables is first applied to the first matrix. Thus, a short analysis is required for the primary application of operations in the first binary matrix. That ensures the proper minimization efficiency regarding the earlier unaccounted-for variants for simplifying the Boolean functions by the visual-matrix form of the analytical method. For a series of cases, the choice of the optimal stack is also necessary for the second binary matrix. The experimental study has confirmed that the visual-matrix form of the analytical method, whose special feature is the use of 2-(n, b)-design and 2-(n, x/b)-design systems in the first matrix, improves the process efficiency, as well as the reliability of the result of Boolean function minimization. This simplifies the procedure of searching for a minimal function. Compared to analogs, that makes it possible to improve the productivity of the Boolean function minimization process by 100‒200 %. There is reason to assert the possibility of improving the efficiency of the Boolean function minimization process by the visual-matrix form of the analytical method, through the use of more complex logical operations of absorbing and super-gluing the variables. Also, by optimally combining the sequence of logical operations of super-gluing the variables and simply gluing the variables, based on the selection, according to the established criteria, of the stack of logical operations in the first binary matrix of the assigned functionПроведенными исследованиями установлена возможность увеличения эффективности визуально-матричной формы аналитического метода минимизации булевых функций путем выявления резервов более сложного алгоритма проведения логических операций поглощения и супер-склеивания переменных в термах логических функций. Установлено также увеличение эффективности процедуры минимизации булевых функций путем выбора, по установленным критериям, оптимального стека логических операций для первой и второй бинарных матриц булевых функций. При комбинировании последовательности логических операций с использованием различных способов склеивания переменных ‒ простого и супер-склеивания существует небольшое число случаев, когда минимизация функции более эффективна, если в первой матрице сначала применить операцию простого склеивания переменных. Таким образом, необходим краткий анализ для первоочередного применения операций в первой бинарной матрицы. Это обеспечивает надлежащую эффективность минимизации к ранее не учтенным вариантам упрощения булевых функций визуально-матричной формой аналитического метода. Для ряда случаев выбор оптимального стека нужен и для второй бинарной матрицы. Экспериментальными исследованиями подтверждено, что визуально-матричная форма аналитического метода, особенностью которой является использование систем 2-(n, b)-design и 2-(n, x/b)-design в первой матрице, повышает эффективность процесса и достоверность результата минимизации булевых функций. При этом упрощается процедура поиска минимальной функции. По сравнению с аналогами это позволяет повысить производительность процесса минимизации булевых функций на 100–200%. Есть основания утверждать о возможности увеличения эффективности процесса минимизации булевых функций визуально-матричной формой аналитического метода, путем использования более сложных логических операций поглощения и супер-склеивания переменных. А также с помощью оптимального комбинирования последовательности логических операций супер-склеивания переменных и простого склеивания переменных, на основании выбора, по установленным критериям, стека логических операций в первой бинарной матрице заданной функции.Проведеними дослідженнями встановлена можливість збільшення ефективності візуально-матричної форми аналітичного методу мінімізації булевих функцій шляхом виявлення резервів більш складнішого алгоритму проведення логічних операцій поглинання та супер-склеювання змінних у термах логічних функцій. Встановлено також збільшення ефективності процедури мінімізації булевих функцій шляхом вибору, за встановленими критеріями, оптимального стеку логічних операцій для першої та другої бінарних матриць булевих функцій. При комбінуванні послідовності логічних операцій з використанням різних способів склеювання змінних ‒ простого та супер-склеювання існує невелике число випадків, коли мінімізація функції є більш ефективна, якщо у першій матриці спочатку застосувати операцію простого склеювання змінних. Таким чином, необхідний короткий аналіз для першочергового застосування операцій у першій бінарній матриці. Це забезпечує належну ефективність мінімізації до раніш не врахованих варіантів спрощення булевих функцій візуально-матричною формою аналітичного методу. Для ряду випадків вибір оптимального стеку потрібний і для другої бінарної матриці. Експериментальними дослідженнями підтверджено, що візуально-матрична форма аналітичного методу, особливістю якої є використання систем 2-(n, b)-design та 2-(n, x/b)-design у першій матриці, підвищує ефективність процесу та достовірність результату мінімізації булевих функцій. При цьому спрощується процедура пошуку мінімальної функції. У порівнянні з аналогами це дає змогу підвищити продуктивність процесу мінімізації булевих функцій на 100–200 %. Є підстави стверджувати про можливість збільшення ефективності процесу мінімізації булевих функцій візуально-матричною формою аналітичного методу, шляхом використання більш складних логічних операцій поглинання та супер-склеювання змінних. А також за допомогою оптимального комбінування послідовності логічних операцій супер-склеювання змінних та простого склеювання змінних, на підставі вибору, за встановленими критеріями, стеку логічних операцій у першій бінарній матриці заданої функції

Застосування алгебричної операції супер-склеювання змінних для мінімізації булевих функцій комбінаторним методом

The simplification of the problem of Boolean function minimization by a combinatorial method is a new procedure for the algebra of logic – super-sticking of variables. This procedure is performed if there is a complete binary combinatorial system with repetition or an incomplete binary combinatorial system with repetition in the truth table structure.The procedure for reducing the total perfect disjunctive normal form (PDNF) of the logical function gives unity. And since the complete PDNF uniquely determines the complete binary combinatorial system with repetition and vice versa, this gives grounds to delete all the blocks of the complete binary combinatorial system from the truth table, whose structure allows to carry out the rules of super-sticking of variables.The efficiency of the algebraic operation of supers-sticking of variables greatly simplifies the algorithm for Boolean function minimization and allows manual minimization of functions with a number of variables up to 10.The complexity of the algorithm for finding the minimal function by a combinatorial method is O(n) and is linear for n<7. With an increase in the number of variables from n=6 to 8, the growth dynamics of the number of transformations is characterized by the law O(n2), followed by the growth of O(f(n)) with the increase in the Boolean function capacity according to the polynomial law.The introduction of an algebraic operation of super-sticking of variables to the problem of Boolean function minimization is more advantageous in comparison with analogs in the following factors:– lower cost of development and implementation, since a significant proportion of functions are minimized by functions with a number of variables of no more than 16, and therefore, in general, the need for automation of the process of minimizing the function decreases;– increase in manual minimization of 4–10 bit functions, facilitates control and study of the algorithm for minimizing the logic function.The combinatorial method of Boolean functions minimization can find practical application in the design of electronic computer systems, because:– minimization of the DNF function is one of the multiextremal logic-combinatorial problems, the solution of which is, in particular, the combinatorial device of the block-diagram with repetition;– extends the capabilities of the algorithm for Boolean functions minimization for their application in information technology;– improves the algebraic method of Boolean function minimization due to the tabular organization of the method, the introduction of the shaped transformation apparatus and the rules of super-sticking of variables.Рассмотрена новая процедура алгебры логики – супер-склеивание переменных, которая применяется при наличии в структуре таблицы истинности полной бинарной комбинаторной системы с повторением или неполной бинарной комбинаторной системы с повторением. Эффективность алгебраической операции супер-склеивания переменных существенно упрощает алгоритм минимизации булевых функций, что позволяет осуществлять ручную минимизацию функций с числом переменных до 10.Розглянуто нову процедуру алгебри логіки – супер-склеювання змінних, яка застосовується при наявності у структурі таблиці істинності повної бінарної комбінаторної системи з повторенням або неповної бінарної комбінаторної системи з повторенням. Ефективність алгебричної операції суперсклеювання змінних суттєво спрощує алгоритм мінімізації булевих функцій, що дозволяє здійснювати ручну мінімізацію функцій з числом змінних до 10

Мінімізація булевих функцій комбінаторним методом

The object of solving the problem of minimizing the Boolean function in this work is a block diagram with repetition, what is the truth table of the given function. This allows to leave the minimization principle within the function calculation protocol and, thus, dispense with auxiliary objects like algebraic expressions, Karnaugh map, Veitch diagram, acyclic graph, etc. The algebraic transformations of conjunctors are limited to the verbal form of information, they require active decoding, processing and the addition of algebraic data, therefore, as the number of variable variables increases and the resource of such minimization method is quickly exhausted. In turn, the mathematical apparatus of the combinatorial block diagram with repetition gives more information about the orthogonality, contiguity, uniqueness of truth table blocks, so the application of such minimization system of the Boolean function is more efficient. Equivalent transformations by graphic images, in their properties have a large information capacity, capable of effectively replacing verbal procedures of algebraic transformations. The increased information capacity of the combinatorial method makes it possible to carry out manual minimization of 4, 5-bit Boolean functions quite easily.Using a block diagram with repetition in tasks of minimizing Boolean function is more advantageous in comparison with analogues for the following factors:– lower cost of development and implementation, since the principle of minimization of the method remains within the truth table of this function and does not require other auxiliary objects;– increasing the performance of the manual minimization procedure for 4-, 5-bit functions and increasing the performance of automated minimization with a greater number of variable functions, in particular due to the fact that several search options give the same minimum function.The combinatorial method for minimizing Boolean functions can find practical application in the development of electronic computer systems, because:– DNF minimization is one of the multiextremal logical-combinatorial problems, the solution of which is, in particular, the combinatorial device of block-schemes with repetition;– expands the possibilities of Boolean functions minimization technology for their application in information technology;– improves the algebraic method of minimizing the Boolean function due to the tabular organization of the method and the introduction of the device of figurative numeration;– the minimum function can be obtained by several search options that reduces the complexity of the search algorithm, and is the rationale for developing a corresponding function minimization protocol.Рассмотрено распространение принципа минимизации с помощью алгебраических преобразований на метод минимизации с использованием комбинаторной блок – схемы с повторением. Математический аппарат блок-схемы с повторением даёт больше информации относительно ортогональности, смежности, однозначности блоков комбинаторной системы, которой собственно является таблица истинности заданной функции, поэтому применение такой системы минимизации функции есть более эффективным.Розглянуто поширення принципу мінімізації за допомогою алгебричних перетворень на метод мінімізації з використанням комбінаторної блок-схеми з повторенням. Математичний апарат блок-схеми з повторенням дає більше інформації стосовно ортогональності, суміжності, однозначності блоків комбінаторної системи, якою є власне таблиця істинності заданої функції, тому застосування такої системи мінімізації функції є більш ефективним

Мінімізація кон’юктивних нормальних форм булевих функцій комбінаторним методом

The object of research is the combinatorial method of minimizing conjunctive normal forms (CNF) of Boolean functions in order to reduce its algorithmic complexity. One of the most places to minimize CNF of Boolean functions is the complexity of the minimization algorithm and the guarantee of obtaining the minimum function.In the course of the study, the method of equivalent figurative transformations based on the laws and axioms of the algebra of logic, protocols for minimizing CNF of Boolean functions is used.The reduction of the computational complexity of the process of minimization of the CNF of the Boolean functions by the combinatorial method according to the new established criteria has been obtained, thanks to the use of a number of features of the algorithm for finding minimal disjunctive normal forms (DNF) and CNF of logical functions, in particularthe use of the mathematical apparatus of transforming flowcharts with repetition allows to increase the information component of the figurative transformation with respect to the orthogonality, adjacency, uniqueness of truth table blocks;equivalent figurative transformations allow with the effect to replace verbal procedures of algebraic transformations due to the greater information capacity of matrix images;result of minimization is estimated on the basis of the minimal function;minimal DNF or CNF of the functions are obtained regardless of the normal form of the given logical function;minimization protocols for CNF of Boolean functions make up a library of protocols for the process of minimization of CNF of Boolean functions as standard procedures.Due to the above, it is possible to optimally reduce the number of variables of a given function without losing its functionality. The effectiveness of the use of figurative transformations is demonstrated by examples of minimizing functions borrowed from other methods for the purpose of comparison.Compared with similar known methods of minimizing Boolean functions, the proposed method allowsreduce the algorithmic complexity of minimizing CNF of Boolean functions;increase the visibility of the minimization process of DNF or CNF of Boolean functions;ensure the self-sufficiency of the combinatorial method of minimizing Boolean functions by introducing features of the minimal function and minimization on the full table of DNF and CNF.Объектом исследования является комбинаторный метод минимизации конъюктивных нормальных форм (КНФ) булевых функций с целью снижения его алгоритмической сложности. Одним из самых проблемных мест минимизации КНФ булевых функций является сложность алгоритма минимизации и гарантия получения минимальной функции.В ходе исследования использовался метод равносильных образных преобразований, основанный на законах и аксиомах алгебры логики, протоколы минимизации КНФ булевых функций.Получено уменьшение вычислительной сложности процесса минимизации КНФ булевых функций комбинаторным методом по новым установленным критериям, благодаря использованию ряда особенностей алгоритма поиска минимальных дизьюктивных нормальных форм (ДНФ) и КНФ логических функций, в частности:применение математического аппарата преобразования блок-схем с повторением позволяет увеличить информационную компоненту образного преобразования относительно ортогональности, смежности, однозначности блоков таблицы истинности;равносильные образные преобразования позволяют с эффектом заменить вербальные процедуры алгебраических преобразований за счет большей информационной емкости матричных образов;результат минимизации оценивается по признаку минимальной функции;минимальные ДНФ или КНФ функции получаются независимо от нормальной формы заданной логической функции;протоколы минимизации КНФ булевых функций составляют библиотеку протоколов для процесса минимизации КНФ булевых функций как стандартные процедуры.Благодаря вышеизложенному обеспечивается возможность оптимального уменьшения количества переменных заданной функции без потери ее функциональности. Эффективность применения образных преобразований демонстрируется примерами минимизации функций, заимствованных из других методов с целью сравнения.По сравнению с аналогичными известными методами минимизации булевых функций предложенный метод позволяет:уменьшить алгоритмическую сложность минимизации КНФ булевых функций;увеличить наглядность процесса минимизации ДНФ или КНФ булевых функций;обеспечить самодостаточность комбинаторного метода минимизации булевых функций за счет внедрения признака минимальной функции и минимизации на полной таблице ДНФ и КНФ.Об'єктом дослідження є комбінаторний метод мінімізації кон’юктивних нормальних форм (КНФ) булевих функцій з метою зменшення його алгоритмічної складності. Одним з найпроблемніших місць мінімізації КНФ булевих функцій є складність алгоритму мінімізації та гарантія отримання мінімальної функції.У ході дослідження використовувався метод рівносильних образних перетворень, який ґрунтується на законах та аксіомах алгебри логіки, протоколи мінімізації КНФ булевих функцій.Отримано зменшення обчислювальної складності процесу мінімізації КНФ булевих функцій комбінаторним методом за новими встановленими критеріями, завдяки використанню ряду особливостей алгоритму пошуку мінімальних диз’юктивних нормальних форм (ДНФ) та КНФ логічних функцій, зокрема:застосування математичного апарату перетворення блок-схем з повторенням дає змогу збільшити інформаційну компоненту образного перетворення стосовно ортогональності, суміжності, однозначності блоків таблиці істинності;рівносильні образні перетворення дозволяють з ефектом замінити вербальні процедури алгебричних перетворень за рахунок більшої інформаційної ємності матричних образів;результат мінімізації оцінюється за ознакою мінімальної функції;мінімальні ДНФ або КНФ функції отримуються незалежно від нормальної форми заданої логічної функції;протоколи мінімізації КНФ булевих функцій складають бібліотеку протоколів для процесу мінімізації КНФ булевих функцій як стандартні процедури.Завдяки вищевикладеному забезпечується можливість оптимального зменшення кількості змінних заданої функцій без втрати її функціональності. Ефективність застосування образних перетворень демонструється прикладами мінімізації функцій, запозичених з інших методів з метою порівняння.У порівнянні з аналогічними відомими методами мінімізації булевих функцій запропонований метод дозволяє:зменшити алгоритмічну складність мінімізації КНФ булевих функцій;збільшити наочність процесу мінімізації ДНФ або КНФ булевих функцій;забезпечити самодостатність комбінаторного методу мінімізації булевих функцій за рахунок впровадження ознаки мінімальної функції та мінімізації на повній таблиці ДНФ і КНФ

Мінімізація булевих функцій комбінаторним методом

The object of solving the problem of minimizing the Boolean function in this work is a block diagram with repetition, what is the truth table of the given function. This allows to leave the minimization principle within the function calculation protocol and, thus, dispense with auxiliary objects like algebraic expressions, Karnaugh map, Veitch diagram, acyclic graph, etc. The algebraic transformations of conjunctors are limited to the verbal form of information, they require active decoding, processing and the addition of algebraic data, therefore, as the number of variable variables increases and the resource of such minimization method is quickly exhausted. In turn, the mathematical apparatus of the combinatorial block diagram with repetition gives more information about the orthogonality, contiguity, uniqueness of truth table blocks, so the application of such minimization system of the Boolean function is more efficient. Equivalent transformations by graphic images, in their properties have a large information capacity, capable of effectively replacing verbal procedures of algebraic transformations. The increased information capacity of the combinatorial method makes it possible to carry out manual minimization of 4, 5-bit Boolean functions quite easily.Using a block diagram with repetition in tasks of minimizing Boolean function is more advantageous in comparison with analogues for the following factors:– lower cost of development and implementation, since the principle of minimization of the method remains within the truth table of this function and does not require other auxiliary objects;– increasing the performance of the manual minimization procedure for 4-, 5-bit functions and increasing the performance of automated minimization with a greater number of variable functions, in particular due to the fact that several search options give the same minimum function.The combinatorial method for minimizing Boolean functions can find practical application in the development of electronic computer systems, because:– DNF minimization is one of the multiextremal logical-combinatorial problems, the solution of which is, in particular, the combinatorial device of block-schemes with repetition;– expands the possibilities of Boolean functions minimization technology for their application in information technology;– improves the algebraic method of minimizing the Boolean function due to the tabular organization of the method and the introduction of the device of figurative numeration;– the minimum function can be obtained by several search options that reduces the complexity of the search algorithm, and is the rationale for developing a corresponding function minimization protocol.Рассмотрено распространение принципа минимизации с помощью алгебраических преобразований на метод минимизации с использованием комбинаторной блок – схемы с повторением. Математический аппарат блок-схемы с повторением даёт больше информации относительно ортогональности, смежности, однозначности блоков комбинаторной системы, которой собственно является таблица истинности заданной функции, поэтому применение такой системы минимизации функции есть более эффективным.Розглянуто поширення принципу мінімізації за допомогою алгебричних перетворень на метод мінімізації з використанням комбінаторної блок-схеми з повторенням. Математичний апарат блок-схеми з повторенням дає більше інформації стосовно ортогональності, суміжності, однозначності блоків комбінаторної системи, якою є власне таблиця істинності заданої функції, тому застосування такої системи мінімізації функції є більш ефективним

Дослідження протоколів мінімізації 5-розрядних булевих функцій комбінаторним методом

The object of research is a combinatorial method of 5-bit Boolean functions minimization. One of the most problematic places for Boolean functions minimization is the complexity of the minimization algorithm and the guarantee of obtaining a minimal function.Minimization protocols of the 5-bit Boolean functions are used in the course of the research, which are used when the structure of the truth table of a given function has a complete binary combinatorial system with repetition or an incomplete binary combinatorial system with repetition. The operational properties of the protocols for 5-bit Boolean functions minimization are based on the laws and axioms of the algebra of logic.A reduction in the complexity of the process of 5-bit Boolean functions minimization by combinatorial method is obtained, increasing the probability of guaranteed 5-bit Boolean functions minimization. This is due to the fact that the proposed method of 5-bit Boolean functions minimization has a number of features to solve the problem of minimizing the logical function, in particular:the mathematical apparatus of the block diagram with repetition makes it possible to obtain more information on the orthogonality, contiguity, uniqueness of truth table blocks;equivalent transformations by graphic images in the form of two-dimensional matrices due to the greater information capacity can with effect replace the verbal procedures of algebraic transformations;minimization protocols for 5-bit Boolean functions constitute a protocol library for the process of 5-bit Boolean functions minimization as standard procedures, so the use of a separate protocol for variables of 5-bit Boolean functions is reduced to carrying out one algebraic transformation.Thanks to this, it is possible to obtain an optimal reduction in the number of variable functions without losing its functionality. The effectiveness of the application of minimization protocols for the 5-bit Boolean functions of the combinatorial method is demonstrated by examples of minimization of functions taken from the work of other authors for the purpose of comparison.In comparison with similar known methods of Boolean functions minimization, this ensures:less complexity of the process of 5-bit Boolean functions minimization;an increase in the probability of guaranteed 5-bit Boolean functions minimization;improvement of the algebraic method of Boolean function minimization due to the tabular organization of the combinatorial method, the introduction of the image-transformation apparatus and the minimization protocols.Объектом исследования является комбинаторный метод минимизации 5-разрядных булевых функций. Одним из наибольших проблемных мест минимизации булевых функций является сложность алгоритма минимизации и гарантия получения минимальной функции.В ходе исследования использовались протоколы минимизации 5-разрядных булевых функций, которые применяются при наличии у структуры таблицы истинности заданной функции полной бинарной комбинаторной системы с повторением или неполной бинарной комбинаторной системы с повторением. Операционные свойства протоколов минимизации 5-разрядных булевых функций основываются на законах и аксиомах алгебры логики.Получено уменьшение сложности процесса минимизации 5-разрядных булевых функций комбинаторным методом, увеличение вероятности гарантированной минимизации 5-разрядных булевых функций. Это связано с тем, что предложенный метод минимизации 5-разрядных булевых функций имеет ряд особенностей решения задачи минимизации логической функции, в частности:математический аппарат блок-схемы с повторением даёт возможность получить больше информации относительно ортогональности, смежности, однозначности блоков таблицы истинности;равносильные преобразования графическими образами в виде двумерных матриц за счёт большей информационной ёмкости способны с эффектом заменить вербальные процедуры алгебраических преобразований;протоколы минимизации 5-разрядных булевых функций составляют библиотеку протоколов для процесса минимизации 5-разрядных булевых функций как стандартные процедуры, поэтому применение отдельного такого протокола для переменных 5-разрядных булевых функций сводится к проведению одного алгебраического преобразования.Благодаря этому обеспечивается возможность получить оптимальное уменьшение количества переменных функции без потери её функциональности. Эффективность применения протоколов минимизации 5-разрядных булевых функций комбинаторного метода демонстрируется примерами минимизации функций, взятых с работ других авторов с целью сравнения.В сравнении с аналогичными известными методами минимизации булевых функций это обеспечивает:меньшую сложность процесса минимизации 5-разрядных булевых функций;увеличение вероятности гарантированной минимизации 5-разрядных булевых функций;совершенствование алгебраического метода минимизации булевой функции за счёт табличной организации комбинаторного метода, внедрением аппарата образного преобразования и протоколов минимизации.Об'єктом дослідження є комбінаторний метод мінімізації 5-розрядних булевих функцій. Одним з найбільш проблемних місць мінімізації булевих функцій є складність алгоритму мінімізації та гарантія отримання мінімальної функції.У ході дослідження використовувались протоколи мінімізації 5-розрядних булевих функцій, які застосовуються за наявності у структурі таблиці істинності заданої функції повної бінарної комбінаторної системи з повторенням або неповної бінарної комбінаторної системи з повторенням. Операційні властивості протоколів мінімізації 5-розрядних булевих функцій ґрунтуються на законах та аксіомах алгебри логіки.Отримано зменшення складності процесу мінімізації 5-розрядних булевих функцій комбінаторним методом, збільшення ймовірністі гарантованої мінімізації 5-розрядних булевих функцій. Це пов'язано з тим, що запропонований метод мінімізації 5-розрядних булевих функцій має ряд особливостей вирішення задачі мінімізації логічної функції, зокрема:математичний апарат блок-схеми з повторенням дає можливість отримати більше інформації стосовно ортогональності, суміжності, однозначності блоків таблиці істинності;рівносильні перетворення графічними образами у вигляді двовимірних матриць за рахунок більшої інформаційної ємності спроможні з ефектом замінити вербальні процедури алгебричних перетворень;протоколи мінімізації 5-розрядних булевих функцій складають бібліотеку протоколів для процесу мінімізації 5-розрядних булевих функцій як стандартні процедури, тому застосування окремого такого протоколу для змінних 5-розрядних булевих функцій зводиться до проведення одного алгебричного перетворення.Завдяки цьому забезпечується можливість отримати оптимальне зменшення кількості змінних функцій без втрати її функціональності. Ефективність застосування протоколів мінімізації 5-розрядних булевих функцій комбінаторного методу демонструється прикладами мінімізації функції, запозичених з робіт інших авторів з метою порівняння.У порівнянні з аналогічними відомими методами мінімізації булевих функцій це забезпечує:меншу складність процесу мінімізації 5-розрядних булевих функцій;збільшення ймовірності гарантованої мінімізації 5-розрядних булевих функцій;удосконалення алгебричного методу мінімізації булевої функції за рахунок табличної організації комбінаторного методу, впровадження апарату образного перетворення та протоколів мінімізації

Мінімізація кон’юктивних нормальних форм булевих функцій комбінаторним методом

The object of research is the combinatorial method of minimizing conjunctive normal forms (CNF) of Boolean functions in order to reduce its algorithmic complexity. One of the most places to minimize CNF of Boolean functions is the complexity of the minimization algorithm and the guarantee of obtaining the minimum function.In the course of the study, the method of equivalent figurative transformations based on the laws and axioms of the algebra of logic, protocols for minimizing CNF of Boolean functions is used.The reduction of the computational complexity of the process of minimization of the CNF of the Boolean functions by the combinatorial method according to the new established criteria has been obtained, thanks to the use of a number of features of the algorithm for finding minimal disjunctive normal forms (DNF) and CNF of logical functions, in particularthe use of the mathematical apparatus of transforming flowcharts with repetition allows to increase the information component of the figurative transformation with respect to the orthogonality, adjacency, uniqueness of truth table blocks;equivalent figurative transformations allow with the effect to replace verbal procedures of algebraic transformations due to the greater information capacity of matrix images;result of minimization is estimated on the basis of the minimal function;minimal DNF or CNF of the functions are obtained regardless of the normal form of the given logical function;minimization protocols for CNF of Boolean functions make up a library of protocols for the process of minimization of CNF of Boolean functions as standard procedures.Due to the above, it is possible to optimally reduce the number of variables of a given function without losing its functionality. The effectiveness of the use of figurative transformations is demonstrated by examples of minimizing functions borrowed from other methods for the purpose of comparison.Compared with similar known methods of minimizing Boolean functions, the proposed method allowsreduce the algorithmic complexity of minimizing CNF of Boolean functions;increase the visibility of the minimization process of DNF or CNF of Boolean functions;ensure the self-sufficiency of the combinatorial method of minimizing Boolean functions by introducing features of the minimal function and minimization on the full table of DNF and CNF.Объектом исследования является комбинаторный метод минимизации конъюктивных нормальных форм (КНФ) булевых функций с целью снижения его алгоритмической сложности. Одним из самых проблемных мест минимизации КНФ булевых функций является сложность алгоритма минимизации и гарантия получения минимальной функции.В ходе исследования использовался метод равносильных образных преобразований, основанный на законах и аксиомах алгебры логики, протоколы минимизации КНФ булевых функций.Получено уменьшение вычислительной сложности процесса минимизации КНФ булевых функций комбинаторным методом по новым установленным критериям, благодаря использованию ряда особенностей алгоритма поиска минимальных дизьюктивных нормальных форм (ДНФ) и КНФ логических функций, в частности:применение математического аппарата преобразования блок-схем с повторением позволяет увеличить информационную компоненту образного преобразования относительно ортогональности, смежности, однозначности блоков таблицы истинности;равносильные образные преобразования позволяют с эффектом заменить вербальные процедуры алгебраических преобразований за счет большей информационной емкости матричных образов;результат минимизации оценивается по признаку минимальной функции;минимальные ДНФ или КНФ функции получаются независимо от нормальной формы заданной логической функции;протоколы минимизации КНФ булевых функций составляют библиотеку протоколов для процесса минимизации КНФ булевых функций как стандартные процедуры.Благодаря вышеизложенному обеспечивается возможность оптимального уменьшения количества переменных заданной функции без потери ее функциональности. Эффективность применения образных преобразований демонстрируется примерами минимизации функций, заимствованных из других методов с целью сравнения.По сравнению с аналогичными известными методами минимизации булевых функций предложенный метод позволяет:уменьшить алгоритмическую сложность минимизации КНФ булевых функций;увеличить наглядность процесса минимизации ДНФ или КНФ булевых функций;обеспечить самодостаточность комбинаторного метода минимизации булевых функций за счет внедрения признака минимальной функции и минимизации на полной таблице ДНФ и КНФ.Об'єктом дослідження є комбінаторний метод мінімізації кон’юктивних нормальних форм (КНФ) булевих функцій з метою зменшення його алгоритмічної складності. Одним з найпроблемніших місць мінімізації КНФ булевих функцій є складність алгоритму мінімізації та гарантія отримання мінімальної функції.У ході дослідження використовувався метод рівносильних образних перетворень, який ґрунтується на законах та аксіомах алгебри логіки, протоколи мінімізації КНФ булевих функцій.Отримано зменшення обчислювальної складності процесу мінімізації КНФ булевих функцій комбінаторним методом за новими встановленими критеріями, завдяки використанню ряду особливостей алгоритму пошуку мінімальних диз’юктивних нормальних форм (ДНФ) та КНФ логічних функцій, зокрема:застосування математичного апарату перетворення блок-схем з повторенням дає змогу збільшити інформаційну компоненту образного перетворення стосовно ортогональності, суміжності, однозначності блоків таблиці істинності;рівносильні образні перетворення дозволяють з ефектом замінити вербальні процедури алгебричних перетворень за рахунок більшої інформаційної ємності матричних образів;результат мінімізації оцінюється за ознакою мінімальної функції;мінімальні ДНФ або КНФ функції отримуються незалежно від нормальної форми заданої логічної функції;протоколи мінімізації КНФ булевих функцій складають бібліотеку протоколів для процесу мінімізації КНФ булевих функцій як стандартні процедури.Завдяки вищевикладеному забезпечується можливість оптимального зменшення кількості змінних заданої функцій без втрати її функціональності. Ефективність застосування образних перетворень демонструється прикладами мінімізації функцій, запозичених з інших методів з метою порівняння.У порівнянні з аналогічними відомими методами мінімізації булевих функцій запропонований метод дозволяє:зменшити алгоритмічну складність мінімізації КНФ булевих функцій;збільшити наочність процесу мінімізації ДНФ або КНФ булевих функцій;забезпечити самодостатність комбінаторного методу мінімізації булевих функцій за рахунок впровадження ознаки мінімальної функції та мінімізації на повній таблиці ДНФ і КНФ