Long time well-posedness and full justification of a Whitham-Green-Naghdi system

We establish the full justification of a "Whitham-Green-Naghdi" system modeling the propagation of surface gravity waves with bathymetry in the shallow water regime. It is an asymptotic model of the water waves equations with the same dispersion relation. The model under study is a nonlocal quasilinear symmetrizable hyperbolic system without surface tension. We prove the consistency of the general water waves equations with our system at the order of precision $O(\mu^2 (\varepsilon + \beta))$, where $\mu$ is the shallow water parameter, $\varepsilon$ the nonlinearity parameter, and $\beta$ the topography parameter. Then we prove the long time well-posedness on a time scale $O(\frac{1}{\max\{\varepsilon,\beta\}})$. Lastly, we show the convergence of the solutions of the Whitham-Green-Naghdi system to the ones of the water waves equations on the later time scale

Rigorous derivation of weakly dispersive shallow water models with large amplitude topography variations

We derive new irrotational shallow water models for the propagation of surface waves in the case of strong variable topography. We expect that such models can prove to be useful when studying the propagation of waves above obstacles. In this situation, there can be a change of behavior, where the waves pass from a long wave regime to a weakly non-linear one. To that purpose, we construct multi-scale approximations of the Dirichlet-Neumann operator. Then, we make use of them to rigorously derive models of the Whitham type which are precise at the order $O(\mu\varepsilon +\mu^2\beta^2)$ or $O(\mu^2\varepsilon+\mu \varepsilon \beta+ \mu^2\beta^2)$. Here $\mu$, $\varepsilon$, and $\beta$ denote the shallow water parameter, the nonlinear parameter, and the bathymetry parameter

Well-posedness for a molecular beam epitaxy model

We study a general molecular beam epitaxy (MBE) equation modeling the epitaxial growth of thin films. We show that, in the deterministic case, the associated Cauchy problem admits a unique smooth solution for all time, given initial data in the space $X_0 = L^{2}(R^{d}) \cap \dot{W}^{1,4}(R^{d})$ with $d = 1, 2$. This improves a recent result by Ag\'elas, who established global existence in $H^{3}(R^{d})$. Moreover, we investigate the local existence and uniqueness of solutions in the space $X_0$ for the stochastic MBE equation, with an additive noise that is white in time and regular in the space variable

Modèles de type dispersion complète en océanographie côtière

This thesis is on the rigorous justification of full dispersion models in coastal oceanography. The first full dispersion model was introduced by G. Whitham in 1967 to study the Stokes waves of maximal amplitude and the wavebreaking phenomenon. It is a full dispersion modification of the Korteweg-de Vries equations which have the same dispersion relation as the general water-waves model. Afterwards, numerous unidirectional and bidirectional full dispersion models were introduced in the litterature. In the first part of the thesis, we use classical techniques on free surface elliptic equations to derive rigorously some Whitham-Boussinesq and Whitham-Green-Naghdi models. In the second part, we justify rigorously a class of non-local quasi-linear Whitham-Boussinesq systems. In the next part, we justify rigorously Whitham's model using two different methods. One is adapted to the propagation of unidirectional waves and use pseudo-differential calculus. The other is adapted to the propagation of bidirectionnal waves. It is based on a generalisation of Birkhoff's normal form algorithm. In the last part, we study numerically the validity of the Saint-Venant and Boussinesq models for the propagation of tsunamis generated by landslides.Cette thèse porte sur la justification rigoureuse de modèles de type dispersion complète en océanographie côtière. Le premier modèle de ce type est celui de G. Whitham, introduit en 1967 afin d'étudier les vagues de Stokes d'amplitude maximale et le phénomène de vagues surplombantes. Il consiste en une modification des équations de Korteweg-de Vries ayant la même relation de dispersion que celle des équations des vagues. Par la suite, de nombreux modèles de type dispersion complète, unidirectionnels comme bidirectionnels, ont été introduits dans la littérature. Dans une première partie, nous utilisons des techniques classiques d'approximations de solutions d'équations elliptiques afin de dériver des modèles de Whitham-Boussinesq et de Whitham-Green-Naghdi. Ensuite, nous justifions complètement une classe de modèles de Whitham-Boussinesq présentant une structure d'équations quasi-linéaires non-locales. Dans une partie suivante, nous justifions le modèle de Whitham en utilisant deux méthodes différentes. L'une est adaptée à la propagation de vagues unidirectionnelles, et utilise le calcul pseudo-différentiel. L'autre est adaptée à la propagation de vagues bidirectionnelles, et est basée sur une généralisation de l'algorithme de la forme normale de Birkhoff. Dans la dernière partie, nous étudions numériquement la validité des modèles de Boussinesq et de Saint-Venant pour la propagation de tsunamis générés par des glissements de terrain

Full dispersion models in coastal oceanography

Cette thèse porte sur la justification rigoureuse de modèles de type dispersion complète en océanographie côtière. Le premier modèle de ce type est celui de G. Whitham, introduit en 1967 afin d'étudier les vagues de Stokes d'amplitude maximale et le phénomène de vagues surplombantes. Il consiste en une modification des équations de Korteweg-de Vries ayant la même relation de dispersion que celle des équations des vagues. Par la suite, de nombreux modèles de type dispersion complète, unidirectionnels comme bidirectionnels, ont été introduits dans la littérature. Dans une première partie, nous utilisons des techniques classiques d'approximations de solutions d'équations elliptiques afin de dériver des modèles de Whitham-Boussinesq et de Whitham-Green-Naghdi. Ensuite, nous justifions complètement une classe de modèles de Whitham-Boussinesq présentant une structure d'équations quasi-linéaires non-locales. Dans une partie suivante, nous justifions le modèle de Whitham en utilisant deux méthodes différentes. L'une est adaptée à la propagation de vagues unidirectionnelles, et utilise le calcul pseudo-différentiel. L'autre est adaptée à la propagation de vagues bidirectionnelles, et est basée sur une généralisation de l'algorithme de la forme normale de Birkhoff. Dans la dernière partie, nous étudions numériquement la validité des modèles de Boussinesq et de Saint-Venant pour la propagation de tsunamis générés par des glissements de terrain.This thesis is on the rigorous justification of full dispersion models in coastal oceanography. The first full dispersion model was introduced by G. Whitham in 1967 to study the Stokes waves of maximal amplitude and the wavebreaking phenomenon. It is a full dispersion modification of the Korteweg-de Vries equations which have the same dispersion relation as the general water-waves model. Afterwards, numerous unidirectional and bidirectional full dispersion models were introduced in the litterature. In the first part of the thesis, we use classical techniques on free surface elliptic equations to derive rigorously some Whitham-Boussinesq and Whitham-Green-Naghdi models. In the second part, we justify rigorously a class of non-local quasi-linear Whitham-Boussinesq systems. In the next part, we justify rigorously Whitham's model using two different methods. One is adapted to the propagation of unidirectional waves and use pseudo-differential calculus. The other is adapted to the propagation of bidirectionnal waves. It is based on a generalisation of Birkhoff's normal form algorithm. In the last part, we study numerically the validity of the Saint-Venant and Boussinesq models for the propagation of tsunamis generated by landslides

Rigorous derivation of the Whitham equations from the water waves equations in the shallow water regime

International audienceWe derive the Whitham equations from the water waves equations in the shallow water regime using two different methods, thus obtaining a direct and rigorous link between these two models. The first one is based on the construction of approximate Riemann invariants for a Whitham-Boussinesq system and is adapted to unidirectional waves. The second one is based on a generalisation of Birkhoff's normal form algorithm for almost smooth Hamiltonians and is adapted to bidirectional propagation. In both cases we clarify the improved accuracy on the fully dispersive Whitham model with respect to the long wave Korteweg-de Vries approximation

Modèles de type dispersion complète en océanographie côtière

This thesis is on the rigorous justification of full dispersion models in coastal oceanography. The first full dispersion model was introduced by G. Whitham in 1967 to study the Stokes waves of maximal amplitude and the wavebreaking phenomenon. It is a full dispersion modification of the Korteweg-de Vries equations which have the same dispersion relation as the general water-waves model. Afterwards, numerous unidirectional and bidirectional full dispersion models were introduced in the litterature. In the first part of the thesis, we use classical techniques on free surface elliptic equations to derive rigorously some Whitham-Boussinesq and Whitham-Green-Naghdi models. In the second part, we justify rigorously a class of non-local quasi-linear Whitham-Boussinesq systems. In the next part, we justify rigorously Whitham's model using two different methods. One is adapted to the propagation of unidirectional waves and use pseudo-differential calculus. The other is adapted to the propagation of bidirectionnal waves. It is based on a generalisation of Birkhoff's normal form algorithm. In the last part, we study numerically the validity of the Saint-Venant and Boussinesq models for the propagation of tsunamis generated by landslides.Cette thèse porte sur la justification rigoureuse de modèles de type dispersion complète en océanographie côtière. Le premier modèle de ce type est celui de G. Whitham, introduit en 1967 afin d'étudier les vagues de Stokes d'amplitude maximale et le phénomène de vagues surplombantes. Il consiste en une modification des équations de Korteweg-de Vries ayant la même relation de dispersion que celle des équations des vagues. Par la suite, de nombreux modèles de type dispersion complète, unidirectionnels comme bidirectionnels, ont été introduits dans la littérature. Dans une première partie, nous utilisons des techniques classiques d'approximations de solutions d'équations elliptiques afin de dériver des modèles de Whitham-Boussinesq et de Whitham-Green-Naghdi. Ensuite, nous justifions complètement une classe de modèles de Whitham-Boussinesq présentant une structure d'équations quasi-linéaires non-locales. Dans une partie suivante, nous justifions le modèle de Whitham en utilisant deux méthodes différentes. L'une est adaptée à la propagation de vagues unidirectionnelles, et utilise le calcul pseudo-différentiel. L'autre est adaptée à la propagation de vagues bidirectionnelles, et est basée sur une généralisation de l'algorithme de la forme normale de Birkhoff. Dans la dernière partie, nous étudions numériquement la validité des modèles de Boussinesq et de Saint-Venant pour la propagation de tsunamis générés par des glissements de terrain

Rigorous derivation from the water waves equations of some full dispersion shallow water models

International audienceIn order to improve the frequency dispersion effects of irrotational shallow water models in coastal oceanography, several full dispersion versions of classical models were formally derived in the literature. The idea, coming from G. Whitham in [21], was to modify them so that their dispersion relation is the same as the water waves equations. In this paper we construct new shallow water approximations of the velocity potential then deducing ones on the vertically averaged horizontal component of the velocity. We make use of them to derive rigorously from the water waves equations two new Hamiltonian full dispersion models. This provides for the first time non-trivial precision results characterizing the order of approximation of the full dispersion models. They are non-trivial in the sense that they are better than the ones for the corresponding classical models

Appealing to common humanity increases forgiveness but reduces collective action among victims of historical atrocities

Appealing to common humanity is often suggested as a method of uniting victims and perpetrators of historical atrocities. In the present experiment (N=109), we reveal that this strategy may actually work against victim groups' best interests. Appealing to common humanity (versus intergroup identity) increased forgiveness of perpetrators but independently also served to lower intentions to engage in collective action. Both effects were mediated but not moderated by reduced identification with the victim group. We, thus reveal an important feature of appeals to common humanity: That this strategy may reduce social change at the same time as helping to promote more positive intergroup attitudes. These novel findings extend research on the human identity to a new theoretically interesting and socially important domain

Comparison of models for the simulation of landslide generated tsunamis

Dans cet article, nous analysons la pertinence de l'utilisation de modèles intégrés suivant la verticale tels que le modèle de Saint-Venant et le modèle de Boussinesq pour simuler les tsunamis générés par un glissement de terrain. Dans une première partie, nous déterminons si les deux modèles sont capables de reproduire les vagues générées par un glissement de terrain. Chaque modèle présente des inconvénients mais il semble qu'il soit possible de les utiliser ensemble pour améliorer les simulations. Dans une deuxième partie, nous essayons de retrouver le déplacement du glissement de terrain à partir de la vague générée. Ce problème a été formulé comme un problème de minimisation et nous limitons le nombre de paramètres à déterminer en supposant que le fond peut être bien décrit par une loi empirique.In this paper, we analyze the relevance of the use of the shallow water model and the Boussinesq model to simulate tsunamis generated by a landslide. In a first part, we determine if the two models are able to reproduce waves generated by a landslide. Each model has drawbacks but it seems that it is possible to use them together to improve the simulations. In a second part we try to recover the landslide displacement from the generated wave. This problem is formulated as a minimization problem and we limit the number of parameters to determine assuming that the bottom can be well described by an empirical law