Hochschild homology, and a persistent approach via connectivity digraphs

We introduce a persistent Hochschild homology framework for directed graphs. Hochschild homology groups of (path algebras of) directed graphs vanish in degree $i\geq 2$. To extend them to higher degrees, we introduce the notion of connectivity digraphs and analyse two main examples; the first, arising from Atkin's $q$-connectivity, and the second, here called $n$-path digraphs, generalising the classical notion of line graphs. Based on a categorical setting for persistent homology, we propose a stable pipeline for computing persistent Hochschild homology groups. This pipeline is also amenable to other homology theories; for this reason, we complement our work with a survey on homology theories of digraphs.Comment: Comments are welcome

Conformal model of Euclidean space R^n and Möbius-transformations of the model

Avaruus on matematiikan perustavimpia käsitteitä. Yksinkertaisimmillaan avaruus on joukko, jonka alkioilla ei ole muuta ominaisuutta kuin kuuluminen joukkoon. Joukon ja sen alkioiden hedelmällinen tutkiminen vaatii kuitenkin lisärakenteiden muodostamista joukkoon. Tämä vaatimus korostuu erityisesti, kun avaruutta käytetään mallintamaan fysikaalista todellisuutta. Tässä työssä mallinnamme yhtä matemaattista struktuuria toisella matemaattisella rakenteella. Malliesimerkin tästä tarjoaa tason R^2 vektoreiden mallintaminen kompleksilukujen avulla. Tällöin kompleksialgebra laajentaa vektoreiden laskennallista käsittelyä. Tässä työssä tutkimme euklidisen avaruuden R^n konformista mallia, jossa pohjana oleva perusavaruus mallinnetaan (n+2)-ulotteisessa avaruudessa R^n+2. Konformisessa mallissa sisätulolla on mielekäs geometrinen tulkinta ja erilaisille geometrisille konstruktioille saadaan esitykset duaalivektoreiden avulla. Laskennallisena työkaluna käytämme Cliffordin geometrista algebraa. Työn toisena osuutena on tutkia kompleksianalyysistä tuttuja Möbius-kuvauksia konformisessa mallissa. Tällöin kaikki Möbius-kuvaukset esitetään Cliffordin algebran peilauksina ja rotaatioina. Nämä ovat algebran ortogonaalikuvauksia, jotka voidaan esittää hyvin tehokkaasti. Konforminen malli siis homogenisoi Möbius-kuvausten esityksiä. Perinteisesti Möbius-kuvaukset voidaan ajatella geometrisesti peilauksina erilaisten geometristen kontruktioiden suhteen. Esimerkiksi inversio vastaa peilausta ympyrän suhteen. Koska konformisessa mallissa geometriset konstruktiot voidaan esittää duaalisten vektoreiden avulla, Cliffordin algebra ja konforminen malli yhdessä tuovat Möbius-kuvausten esityksiin mukaan niiden taustalla olevat geometriset ideat

Arktis-alpiinisen fytomassan mallintaminen paikkatieto- ja kaukokartoitusaineistojen avulla

The ongoing global change challenges us to examine the key factors of rapidly changing northern ecosystems. One of the most important factors in these environments is living vegetation biomass, also known as phytomass. This thesis examines above ground phytomass in an artic-alpine environment, located in northwesternmost Finland and Ráisduottarháldi –area, Norway. The most important aim of the study was to produce a best possible estimate of the phytomass in the study area. Typically, phytomass modelling in artic-alpine areas has been done by using linear regression models having spectral vegetation index (SVI), usually NDVI, as an explanatory variable. Goodness of the model is typically assessed by coefficient of determination (R2). This thesis expands this approach and tests different SVI's alongside NDVI. Bias, root mean square error (RMSE), and correlation of observed and predicted phytomasses are used in addition. The effect of sample size is also briefly tested. Factors affecting phytomass, such as topography, were also examined. Topographic variables, such as the topographic wetness index (TWI), slope, potential yearly radiation and curvature were derived from digital elevation model and used as a predictors. Rock and soil variables were also used, but the quality of the data was found poor. In addition to linear regression models (LM), generalized linear models (GLM) and variation partition were used to find out wether the simple SVI-models can be improved by adding topographic factors into the models. Boosted regression trees (BRT) were utilized to find out the importance of individual effects of topographic factors to phytomass. NDVI was found to be the best SVI to predict phytomass (R2 61,6 %, RMSE 593,5 g/m2). However, the model was slightly biased (–4,3 %), although not statistically significantly. Forest areas cause significant deviaton to the data, which might explain why the explanatory power of the NDVI model is lower compared to other similar studies carried in pure arctic environments. Based on variation partition, the NDVI-model cannot be improved by topograhic nor soil or rock variables. In BRT-models, elevation was found to be the single most important variable explaining phytomass. The relative importance of elevation in the phytomass model was 72,8 %. Potential radiation (11,3 %) and calcium contet of parent material (11,4 %) were also important. TWI also had a slight effect, as its relative importance was 4,9 %. Curvature was not a significant factor in the models. Based on the linear regression model (NDVI), phytomass varied between 0– 6790 g/m2: Mean phytomass of the study area was 687 g/m2. Most of the phytomass is located in trees and other vascular plants located in low elevations (< 600 m a.s.l.). Phytomass decreases rapidly above treeline, which is typically located around 600–700 m a.s.l. at the study area. Only 0,1 % of the total phytomass is located above 1000 m a.s.l. South- and southwestern slopes have higher phytomasses compared to average (c. +17–21 %), which is caused by higher thermal radiation. Phytomass estimates of the study are well in line with other similar studies. Model uncertainties were assessed carefully in comparison to many other studies. The results imply that this kind of approach is needed as the model results varied a lot. Sample and sample size had a significant effect to results and therefore need to be addressed in future studies more carefully. The number of observations was high in this study compared to almost any other similar studies, but it has to be noted that the study designs differ. Clearly, there is a need of more extensive research on the uncertainties of phytomass estimates.Meneillään olevan globaalimuutoksen vuoksi on tarpeen kartoittaa pohjoisten ekosysteemien keskeisimpiä tekijöitä. Eräs tärkeimmistä tekijöistä on kasvillisuuden elävä biomassa, eli fytomassa. Tässä tutkielmassa selvitettiin maanpäällistä fytomassaa arktis-alpiinisessa ympäristössä, Käsivarren Lapissa sekä Ráisduottarháldin alueella, Norjassa. Tutkielman keskeisin tavoite oli tuottaa paras mahdollinen estimaatti tutkimusalueen fytomassasta ja selvittää sen jakautumisen taustalla olevia tekijöitä, etenkin topografian osalta. Lisäksi estimaatin luotettavuuteen kiinnitettiin erityistä huomiota, sillä tämänkaltaista tarkastelua on aiemmassa arktis-alpiinisessa tutkimuksessa melko vähän. Arktis-alpiininen fytomassamallinnus on tyyppilisesti tehty lineaarisen regressiomallinnuksen avulla käyttäen kasvillisuusindeksiä, yleisimmin normalisoitua kasvillisuusindeksiä (NDVI), selittävänä tekijänä. Mallien hyvyyttä on usein arvioitu ainoastaan selitysasteen (R2) avulla. Tässä tutkielmassa fytomassamallien hyvyyttä arvioidaan laajemmin. Selitysasteen lisäksi malleja tarkasteltiin ennustettujen ja havaittujen fytomassa-arvojen korrelaation, niiden harhan ja keskineliövirheen neliöjuuren (RMSE) avulla. Myös otoskoon vaikutusta selitysasteeseen testattiin. Fytomassaa tutkittiin NDVI:n lisäksi usean muun kasvillisuusindeksin avulla käyttäen lineaarisia regressiomalleja. Topografiset muuttujat, kuten topografinen kosteus, rinteen kaltevuus, potentiaalinen vuotuinen säteily ja kurvikkuus johdettiin korkeusmallista, ja niitä käytettiin fytomassaa selittävinä tekijöinä. Myös maa- ja kallioperämuuttujia käytettiin, mutta aineiston laatu todettiin huonoksi. Yleistettyjen lineaaristen mallien (GLM) ja hajonnan osituksen avulla selvitettiin voidaanko topografisilla ja maa- ja kallioperämuuttujilla parantaa kasvillisuusindeksimalleja. Näiden muuttujien yksittäistä vaikutusta fytomassaan arvioitiin yleistettyjen luokittelupuumenetelmien avulla (BRT). Normalisoitu kasvillisuusindeksi (NDVI) osoittautui eri indekseistä parhaaksi selitettäessä fytomassaa (R2 61,6 %, RMSE 593,5 g/m2). NDVI-malli oli lievästi harhainen (–4,3 %), joskaan harha ei ollut tilastollisesti merkitsevä. Puustoiset koealat aiheuttavat hajontaa aineistoon, mikä saattaa selittää miksi selitysaste on alhaisempi verrattuna vastaaviin tutkimuksiin puhtaasti arktisilla alueilla. Hajonnan osituksen perusteella NDVI:n selityskykyä ei pystytty merkittävästi parantamaan topografisilla ja maa- ja kallioperämuuttujilla. Toisaalta näiden muuttujien havaittiin selittävän fytomassaa lähes yhtä paljon kuin NDVI-mallikin. Maastonkorkeus havaittiin BRT-malleissa parhaaksi fytomassaa selittäväksi tekijäksi. Sen suhteellinen merkitys oli 72,8 %. Potentiaalinen vuotuinen säteily (11,3 %) sekä kallioperän kalkkisuus (11,4 %) vaikuttivat muuttujista seuraavaksi eniten. Myös kosteudella oli hienoinen suhteellinen merkitys (4,9 %). Kurvikkuudella ei ollut merkittävää osaa fytomassan selittäjänä. Tutkimusalueen fytomassa vaihteli noin 0–6790 g/m2 välillä, sen ollessa keskimäärin 687 g/m2. Suurin osa fytomassasta sijoittui alaville alueille (< 600 m mpy) puihin ja muihin putkilokasveihin. Fytomassa vähenee huomattavasti puurajan yläpuolella, joka sijaitsee alueella tyypillisesti noin 600–700 m mpy välillä. Yli tuhannessa metrissä fytomassaa ei ole juuri lainkaan. Myös säteily vaikutti fytomassaan huomattavasti. Tämä näkyy etelä-lounaisrinteiden huomattavasti keskimääräistä korkeampana fytomassana (n. +17–21 %). Fytomassaestimaatit vastasivat hyvin aiemmissa tutkimuksissa mitattuja ja mallinnettuja fytomassoja. Tehdyt luotettavuustarkastelut osoittautuivat tärkeiksi, sillä otoksella ja sen koolla havaittiin olevan selvä vaikutus mallien tuloksiin. Tutkimuksessa käytetty aineisto oli suuri, mutta on muistettava, että tutkimusasetelmat eivät ole täysin vertailukelpoisia. Joka tapauksessa fytomassaestimaattien epävarmuuksia on tutkittava jatkossa huomattavasti laajemmin

Metric Stabilization of Invariants for Topological Persistence

Rank or the minimal number of generators is a natural invariant attached to any n-dimensional persistent vector space. However, rank is highly unstable. Building an algorithmic framework for stabilizing the rank in one-dimensional persistence and proving its usefulness in concrete data analysis are the main objectives of this thesis. Studied stabilization process relies on choosing a pseudometric between tame persistent vector spaces. This allows to minimize the rank of a persistent vector space in larger and larger neighbourhoods around it with respect to the chosen pseudometric. The result is the stable rank invariant, a simple non-increasing function from non-negative reals to non-negative reals. We show how the needed pseudometrics arise from so called persistence contours. Contour is a certain function system which can be generated very efficiently and in implementable way by integrating a so called density function from non-negative reals to strictly positive reals. We prove an algorithmic way of computing the stable rank invariant with respect to a chosen contour. The result of the theoretical development is an embedding theorem showing that persistent vector spaces embed into Lebesgue measurable functions through stable rank. The success of persistent homology in data analysis has been largely due to the barcode decomposition and its efficient computation. One result of this thesis is that the barcode decomposition can be proved using the monotonicity of the rank with respect to taking a subspace of persistent vector space. This property of the rank only holds in one-dimensional case. We claim that rank is more fundamental for persistence and barcode is but a technical artifact of its properties. Even though barcode is a powerful tool, progress in persistence theory requires invariants generalizing to multi-dimensional persistence and not relying on decomposition theorems. Recent years have seen active research around mapping barcodes to some representation that enables statistics of results from persistent homology analysis and connects naturally to machine learning algorithms. Our embedding theorem shows that the stable rank provides a connection to machine learning. One of our main results is the full applicability of our pipeline in practical data analysis. We demonstrate how choosing an appropriate contour can enhance results of supervised learning. Contour can also be seen to act as a form of feature selection on the bar decomposition

Menetelmä maankäytön kehityksen ennustamiseen : Pinta-alojen kehitys ja kasvihuonekaasupäästöt vuoteen 2040

Suomessa maankäyttö, maankäytön muutos ja metsätalous -sektori (LULUCF) on merkittävä kasvihuonekaasujen nielu. Koko 2000-luvun sektorin nielu on kattanut yli 30 % Suomen kokonaispäästöistä, nielun ollessa suurimmillaan lähes 60 % muiden kasvihuonekaasusektoreiden päästöistä. EU:n päätökset ja YK:n ilmastosopimukset velvoittavat Suomea raportoimaan vuosittain kasvihuonekaasujen päästöt ja poistumat sekä määrävälein ennusteet päästöjen kehityksestä. Maankäytöstä ja maankäytön muutoksista aiheutuvia kasvihuonekaasupäästöjen ennusteita on laadittu aiemmin historiatietoon perustuen. Nämä ennusteet ovat olleet epävarmoja, koska niiden oletukset ovat sen ajankohdan määrittämät, jota käytetään ennusteen luomiseen. Tämän tutkimuksen tavoitteena oli kehittää menetelmä maankäytön ja maankäytön muutosten ennusteiden luotettavuuden parantamiseksi niin, että ennusteessa käytetään myös muita tietoja kuten väestöennustetta ja yhdyskuntarakennetta historiatietojen lisäksi. Erityisesti tavoitteena oli parantaa rakennettujen alueiden ennustetta. Lähtötietojen tarkentamiseksi ja rakennettujen alueiden ennusteiden osalta tutkimus toteutettiin yhteistyössä Suomen ympäristökeskuksen kanssa. Hankkeessa kehitettiin menetelmä maankäytön ennustamiseen ja tuotettiin kehitetyllä menetelmällä pinta-alaestimaatit, sekä laskettiin kasvihuonekaasujen päästöt ja poistumat vuoteen 2040. Laskentamenetelmässä yhdistettiin Suomen kasvihuonekaasuinventaarion maaluokkatietoja, Suomen ympäristökeskuksen laskentamallin tuottamia tuloksia rakennetulle maalle ja asiantuntijaarvioita maankäytön kehittymisestä mukaan lukien ilmasto- ja energiastrategian linjaukset. Näitä tietoja yhdisteltiin erilaisten pinta-alaskenaarioiden tuottamiseksi. Pinta-alaskenaarioiden mukaan merkittävimmät maankäytössä tapahtuvat muutokset ovat rakennettujen alueiden pinta-alan kasvu ja siitä aiheutuva metsämaan alan vähentyminen. Rakennettuja alueita tulee merkittävästi myös viljelysmaista. Turvetuotantoalojen pinta-ala vähenee suhteellisesti kaikkein eniten verrattuna muihin maankäyttöluokkiin, noin kolmasosan. Maaluokkien pintaalaennusteet poikkeavat huomattavasti siitä, mitä pelkkään historialliseen tietoon perustuvat trendit olisivat tuottaneet. Etenkin rakennettujen alueiden osalta tulokseen vaikuttivat yhdyskuntarakenteen ja väestön kehityksen sisällyttäminen ennusteeseen. Maankäytön ennusteiden mukaisesti laskettiin maankäytöstä ja maankäytön muutoksista aiheutuvat hiilivarastojen muutokset sekä metaani- ja dityppioksidipäästöt. Lisäksi laskettiin metsälannoituksen, typen mineralisaation, kulotuksen ja metsäpalojen päästöt. Metsämaa näyttää edelleen säilyvän LULUCF-sektorin merkittävimpänä luokkana ja nieluna. Metsämaan nielu kasvaa suhteellisen tasaisesti koko ennustetun aikasarjan ajan johtuen puuston kasvun lisääntymisestä. Rakennettujen alueiden päästöt kasvavat hieman johtuen pinta-alojen kasvusta tasaantuen kuitenkin 2030-luvun loppupuolella. Kosteikkojen päästöt puolestaan pienenevät hieman lähinnä turvetuotannon päästöjen pienenemisen vuoksi. Viljelysmaan kokonaispäästöt kasvavat, koska eloperäisten maiden osuus peltomaasta kasvaa. Kasvihuonekaasupäästöjen projektiot saadaan tällä menetelmällä laadittua riittävän suurella tarkkuudella esimerkiksi EU:n politiikkatoimien vaikuttavuuden raportointia varten. Epävarmuudet ovat kuitenkin suuret, koska monet tekijät voivat vaikuttaa maanomistajien maankäyttöpäätöksiin tulevina vuosina. Mahdollisten uusien politiikkatoimen sisällyttäminen ennusteisiin edellyttää sekä pinta-alojen arvioinnin että päästölaskennan edelleen kehittämistä.201

A topological data analysis based classification method for multiple measurements

HR was partly supported by a collaboration agreement between the University of Aberdeen and EPFL. WC was partially supported by VR 2014-04770 and Wallenberg AI, Autonomous System and Software Program (WASP) funded by Knut and Alice Wallenberg Foundation, Göran Gustafsson Stiftelse. JT is fully funded by the Wenner-Gren Foundation. JH is partially supported by VR K825930053. RR is partially supported by MultipleMS. The collaboration agreement between EPFL and University of Aberdeen played a role in the design of the neuron spiking analysis and in providing the data required, i.e. the neuronal network and the spiking activity. Open access funding provided by Karolinska Institute.Peer reviewedPublisher PD

The effect of topography on arctic-alpine aboveground biomass and NDVI patterns

Topography is a key factor affecting numerous environmental phenomena, including Arctic and alpine aboveground biomass (AGB) distribution. Digital Elevation Model (DEM) is a source of topographic information which can be linked to local growing conditions. Here, we investigated the effect of DEM derived variables, namely elevation, topographic position, radiation and wetness on AGB and Normalized Difference Vegetation Index (NDVI) in a Fennoscandian forest–alpine tundra ecotone. Boosted regression trees were used to derive non-parametric response curves and relative influences of the explanatory variables. Elevation and potential incoming solar radiation were the most important explanatory variables for both AGB and NDVI. In the NDVI models, the response curves were smooth compared with AGB models. This might be caused by large contribution of field and shrub layer to NDVI, especially at the treeline. Furthermore, radiation and elevation had a significant interaction, showing that the highest NDVI and biomass values are found from low-elevation, high-radiation sites, typically on the south-southwest facing valley slopes. Topographic wetness had minor influence on AGB and NDVI. Topographic position had generally weak effects on AGB and NDVI, although protected topographic position seemed to be more favorable below the treeline. The explanatory power of the topographic variables, particularly elevation and radiation demonstrates that DEM-derived land surface parameters can be used for exploring biomass distribution resulting from landform control on local growing conditions.Topography is a key factor affecting numerous environmental phenomena, including Arctic and alpine aboveground biomass (AGB) distribution. Digital Elevation Model (DEM) is a source of topographic information which can be linked to local growing conditions. Here, we investigated the effect of DEM derived variables, namely elevation, topographic position, radiation and wetness on AGB and Normalized Difference Vegetation Index (NDVI) in a Fennoscandian forest–alpine tundra ecotone. Boosted regression trees were used to derive non-parametric response curves and relative influences of the explanatory variables. Elevation and potential incoming solar radiation were the most important explanatory variables for both AGB and NDVI. In the NDVI models, the response curves were smooth compared with AGB models. This might be caused by large contribution of field and shrub layer to NDVI, especially at the treeline. Furthermore, radiation and elevation had a significant interaction, showing that the highest NDVI and biomass values are found from low-elevation, high-radiation sites, typically on the south-southwest facing valley slopes. Topographic wetness had minor influence on AGB and NDVI. Topographic position had generally weak effects on AGB and NDVI, although protected topographic position seemed to be more favorable below the treeline. The explanatory power of the topographic variables, particularly elevation and radiation demonstrates that DEM-derived land surface parameters can be used for exploring biomass distribution resulting from landform control on local growing conditions.Peer reviewe