Elementary theory

Potential theory of subordinated Brownian motionsPotential theory and Brownian motion Beginning of potential theory Newton (1687): Law of universal gravitation, study of F (x)-force acting on a unit mass at x ∈ R d, d � 3. Lagrange (1773): The above vector field (of forces) is a gradient of a certain function U: = U2(x) = Ad,2|x | 2−d. Green (1828) named U potential function. Gauss (1840) named U potential. Gauss: potential method is suitable to resolve many complicated problems of mathematical physics, not only problems of gravitation or electrostatics. More generally: for a field generated by a charge located according to a measure µ we define a potential of µ: U2µ(x) = Ad,2 |x − y | 2−d Γ(d/2 − 1

Hitting times of Bessel processes

Let $T_1^{(\mu)}$ be the first hitting time of the point 1 by the Bessel process with index $\mu\in \R$ starting from $x>1$. Using an integral formula for the density $q_x^{(\mu)}(t)$ of $T_1^{(\mu)}$, obtained in Byczkowski, Ryznar (Studia Math., 173(1):19-38, 2006), we prove sharp estimates of the density of $T_1^{(\mu)}$ which exibit the dependence both on time and space variables. Our result provides optimal estimates for the density of the hitting time of the unit ball by the Brownian motion in $\mathbb{R}^n$, which improve existing bounds. Another application is to provide sharp estimates for the Poisson kernel for half-spaces for hyperbolic Brownian motion in real hyperbolic spaces

Poisson kernel of half spaces in real hyperbolic spaces

International audienceWe provide an integral formula for the Poisson kernel of half-spaces for Brownian motion in real hyperbolic space \H^n. This enables us to find asymptotic properties of the kernel. We also show convergence to the Poisson kernel of the whole space \H^n. For n=3, 4 or 6 we compute explicit formulas for the Poisson kernel itself

Harmonic measures of the half-plane and balls for the hyperbolic Brownian motion and Ornstein-Uhlenbeck diffusions

The purpose of the paper is to provide integral representations of the Poisson kernel for a half-space and balls for hyperbolic Brownian motion and for the classical Ornstein-Uhlenbeck process. The method of proof is based on Girsanov's theorem and yields more complete results as those based on Feynmann-Kac technique

Kaszubski Uniwersytet Ludowy w XXI stuleciu – ciągłość i zmiana

The article is an attempt to partially summarize the last two decades of functioning of the Kashubian Folk High School (KFHS) in Wieżyca near Szymbark. The four person author team connected with this non-formal adult education institution tries to pick up from the rich and multi-topic activity of this institution the components that have always been present there in the 21st century, which, de facto, constitutes it identity. These aspects of “lasting duration” include: ideological and axiological foundations, base, local and regional environment, methodological-program elements, both the Grundtvigian ones – developed by all folk high schools (FHS) on the basis of the concept of “school for life”, and the individual ones developed for an individual educational environment – developed based on accumulated experience in this area, including international cooperation, etc. The authors also show the basic directions of changes that the Kashubian Folk High School experiences during the period of 2001–2020. They were connected with new social, political and economic challenges that should be quickly faced with an effective educational offer meeting the expectations of the social environment of the institution, but also with the changes of ownership and legal situation of KFHS. Undoubtedly, a significant change was the emergence of a new leader in the educational institution presented in the sketch of the 1st of January 2018 and connected with it a certain remodeling of the vision of its functioning in the future. The article draws a picture of Kashubian Folk High School as a valuable entity of nonformal adult education institution, actively and effectively acting for educational support and development of rural (and small town) communities of Kashubian and Pomeranian regions, which has also gained recognition over the years that goes well beyond the region in which it operates.Artykuł stanowi próbę częściowego podsumowania ostatnich dwóch dekad funkcjonowania Kaszubskiego Uniwersytetu Ludowego (KUL) w Wieżycy koło Szymbarku. Czteroosobowy zespół autorski, związany z tą placówką pozaformalnej edukacji dorosłych, stara się wyłowić z bogatej i wielowątkowej działalności tej instytucji te komponenty, które występują w niej w sposób ciągły w całym okresie XXI wieku, stanowiąc de facto o jej tożsamości. Do takich aspektów „długiego trwania” zaliczają oni: podstawy ideowe i aksjologiczne, bazę, środowisko lokalne i region, elementy metodyczno-programowe zarówno te grundtvigiańskie – wypracowane w łonie wszystkich uniwersytetów ludowych (UL) na bazie koncepcji „szkoły dla życia”, jak i te swoiste, właściwe własnemu środowisku edukacyjnemu – wypracowane na bazie kumulowania własnych doświadczeń w tym zakresie, współpracę międzynarodową itp. Autorzy ukazują też podstawowe kierunki zmian, jakich Kaszubski Uniwersytet Ludowy doświadczył w latach 2001–2020. Związane one były z nowymi wyzwaniami społecznymi, politycznymi i gospodarczymi, na które należało szybko odpowiedzieć skuteczną ofertą edukacyjną wychodzącą naprzeciw oczekiwaniom otoczenia społecznego placówki, ale też ze zmianą stosunków własnościowych i sytuacji prawnej KUL-u. Niewątpliwie istotną zmianą było pojawienie się 1 stycznia 2018 roku w przedstawianej w szkicu placówce nowego lidera i wiążące się z tym pewne przemodelowanie wizji jej funkcjonowania w przyszłości. Z artykułu wyłania się obraz Kaszubskiego Uniwersytetu Ludowego jako wartościowego podmiotu pozaformalnej edukacji dorosłych, aktywnie i skutecznie działającego na rzecz edukacyjnego wsparcia i  rozwoju społeczności wiejskich (i  małomiasteczkowych) Kaszub i Pomorza. Przez lata zdobył on uznanie dalece wykraczające poza region, w którym prowadzi swoją działalność

Extremal properties of one-dimensional Cauchy- type measures

In the paper we investigate some extremal properties of intervals for the one-dimensional Cauchy measure, related to isoperimetric inequalities. We also consider the analogous properties for the onedimensional sections of the multidimensional isotropic Cauchy measure. In particular, among intervals with the fixed measure we find the ones with the extremal measure of the boundary. It turns out that, contrary to the Gaussian case, the type of extremal set depends on the value of the measure.In the paper we investigate some extremal properties of intervals for the one-dimensional Cauchy measure, related to isoperimetric inequalities. We also consider the analogous properties for the onedimensional sections of the multidimensional isotropic Cauchy measure. In particular, among intervals with the fixed measure we find the ones with the extremal measure of the boundary. It turns out that, contrary to the Gaussian case, the type of extremal set depends on the value of the measure