An Effective Construction for Cut-And-Project Rhombus Tilings with Global n-Fold Rotational Symmetry

We give an explicit and effective construction for rhombus cut-and-project tilings with global n-fold rotational symmetry for any n. This construction is based on the dualization of regular n-fold multigrids. The main point is to prove the regularity of these multigrids, for this we use a result on trigonometric diophantine equations. A SageMath program that computes these tilings and outputs svg files is publicly available in [Lutfalla, 2021]

Geometrical Penrose Tilings are characterized by their 1-atlas

Rhombus Penrose tilings are tilings of the plane by two decorated rhombi such that the decoration match at the junction between two tiles (like in a jigsaw puzzle). In dynamical terms, they form a tiling space of finite type. If we remove the decorations, we get, by definition, a sofic tiling space that we here call geometrical Penrose tilings. Here, we show how to compute the patterns of a given size which appear in these tilings by two different method: one based on the substitutive structure of the Penrose tilings and the other on their definition by the cut and projection method. We use this to prove that the geometrical Penrose tilings are characterized by a small set of patterns called vertex-atlas, i.e., they form a tiling space of finite type. Though considered as folk, no complete proof of this result has been published, to our knowledge

Planar Rosa : a family of quasiperiodic substitution discrete plane tilings with 2n2n-fold rotational symmetry

We present Planar Rosa, a family of rhombus tilings with a $2n$-fold rotational symmetry that are generated by a primitive substitution and that are also discrete plane tilings, meaning that they are obtained as a projection of a higher dimensional discrete plane. The discrete plane condition is a relaxed version of the cut-and-project condition. We also prove that the Sub Rosa substitution tilings with $2n$-fold rotational symmetry defined by Kari and Rissanen do not satisfy even the weaker discrete plane condition. We prove these results for all even $n\geq 4$. This completes our previously published results for odd values of $n$

A bit of topology on geometrical tilings

International audienc

Substitution discrete planes

A tiling is a covering of the plane by tiles which do not overlap. We are mostly interested in edge-to-edge rhombus tilings, this means that the tiles are unit rhombuses and any two tiles either do not intersect at all, intersect on a single common vertex or along a full common edge. Substitutions are applications that to each tile associate a patch of tiles (which usually has the same shape as the original tile but bigger), a substi- tution can be extended to tilings by applying it to each tile and gluing the obtained patches together. Substitutions are a way to grow and define tilings with a strong hierarchical structure. Discrete planes are edge-to-edge rhombus tilings with finitely many edge directions that can be lifted in Rn and which approximate a plane in Rn, such a tiling is also called planar. Note that discrete planes are a relaxed version of cut-and-project tilings. In this thesis we mostly study edge-to-edge substitution rhombus tilings lifted in Rn. We prove that the Sub Rosa tilings are not discrete planes, the Sub Rosa tilings are edge-to-edge substitution rhombus tilings with n-fold rotational symmetry that were defined by Jarkko Kari and Markus Rissa- nen [KR16] and which were good candidates for being discrete planes. We define a new family of tilings which we call the Planar Rosa tilings which are subsitution discrete planes with n-fold rotational symmetry.We also study the multigrid method which is a construction for cut- and-project tiling and we give an explicit construction for cut-and-project rhombus tilings with global n-fold rotational symmetry.Un pavage est un recouvrement du plan par des tuiles qui ne se chevauchent pas. Nous nous intéressons principalement aux pavages dont les tuiles sont des losanges unitaires et qui sont exacts c’est à dire que si on prend deux tuiles dans le pavage soit elles ne se touchent pas, soit elles ont un unique sommet en commun, soit elles ont une arête entière en commun. Les substitutions sont des applications qui à chaque tuile associent un ensemble de tuiles appelé motif (dont la forme est habituellement la même que celle de la tuile initiale mais en plus grand), une substitution peut être étendue aux pavages en l’appliquant à chaque tuile séparément et en recollant les motifs obtenus. Les substitutions permettent de construire des pavages avec une forte structure hiérarchique. Les plans discrets sont des pavages exacts par losanges unitaires avec un nombre fini de directions d’arêtes n que l’on peut relever dans Rn et qui lorsqu’on les relève approximent un plan. On dit aussi pavages planaires pour plans discrets. Notons que les plans discrets sont une version relâchée des pavages coupe-et-projections. Dans cette thèse nous étudions principalement les pavages substitutifs par losange relevés dans Rn. Nous prouvons que les pavages Sub Rosa ne sont pas des plans discrets, les pavages Sub Rosa sont des pavages substitutifs par losange avec symétrie rotationnelle d’ordre n qui ont été définis par Jarkko Kari et Markus Rissanen [KR16] et qui étaient de bons candidats pour être des plans discrets. Nous définissons une nouvelle famille de pavages que l’on appelle les pavages Planar Rosa qui sont des plans discrets substitutifs avec symétrie rotationnelle d’ordre n. Nous étudions aussi la méthode de la multigrille qui permet de construire des pavages coupe-et-projection. On utilise cette méthode pour donner une construction explicite pour des pavages coupe-et-projection par losanges avec symétrie rotationnelle globale d’ordre n

Substitution discrete planes

A tiling is a covering of the plane by tiles which do not overlap. We are mostly interested in edge-to-edge rhombus tilings, this means that the tiles are unit rhombuses and any two tiles either do not intersect at all, intersect on a single common vertex or along a full common edge. Substitutions are applications that to each tile associate a patch of tiles (which usually has the same shape as the original tile but bigger), a substi- tution can be extended to tilings by applying it to each tile and gluing the obtained patches together. Substitutions are a way to grow and define tilings with a strong hierarchical structure. Discrete planes are edge-to-edge rhombus tilings with finitely many edge directions that can be lifted in Rn and which approximate a plane in Rn, such a tiling is also called planar. Note that discrete planes are a relaxed version of cut-and-project tilings. In this thesis we mostly study edge-to-edge substitution rhombus tilings lifted in Rn. We prove that the Sub Rosa tilings are not discrete planes, the Sub Rosa tilings are edge-to-edge substitution rhombus tilings with n-fold rotational symmetry that were defined by Jarkko Kari and Markus Rissa- nen [KR16] and which were good candidates for being discrete planes. We define a new family of tilings which we call the Planar Rosa tilings which are subsitution discrete planes with n-fold rotational symmetry.We also study the multigrid method which is a construction for cut- and-project tiling and we give an explicit construction for cut-and-project rhombus tilings with global n-fold rotational symmetry.Un pavage est un recouvrement du plan par des tuiles qui ne se chevauchent pas. Nous nous intéressons principalement aux pavages dont les tuiles sont des losanges unitaires et qui sont exacts c’est à dire que si on prend deux tuiles dans le pavage soit elles ne se touchent pas, soit elles ont un unique sommet en commun, soit elles ont une arête entière en commun. Les substitutions sont des applications qui à chaque tuile associent un ensemble de tuiles appelé motif (dont la forme est habituellement la même que celle de la tuile initiale mais en plus grand), une substitution peut être étendue aux pavages en l’appliquant à chaque tuile séparément et en recollant les motifs obtenus. Les substitutions permettent de construire des pavages avec une forte structure hiérarchique. Les plans discrets sont des pavages exacts par losanges unitaires avec un nombre fini de directions d’arêtes n que l’on peut relever dans Rn et qui lorsqu’on les relève approximent un plan. On dit aussi pavages planaires pour plans discrets. Notons que les plans discrets sont une version relâchée des pavages coupe-et-projections. Dans cette thèse nous étudions principalement les pavages substitutifs par losange relevés dans Rn. Nous prouvons que les pavages Sub Rosa ne sont pas des plans discrets, les pavages Sub Rosa sont des pavages substitutifs par losange avec symétrie rotationnelle d’ordre n qui ont été définis par Jarkko Kari et Markus Rissanen [KR16] et qui étaient de bons candidats pour être des plans discrets. Nous définissons une nouvelle famille de pavages que l’on appelle les pavages Planar Rosa qui sont des plans discrets substitutifs avec symétrie rotationnelle d’ordre n. Nous étudions aussi la méthode de la multigrille qui permet de construire des pavages coupe-et-projection. On utilise cette méthode pour donner une construction explicite pour des pavages coupe-et-projection par losanges avec symétrie rotationnelle globale d’ordre n

Substitution discrete planes

Un pavage est un recouvrement du plan par des tuiles qui ne se chevauchent pas. Nous nous intéressons principalement aux pavages dont les tuiles sont des losanges unitaires et qui sont exacts c’est à dire que si on prend deux tuiles dans le pavage soit elles ne se touchent pas, soit elles ont un unique sommet en commun, soit elles ont une arête entière en commun. Les substitutions sont des applications qui à chaque tuile associent un ensemble de tuiles appelé motif (dont la forme est habituellement la même que celle de la tuile initiale mais en plus grand), une substitution peut être étendue aux pavages en l’appliquant à chaque tuile séparément et en recollant les motifs obtenus. Les substitutions permettent de construire des pavages avec une forte structure hiérarchique. Les plans discrets sont des pavages exacts par losanges unitaires avec un nombre fini de directions d’arêtes n que l’on peut relever dans Rn et qui lorsqu’on les relève approximent un plan. On dit aussi pavages planaires pour plans discrets. Notons que les plans discrets sont une version relâchée des pavages coupe-et-projections. Dans cette thèse nous étudions principalement les pavages substitutifs par losange relevés dans Rn. Nous prouvons que les pavages Sub Rosa ne sont pas des plans discrets, les pavages Sub Rosa sont des pavages substitutifs par losange avec symétrie rotationnelle d’ordre n qui ont été définis par Jarkko Kari et Markus Rissanen [KR16] et qui étaient de bons candidats pour être des plans discrets. Nous définissons une nouvelle famille de pavages que l’on appelle les pavages Planar Rosa qui sont des plans discrets substitutifs avec symétrie rotationnelle d’ordre n. Nous étudions aussi la méthode de la multigrille qui permet de construire des pavages coupe-et-projection. On utilise cette méthode pour donner une construction explicite pour des pavages coupe-et-projection par losanges avec symétrie rotationnelle globale d’ordre n.A tiling is a covering of the plane by tiles which do not overlap. We are mostly interested in edge-to-edge rhombus tilings, this means that the tiles are unit rhombuses and any two tiles either do not intersect at all, intersect on a single common vertex or along a full common edge. Substitutions are applications that to each tile associate a patch of tiles (which usually has the same shape as the original tile but bigger), a substi- tution can be extended to tilings by applying it to each tile and gluing the obtained patches together. Substitutions are a way to grow and define tilings with a strong hierarchical structure. Discrete planes are edge-to-edge rhombus tilings with finitely many edge directions that can be lifted in Rn and which approximate a plane in Rn, such a tiling is also called planar. Note that discrete planes are a relaxed version of cut-and-project tilings. In this thesis we mostly study edge-to-edge substitution rhombus tilings lifted in Rn. We prove that the Sub Rosa tilings are not discrete planes, the Sub Rosa tilings are edge-to-edge substitution rhombus tilings with n-fold rotational symmetry that were defined by Jarkko Kari and Markus Rissa- nen [KR16] and which were good candidates for being discrete planes. We define a new family of tilings which we call the Planar Rosa tilings which are subsitution discrete planes with n-fold rotational symmetry.We also study the multigrid method which is a construction for cut- and-project tiling and we give an explicit construction for cut-and-project rhombus tilings with global n-fold rotational symmetry

Geometrical Penrose Tilings have Finite Type

Rhombus Penrose tilings are tilings of the plane by two decorated rhombi such that the decoration match at the junction between two tiles (like in a jigsaw puzzle). In dynamical terms, they form a tiling space of finite type. If we remove the decorations, we get, by definition, a sofic tiling space that we here call geometrical Penrose tilings. Here, we show how to compute the patterns of a given size which appear in these tilings by two different method: one based on the substitutive structure of the Penrose tilings and the other on their definition by the cut and projection method. We use this to prove that the geometrical Penrose tilings are characterized by a small set of patterns called vertex-atlas, i.e., they form a tiling space of finite type. Though considered as folk, no complete proof of this result has been published, to our knowledge