On the average of some arithmetical functions under a constraint on the sum of digits of squares

Dedicated to my parents Hédi and Wiem for their endless support, with love.International audienceLet q >= 2 be an integer and S-q(n) denote the sum of the digits in base q of the positive integer n. We look for an estimate of the average of some multiplicative arithmetical functions defined by sums over divisors d of n satisfying S-q(d(2)) r mod m for some integers r and m

Arithmetical and combinatorial properties of the sum of digits function

L'objet de cette thèse est l'étude de certaines propriétés arithmétiques et combinatoires de la fonction somme des chiffres. Nous commençons par étudier les sommes d'exponentielles de la forme [∑{n≤x}]exp(2iπ((l/m)Sq(n)+(k/m’)Sq(n+1)+θn)) en vue de montrer un résultat d'équirépartition modulo 1 et un théorème probabiliste d'Erdős-Kac. Ensuite, on va généraliser un problème dû à Gelfond concernant l'étude de la répartition dans les progressions arithmétiques de la fonction somme des chiffres au cas des nombres ellipséphiques. En particulier, on donne un théorème analogue à celui d'Erdős, Mauduit et Sárközy sur l'uniforme répartition des entiers ellipséphiques dans les progressions arithmétiques sous une contrainte sur la somme des chiffres. Enfin, une étude de l'ordre moyen de certaines fonctions arithmétiques soumises à des contraintes digitales est faite en conséquence des travaux de Mkaouar et Wannès.The aim of this thesis is the study of some arithmetic and combinatoric properties of the sum of digits function. We start by the study of exponential sums of the form [∑{n≤x}]exp(2iπ((l/m)Sq(n)+(k/m’)Sq(n+1)+θn)) in order to establish a result of equidistribution modulo 1 in addition to a probabilistic theorem of the kind Erdős-Kac. Then, we generalize a problem due to Gelfond concerning the distribution in residue classes of the sum of digits function in the case of integers with missing digits. Besides, we give a similar result to that of Erdős, Mauduit and Sárközy on the uniform distribution of integers with missing digits in arithmetic progressions under a constraint on the sum of digits. Finally, a study of the order of magnitude of some arithmetical functions under digital constraints is done as a consequence of the works of Mkaouar and Wannès

Somme des chiffres et répartition dans les classes de congruence pour les palindromes ellipséphiques

International audienceWe generalize several results concerning the distribution in residue classes of the sum of digits function to the case of palindromes with missing digits.L’objet de cet article est de généraliser plusieurs résultats concernant la répartition dans les progressions arithmétiques de la fonction somme des chiffres au cas des nombres palindromes ellipséphiques

Répartition simultanée de S(n) et S(n+1) dans les progressions arithmétiques

International audienceIf q≥2 is an integer, we denote by Sq(n) the sum of the digits in base q of the positive integer n and by vq(n) its q-adic valuation. The goal of this work is to study exponential sums of the form ∑n≤xexp(2iπ(lmSq(n)+km′Sq(n+1)+θn)) in order to prove some statistical properties of integers n for which Sq(n) and Sq(n+1) belong to given arithmetic progressions. This extends the results obtained by Gelfond in 1968 and those obtained by Mauduit–Sárközy in 1996.Si q≥2 est un nombre entier, on désigne par Sq(n) la somme des chiffres en base q du nombre entier naturel n et par vq(n) sa valuation q-adique. L’objectif de cet article est d’étudier des sommes d’exponentielles de la forme ∑n≤xexp(2iπ(lmSq(n)+km′Sq(n+1)+θn)) afin d’en déduire certaines propriétés statistiques des nombres entiers n pour lesquels Sq(n) et Sq(n+1) appartiennent à des progressions arithmétiques données. Ceci permet d’étendre les résultats obtenus par Gelfond en 1968 et ceux obtenus par Mauduit-Sárközy en 1996

On the binary digits of n and n²

The authors would like to thank Lukas Spiegelhofer for discussions and a very useful C-program.Let s(n) denote the sum of digits in the binary expansion of the integer n. Hare, Laishram and Stoll (2011) studied the number of odd integers such that s(n) = s(n^2) = k, for a given integer k ≥ 1. The remaining cases that could not be treated by theses authors were k ∈ {9, 10, 11, 14, 15}. In this paper we show that there is only a finite number of solutions for k ∈ {9, 10, 11} and comment on the difficulties to settle the two remaining cases k ∈ {14, 15}. A related problem is to study the solutions of s(n^2) = 4 for odd integers. Bennett, Bugeaud and Mignotte (2012) proved that there are only finitely many solutions and conjectured that n = 13, 15, 47, 111 are the only solutions. In this paper, we give an algorithm to find all solutions with fixed sum of digits value, supporting this conjecture, as well as show related results for s(n^2) = 5