Finite Larmor radius approximation for collisional magnetic confinement. Part I: The linear Boltzmann equation

International audienceThe subject matter of this paper concerns the derivation of the finite Lar-mor radius approximation, when collisions are taken into account. Several studies are performed, corresponding to different collision kernels : the relaxation and the Fokker-Planck operators. Gyroaveraging the relaxation operator leads to a position-velocity integral operator, whereas gyroaveraging the linear Fokker-Planck operator leads to diffusion in velocity but also with respect to the perpendicular position coordinates

Approximation de rayon de Larmor fini pour les plasmas magnétisés collisionnels. Finite Larmor radius approximation for collisional magnetized plasmas

International audienceIn this Note, we present the derivation of the finite Larmor radius approximation, when collisions are taken into account. We concentrate on the Boltzmann relaxation operator whose study reduces to the gyroaverage computation of velocity convolutions, which are detailed here. We emphasize that the resulting gyroaverage collision kernel is not local in space anymore and that the standard physical properties (i.e., mass balance, entropy inequality) hold true only globally in space and velocity. This work is a first step in this direction and it will allow us to handle more realistic collisional mechanisms, like the Fokker-Planck or Fokker-Planck-Landau kernels (Bostan and Caldini-Queiros (submitted for publication))Cette note présente la dérivation de l'approximation de rayon de Larmor fini, en prenant en compte les collisions. On se concentre sur le noyau linéaire de Boltzmann, de relaxation. Le principal sujet en est la recherche d'une expression explicite pour la gyromoyenne de cet opérateur,ce qui revient à analyser la gyromoyenne d'une convolution en vitesse. On note que l'opérateur moyenné qui en résulte n'est plus local en espace et que les propriétés physiques standards ( i.e. conservation de la masse et inégalité d'entropie) sont vérifiées seulement globalement en espace et vitesse. C'est un premier travail qui nous permettra d'aborder d'autres modèles plus réalistes pour la physique des plasmas, comme les noyaux de Fokker-Planck ou Fokker-Planck-Landau

Approximation de rayon de Larmor fini pour les plasmas magnétisés collisionnels. Finite Larmor radius approximation for collisional magnetized plasmas

International audienceIn this Note, we present the derivation of the finite Larmor radius approximation, when collisions are taken into account. We concentrate on the Boltzmann relaxation operator whose study reduces to the gyroaverage computation of velocity convolutions, which are detailed here. We emphasize that the resulting gyroaverage collision kernel is not local in space anymore and that the standard physical properties (i.e., mass balance, entropy inequality) hold true only globally in space and velocity. This work is a first step in this direction and it will allow us to handle more realistic collisional mechanisms, like the Fokker-Planck or Fokker-Planck-Landau kernels (Bostan and Caldini-Queiros (submitted for publication))Cette note présente la dérivation de l'approximation de rayon de Larmor fini, en prenant en compte les collisions. On se concentre sur le noyau linéaire de Boltzmann, de relaxation. Le principal sujet en est la recherche d'une expression explicite pour la gyromoyenne de cet opérateur,ce qui revient à analyser la gyromoyenne d'une convolution en vitesse. On note que l'opérateur moyenné qui en résulte n'est plus local en espace et que les propriétés physiques standards ( i.e. conservation de la masse et inégalité d'entropie) sont vérifiées seulement globalement en espace et vitesse. C'est un premier travail qui nous permettra d'aborder d'autres modèles plus réalistes pour la physique des plasmas, comme les noyaux de Fokker-Planck ou Fokker-Planck-Landau

Analyse mathématique et numérique de modèles gyrocinétiques

The main subject of this thesis is the gyro-kinetic equation. We present a rigourousdeveloppement of the Vlasov equation limits with different collision operator in a strongmagnetic field and numerical methods.We start with a study of the gyro-average operator. The average operator has been introduced byM. Bostan in the case of an equation where part of the transport is highly penalised. Then weapply our results at the two approximation we study : the finite Larmor radius approximation andthe guiding-center approximation.We first focus on the precise and explicit computation of the Fokker-Planck-Landau operatoraverage in the finite Larmor radius approximation. The Fokker-Planck-Landau operator containsconvolution and diffusion terms, it is then reasonable to first compute the average of theBoltzmann relaxation operator.We then focus on the guiding-center approximation and present a numerical scheme based on amicro-macro decomposition of the particles distribution fonction which comes from a joint workwith N. Crouseilles and M. Lemou. We obtain a scheme which is uniformly consistant with thecontinuous model for any order of the magnetic field. Numerical simulation based on thisapproach are presented.The last chapter of this thesis presents a project which was realised during the Cemracs 2012concerning the modelisation of blood flow in cerebral veins.Cette thèse porte sur les équations gyro-cinétiques et traite un développement rigoureux deslimites de l'équation de Vlasov avec différents opérateurs de collision dans un champ magnétiquefort, ainsi que du développement de méthodes numériques.On commence par une étude de l'opérateur de moyenne. L'opérateur de moyenne a été développé parM. Bostan dans le cadre général d'une équation pour laquelle une partie du transport estfortement pénalisée. Puis, on applique ces résultats généraux aux deux régimes limites que nousétudions : le régime du rayon de Larmor fini et le régime centre-guide.On s'intéresse au calcul précis et explicite de la moyenne de l'opérateur de Fokker-Planck-Landau. On se place pour cela dans le cas du régime du rayon de Larmor fini. Avant de réaliserles calculs sur l'opérateur de Fokker-Planck-Landau, qui contient des convolutions et des termesde diffusion, il semble raisonnable de calculer la moyenne de l'opérateur de relaxation deBoltzmann, dont l'expression est plus simple.On se place ensuite dans le cas du régime centre-guide et on présente un schéma numérique basésur une décomposition micro-macro de la fonction de distribution des particules qui provientd'un travail en collaboration avec N. Crouseilles et M. Lemou. On obtient un schéma uniformémentconsistant avec le modèle continu, pour tout ordre du champ magnétique. Des simulationsnumériques, basées sur cette approche, ont été réalisées à l'aide d'un code de calcul 2D quel'on a développé durant cette thèse.On présente ensuite un projet réalisé dans le cadre du Cemracs 2012, consacré à la modélisationdes écoulements sanguins dans le réseau veineux cérébral

Mathematical and numerical analysis of gyro-kinetic models

Cette thèse porte sur les équations gyro-cinétiques et traite un développement rigoureux deslimites de l'équation de Vlasov avec différents opérateurs de collision dans un champ magnétiquefort, ainsi que du développement de méthodes numériques.On commence par une étude de l'opérateur de moyenne. L'opérateur de moyenne a été développé parM. Bostan dans le cadre général d'une équation pour laquelle une partie du transport estfortement pénalisée. Puis, on applique ces résultats généraux aux deux régimes limites que nousétudions : le régime du rayon de Larmor fini et le régime centre-guide.On s'intéresse au calcul précis et explicite de la moyenne de l'opérateur de Fokker-Planck-Landau. On se place pour cela dans le cas du régime du rayon de Larmor fini. Avant de réaliserles calculs sur l'opérateur de Fokker-Planck-Landau, qui contient des convolutions et des termesde diffusion, il semble raisonnable de calculer la moyenne de l'opérateur de relaxation deBoltzmann, dont l'expression est plus simple.On se place ensuite dans le cas du régime centre-guide et on présente un schéma numérique basésur une décomposition micro-macro de la fonction de distribution des particules qui provientd'un travail en collaboration avec N. Crouseilles et M. Lemou. On obtient un schéma uniformémentconsistant avec le modèle continu, pour tout ordre du champ magnétique. Des simulationsnumériques, basées sur cette approche, ont été réalisées à l'aide d'un code de calcul 2D quel'on a développé durant cette thèse.On présente ensuite un projet réalisé dans le cadre du Cemracs 2012, consacré à la modélisationdes écoulements sanguins dans le réseau veineux cérébral.The main subject of this thesis is the gyro-kinetic equation. We present a rigourousdeveloppement of the Vlasov equation limits with different collision operator in a strongmagnetic field and numerical methods.We start with a study of the gyro-average operator. The average operator has been introduced byM. Bostan in the case of an equation where part of the transport is highly penalised. Then weapply our results at the two approximation we study : the finite Larmor radius approximation andthe guiding-center approximation.We first focus on the precise and explicit computation of the Fokker-Planck-Landau operatoraverage in the finite Larmor radius approximation. The Fokker-Planck-Landau operator containsconvolution and diffusion terms, it is then reasonable to first compute the average of theBoltzmann relaxation operator.We then focus on the guiding-center approximation and present a numerical scheme based on amicro-macro decomposition of the particles distribution fonction which comes from a joint workwith N. Crouseilles and M. Lemou. We obtain a scheme which is uniformly consistant with thecontinuous model for any order of the magnetic field. Numerical simulation based on thisapproach are presented.The last chapter of this thesis presents a project which was realised during the Cemracs 2012concerning the modelisation of blood flow in cerebral veins

A numerical study of the solution of X-Mode equations around the hybrid resonance*

The hybrid resonance is a physical phenomenon that appears for example in the heating of plasma, and as such is of scientific interest for the development of the ITER project. In this paper we focus on solutions of low regularity to Maxwell equations in magnetized plasmas. Our main purpose is three-fold. First, we aim at investigating the finite element approximation of the frequency-domain problem. Second, we would like to study the resonant solutions in the time domain, with the help of two different finite difference approximations. We finally compare the results with the ones obtained in the frequency domain, by numerical examination of the limiting absorption and limited amplitude principles

A numerical study of the solution of x-mode equations around the hybrid resonance

International audienceHybrid resonance is a physical phenomenon that appears for example in the heating of plasma, and as such is of scientific interest in the development of the ITER project. In this paper we focus some solutions with low regularity of Maxwell equations in plasmas under strong background magnetic field. Our purpose is two-fold. On one hand we investigate the finite element approximation of the one dimensional problem written in the frequency domain, and on the other hand we investigate two different finite difference approximations of the one dimensional time dependent problem. We will also compare the results of these different methods.La résonnance hybride est unphéno ene physique qui apparait par exemple lorsque l'on chauffe un plasma, et ainsi est d'intérêt scientifique dans le cadre du développement du projet ITER. Dans ce papier, nous nous concentrons sur certaines solutions faiblementr égulières de equations de Maxwell pour les plasmas sous l'influence de champ magnétiques forts. Notre but est ici double. D'un côté nou evaluons l'approximation numérique a l'aide des léments finis en une dimension en formulation fréquentielle, et de l'autre nous étudions l'approximation numérique à l'aide de deux méthodes de différences finies pour la formulation temporelle monodimensionelle. Nous comparons les résultats de ces différentes méthodes

Towards large-scale three-dimensional blood flow simulations in realistic geometries

This paper addresses the numerical approximation of uid dynamics problems using various finite element methods including high order methods and high order geometry. The paper is divided in three parts. The first part concerns the various problem formulations and discretization methods we are interested in. Using the Stokes equations as model, several different types of boundary conditions are presented and discussed. The second part deals with describing the high performance framework Feel++ with which we obtained the various numerical results including scalability studies. Finally we display numerical results: we start with convergence properties of the various formulations and associated discretization choices including high order geometries and we finish with a Navier-Stokes simulation within the cerebral venous system