Marches aleatoires sur les arbres aleatoires

The subject of this thesis is the study of various models of random walks on random trees, with an emphasis on the aspects that fall at the intersection of probability theory and ergodic theory. We called our first model “random walks on Galton-Watson trees with recursive lengths”.It generalizes a model appearing in a recent work by Curien and Le Gall. We show that under fairly general assumptions, a phenomenon called “dimension drop” holds for this model and we give a formula for this dimension. Using the tools developed for the study of the previous model, we turn to the case oft ransient lambda-biased random walks on infinite Galton-Watson trees, for which many famous problems are still open. Our approach allows us to compute the dimension of the harmonic measure as a function of the law of the conductance of the tree. With this new result, we check numerically the validity of some twenty-year-old conjectures.The remainder of this thesis is about a very rich model called random walk on a random weighted Galton-Watson tree. First, we study the transient case, where we show with a different method than in the previous parts, that the dimension drop phenomen on occurs. Then we turn to a recurrent case called subdiffusive and we investigate the rate of decay of the conductance between the root and the n-th level of the tree, as n goes to infinity. We prove that this conductance, suitably renormalized converges to the limit of the Mandelbrot martingale.Cette thèse a pour objet d’étude divers modèles de marches aléatoires sur les arbres aléatoires.Nous nous sommes consacrés principalement aux aspects qui relevaient à la fois de la théorie des probabilités et de la théorie ergodique. Notre premier modèle est celui des marches aléatoires sur les arbres à longueurs récursives(qui généralise un modèle apparaissant dans un travail récent de Curien et Le Gall). Nous montrons pour ce modèle sous des conditions très générales qu’un phénomène appelé « chute de dimension » se produit pour la mesure harmonique et donnons une formule assez explicite permettant de calculer cette dimension.En utilisant les outils développés pour ce dernier modèle, nous nous intéressons à la marche aléatoire lambda-biaisée sur un arbre de Galton-Watson infini, pour lequel de nombreuses conjectures sont toujours ouvertes. Notre approche nous permet de calculer la dimension de la mesure harmonique en fonction de la loi de la conductance de l’arbre. C’est un résultat nouveau qui nous permet de vérifier numériquement certaines de ces conjectures ouvertes.Le reste de la thèse porte sur un modèle très riche appelé marche aléatoire sur un arbre pondéré aléatoire. D’abord dans le cas transient, où nous montrons par une approche différente de celle des parties précédentes que le phénomène de chute de dimension se produit. Puis sur un cas récurrent appelé sous-diffusif, où nous nous intéressons à la vitesse de convergence vers 0 de la conductance entre la racine et le niveau n de l’arbre lorsque n tend vers l’infini. Nous montrons que la loi limite de cette conductance renormalisée par son espérance est la limite de la martingale de Mandelbrot

Random walks on random trees

Cette thèse a pour objet d’étude divers modèles de marches aléatoires sur les arbres aléatoires.Nous nous sommes consacrés principalement aux aspects qui relevaient à la fois de la théorie des probabilités et de la théorie ergodique. Notre premier modèle est celui des marches aléatoires sur les arbres à longueurs récursives(qui généralise un modèle apparaissant dans un travail récent de Curien et Le Gall). Nous montrons pour ce modèle sous des conditions très générales qu’un phénomène appelé « chute de dimension » se produit pour la mesure harmonique et donnons une formule assez explicite permettant de calculer cette dimension.En utilisant les outils développés pour ce dernier modèle, nous nous intéressons à la marche aléatoire lambda-biaisée sur un arbre de Galton-Watson infini, pour lequel de nombreuses conjectures sont toujours ouvertes. Notre approche nous permet de calculer la dimension de la mesure harmonique en fonction de la loi de la conductance de l’arbre. C’est un résultat nouveau qui nous permet de vérifier numériquement certaines de ces conjectures ouvertes.Le reste de la thèse porte sur un modèle très riche appelé marche aléatoire sur un arbre pondéré aléatoire. D’abord dans le cas transient, où nous montrons par une approche différente de celle des parties précédentes que le phénomène de chute de dimension se produit. Puis sur un cas récurrent appelé sous-diffusif, où nous nous intéressons à la vitesse de convergence vers 0 de la conductance entre la racine et le niveau n de l’arbre lorsque n tend vers l’infini. Nous montrons que la loi limite de cette conductance renormalisée par son espérance est la limite de la martingale de Mandelbrot.The subject of this thesis is the study of various models of random walks on random trees, with an emphasis on the aspects that fall at the intersection of probability theory and ergodic theory. We called our first model “random walks on Galton-Watson trees with recursive lengths”.It generalizes a model appearing in a recent work by Curien and Le Gall. We show that under fairly general assumptions, a phenomenon called “dimension drop” holds for this model and we give a formula for this dimension. Using the tools developed for the study of the previous model, we turn to the case oft ransient lambda-biased random walks on infinite Galton-Watson trees, for which many famous problems are still open. Our approach allows us to compute the dimension of the harmonic measure as a function of the law of the conductance of the tree. With this new result, we check numerically the validity of some twenty-year-old conjectures.The remainder of this thesis is about a very rich model called random walk on a random weighted Galton-Watson tree. First, we study the transient case, where we show with a different method than in the previous parts, that the dimension drop phenomen on occurs. Then we turn to a recurrent case called subdiffusive and we investigate the rate of decay of the conductance between the root and the n-th level of the tree, as n goes to infinity. We prove that this conductance, suitably renormalized converges to the limit of the Mandelbrot martingale

Branching Random Walks Conditioned on Particle Numbers

In this paper, we show that a Galton-Watson tree conditioned to have a fixed number of particles in generation $n$ converges in distribution as $n\rightarrow\infty$, and with this tool we study the span and gap statistics of a branching random walk on such trees, which is the discrete version of Ramola, Majumdar and Schehr 2015, generalized to arbitrary offspring and displacement distributions with moment constraints

Utilisation de Coq pour l'enseignement des mathématiques en L1 et en seconde

National audienceNous avons créé en septembre 2021 un cours récurrent de 18h d'« Initiation aux preuves formelles » avec Coq au premier semestre de L1 double-licence mathématiques et informatique à l'université Sorbonne Paris Nord. Une expérience ponctuelle de 9h a également eu lieu en 2022 avec des élèves de seconde du lycée Joséphine Baker de Pierrefitte sur-Seine. Cet exposé est un retour sur ces expériences. Nous présenterons en détail certaines séances de travaux pratiques données en L1, la méthode employée pour l'écriture des sujets, l'évolution de ce module ainsi que les difficultés rencontrées par les enseignant•e•s et les étudiant•e•s. Enfin, nous évoquerons des pistes d'évolution pour l'enseignement des mathématiques avec Coq au niveau L1. Des temps d'échange et d'expérimentation sont prévus. Les participants qui ne connaissent pas Coq pourront se servir des sujets de travaux pratiques comme d'un tutoriel ; les experts de Coq se tourneront d'avantage vers des questions pédagogiques et techniques

Synthesis and Structural Study of Tetravalent (Zr4+, Hf4+, Ce4+, Th4+, U4+) Metal Complexes with Cyclic Hydroxamic Acids

International audienceSix- and seven-membered cyclic hydroxamic acids, such as 1-hydroxypiperidine-2-one (1H, 1,2-PIPOH) and 1-hydroxyazepan-2-one (2H), have recently been identified in some mixed siderophores as one of their three chelating subunits. Compared to their ubiquitous noncyclic counterparts, cyclic hydroxamates are preorganized for metal binding. Surprisingly, the coordination chemistry of these bidentate, monoanionic ligands remains virtually unknown, even in the case of iron(III). We report herein the first structural study of the complexes of 1– and of 6–, an unsaturated seven-membered ring analog of 2–, with tetravalent cations of transition metals (zirconium and hafnium), lanthanide (cerium), and actinides (thorium and uranium). Structural characterization by means of X-ray crystallography of the corresponding ML4 complexes evidenced distorted square antiprismatic coordination geometries with the exception of U4+, which favors a dodecahedral arrangement

Boron functionalization of BODIPY by various alcohols and phenols

The synthesis of new B-O BODIPY derivatives functionalized with different alkoxy or diarylalkoxy derivatives is described. These compounds were synthesized from the reaction of different B F BODIPY precursors with various alcohols and phenols, in the presence of AlCl3. Water-soluble dyes could be synthesized as well with this method, specifically by the introduction of polyethyleneglycol (PEG) groups. A photophysical study of the different compounds was performed, and showed that the B-O BODIPY derivatives exhibit rich fluorescence properties. Finally, the conjugation of the BODIPY core has been extended using two distyryl groups, hence providing NIR emitting BODIPY derivatives, in which one or two PEG groups have been anchored, making these systems very promising for future medical imaging applications