American Options with Stochastic Dividends and Volatility: A Nonparametric Investigation

In this paper, we consider American option contracts when the underlying asset has stochastic dividends and stochastic volatility. We provide a full discussion of the theoretical foundations of American option valuation and exercise boundaries. We show how they depend on the various sources of uncertainty which drive dividend rates and volatility, and derive equilibrium asset prices, derivative prices and optimal exercise boundaries in a general equilibrium model. The theoretical models yield fairly complex expressions which are difficult to estimate. We therefore adopt a nonparametric approach which enables us to investigate reduced forms. Indeed, we use nonparametric methods to estimate call prices and exercise boundaries conditional on dividends and volatility. Since the latter is a latent process, we propose several approaches, notably using EGARCH filtered estimates, implied and historical volatilities. The nonparametric approach allows us to test whether call prices and exercise decisions are primarily driven by dividends, as has been advocated by Harvey and Whaley (1992a,b) and Fleming and Whaley (1994) for the OEX contract, or whether stochastic volatility complements dividend uncertainty. We find that dividends alone do not account for all aspects of call option pricing and exercise decisions, suggesting a need to include stochastic volatility. Cet article examine les contrats optionnels de type américain lorsque l'actif sous-jacent paie des dividendes et a une volatilité stochastiques. Nous présentons une discussion complète des fondations théoriques de l'évaluation des options américaines et de leurs frontières d'exercice. Nous démontrons leur dépendance par rapport aux diverses sources d'incertitude qui déterminent le taux de dividendes et la volatilité, et dérivons les prix d'équilibre des actifs, titres dérivés ainsi que les politiques optimales d'exercice dans un modèle d'équilibre général. Les modèles théoriques conduisent à des expressions complexes qui sont difficiles à estimer. C'est pourquoi nous adoptons une approche non-paramétrique qui permet d'examiner des formes réduites. Nous utilisons des méthodes non-paramétriques pour estimer les prix d'options à l'achat et les frontières d'exercice conditionnelles aux dividendes et à la volatilité. Puisque cette dernière est un processus latent nous proposons plusieurs approches, fondées en particulier sur des estimateurs-filtres EGARCH, des volatilités implicites et historiques. L'approche non-paramétrique nous permet de tester si les prix d'options et les décisions d'exercice sont principalement déterminés par les dividendes, comme suggéré par Harvey et Whaley (1992a, b) et Fleming et Whaley (1994) pour le contrat OEX, ou si la volatilité stochastique complémente l'incertitude sur les dividendes. Nous établissons que les dividendes seuls ne rendent pas compte de tous les aspects de l'évaluation de ces options et des décisions d'exercice, ce qui suggère la nécessité d'inclure la volatilité stochastique.Option Pricing, Derivative Securities, OEX Contract, Kernel Estimation, Prix d'options, titres dérivés, contrat OEX, estimation par méthode de noyau

Nonparametric Estimation of American Options Exercise Boundaries and Call Prices

Unlike European-type derivative securities, there are no simple analytic valuation formulas for American options, even when the underlying asset price has constant volatility. The early exercise feature considerably complicates the valuation of American contracts. The strategy taken in this paper is to rely on nonparametric statistical methods using market data to estimate the call prices and the exercise boundaries. The paper focuses on the daily market option prices and exercise data on the S&P100 contract. A comparison is made with parametric constant volatility model-based prices and exercise boundaries. We find large discrepancies between the parametric and nonparametric call prices and exercise boundaries. Contrairement à ce qu'il est possible d'obtenir dans un contexte d'évaluation de titres dérivés de type européen, il n'existe pas de formule analytique simple pour évaluer les options américaines, même si la volatilité de l'actif sous-jacent est supposée constante. La possibilité d'exercice prématuré qu'offre ce type de contrat complique considérablement son évaluation. La démarche adoptée dans cette étude consiste à dériver les prix d'option et les frontières d'exercice à partir de données financières, utilisées dans un cadre d'analyse statistique non-paramétrique. Plus particulièrement, l'étude utilise les observations quotidiennes du prix du contrat sur l'indice S&P100 ainsi que les observations sur l'exercice de ce contrat. Les résultats sont comparés à ceux obtenus à l'aide de techniques paramétriques dans un modèle où la volatilité est supposée constante. La conclusion est qu'il existe des différences stratégiques entre les prédictions des deux modèles, aussi bien en ce qui concerne le prix de l'option que la politique d'exercice qui lui est associée.Option Pricing, Derivative Securities, OEX Contract, Kernel Estimation, Prix d'options, titres dérivés, contrat OEX, estimation par méthode de noyau

American Options on Dividend-Paying Assets

We provide a comprehensive treatment of option pricing with particular emphasis on the valuation of American options on dividend-paying essets. We begin by reviewing valuation principles for European contingent claims in a financial market in which the underlying asset price follows an Itô process and the interest rate is stochastic. Then this anlysis is extended to the valuation of American contingent claims. In particular, the early exercise premium and the delayed exercise premium representations of the American option price are presented. These results are specialized in the case of the standard market model, i.e., when the underlying asset price follows a geometric Brownian motion process and the interest rate is constant. American capped options with constant and growing caps are then analyzed. Valuation formulas are first provided for capped options on dividend-paying assets in the context of the standard market model. Previously unpublished results are then presented for capped options on nodividend-paying assets when the underlying asset price follows an Itô process with stochastic volatility and the cap's growth rate is an adapted stochastic process. Nous présentons un traitement compréhensif de l'évaluation des options américaines sur des actifs qui payent des dividendes. Nous passons tout d'abord en revue les principes d'évaluation de titres contingents européens dans le cadre d'un marché financier dans lequel le prix des actifs sous-jacents suit des processus d'Itô et le taux d'intérêt est stochastique. L'analyse est ensuite généralisée à l'évaluation des titres contingents américains. Nous présentons, en particulier, les représentations de prime d'exercice prématuré et de prime d'exercice délayé, du prix de l'option américaine. Ces résultats sont spécialisés au cas du modèle de marché standard, c'est-à-dire lorsque le prix de l'actif sous-jacent suit un mouvement Brownien géométrique et le taux d'intérêt est constant. Les options américaines plafonnées, avec plafond constant ou croissant, sont ensuite analysées. Des formules d'évaluation sont tout d'abord présentées pour les options plafonnées sur des actifs à dividendes dans le contexte du modèle standard. Des résultats nouveaux sont ensuite présentés pour les options plafonnées sur des actifs sans dividende lorsque le prix du sous-jacent suit un processus d'Itô à volatilité stochastique et le taux de croissance du plafond est un processus stochastique adapté.American Options, Optimal Exercise, Exercise Premium, Valuation Principles, Dividends, Capped Options, Stochastic Volatility, Stochastic Interest Rate, options américaines, exercice optimal, prime d'exercice, principes d'évaluation, dividendes, options plafonnées, volatilité stochastique, taux d'intérêt stochastique

Recent Advances in Numerical Methods for Pricing Derivative Securities

This paper provides a survey of recent numerical methods for pricing derivative securities. Methods for standard American options on a single underlying asset, barrier and lookback options and options on multiple assets are reviewed. Criteria for comparison of different approaches are discussed. New computational results are also presented. Cet article présente une synthèse des méthodes numériques récentes utilisées pour l'évaluation des titres dérivés. Des méthodes qui s'appliquent aux options américaines standard sur actif sous-jacent unique, aux options avec barrières (barrier options) et rétroactives (lookback options), ainsi qu'aux options sur actifs multiples, sont passées en revue. Des critères de comparaison des diverses approches sont discutés. De nouveaux résultats numériques sont également présentés.Numerical Methods, American Options, Barrier Options, Lookback Options, Criteria for Comparison, Méthodes numériques, options américaines, options avec barrières, options rétroactives, critères de comparaison

American Options with Stochastic Dividends and Volatility: A Nonparametric Investigation

Cet article examine les contrats optionnels de type américain lorsque l'actif sous-jacent paie des dividendes et a une volatilité stochastiques. Nous présentons une discussion complète des fondations théoriques de l'évaluation des options américaines et de leurs frontières d'exercice. Nous démontrons leur dépendance par rapport aux diverses sources d'incertitude qui déterminent le taux de dividendes et la volatilité, et dérivons les prix d'équilibre des actifs, titres dérivés ainsi que les politiques optimales d'exercice dans un modèle d'équilibre général. Les modèles théoriques conduisent à des expressions complexes qui sont difficiles à estimer. C'est pourquoi nous adoptons une approche non-paramétrique qui permet d'examiner des formes réduites. Nous utilisons des méthodes non-paramétriques pour estimer les prix d'options à l'achat et les frontières d'exercice conditionnelles aux dividendes et à la volatilité. Puisque cette dernière est un processus latent nous proposons plusieurs approches, fondées en particulier sur des estimateurs-filtres EGARCH, des volatilités implicites et historiques. L'approche non-paramétrique nous permet de tester si les prix d'options et les décisions d'exercice sont principalement déterminés par les dividendes, comme suggéré par Harvey et Whaley (1992a, b) et Fleming et Whaley (1994) pour le contrat OEX, ou si la volatilité stochastique complémente l'incertitude sur les dividendes. Nous établissons que les dividendes seuls ne rendent pas compte de tous les aspects de l'évaluation de ces options et des décisions d'exercice, ce qui suggère la nécessité d'inclure la volatilité stochastique.In this paper, we consider American option contracts when the underlying asset has stochastic dividends and stochastic volatility. We provide a full discussion of the theoretical foundations of American option valuation and exercise boundaries. We show how they depend on the various sources of uncertainty which drive dividend rates and volatility, and derive equilibrium asset prices, derivative prices and optimal exercise boundaries in a general equilibrium model. The theoretical models yield fairly complex expressions which are difficult to estimate. We therefore adopt a nonparametric approach which enables us to investigate reduced forms. Indeed, we use nonparametric methods to estimate call prices and exercise boundaries conditional on dividends and volatility. Since the latter is a latent process, we propose several approaches, notably using EGARCH filtered estimates, implied and historical volatilities. The nonparametric approach allows us to test whether call prices and exercise decisions are primarily driven by dividends, as has been advocated by Harvey and Whaley (1992a,b) and Fleming and Whaley (1994) for the OEX contract, or whether stochastic volatility complements dividend uncertainty. We find that dividends alone do not account for all aspects of call option pricing and exercise decisions, suggesting a need to include stochastic volatility

Pricing and Hedging Volatility Derivatives

Abstract This paper studies the pricing and hedging of variance swaps and other volatility derivatives, including volatility swaps and variance options, in the Heston stochastic volatility model. Pricing and hedging results are derived using partial differential equation techniques. We formulate an optimization problem to determine the number of options required to best hedge a variance swap. We propose a method to dynamically hedge volatility derivatives using variance swaps and a finite number of European call and put options

The Valuation of American Options on Multiple Assets

In this paper we provide valuation formulas for several types of American options on two or more assets. Our contribution is twofold. First we characterize the optimal exercises regions and provide valuation formulas for a number of American option contracts on multiple underlying assets with convex payoff functions. Examples include options on the maximum of two assets, dual strike options, spread options, exchange options, options on the product and powers of the product, and option on the arithmetic average of two assets. Second, we also consider a class of contracts with nonconvex payoffs, such as American capped exchange options. For this option we explicitly identify the optimal exercise boundary and provide a decomposition of the price in terms of capped exchange option with automatic exercise at the cap and an early exercise premium involving the benefits of exercising prior to reaching the cap. Beside generalizing the current literature on American option valuation our analysis also has implications for the macroeconomic theory of investment under uncertainty. A specialization of one of our models also provides a new representation formula for an American capped option on a single underlying asset. Dans cet article nous établissons des formules d'évaluation pour un ensemble d'options américaines sur deux ou plus actifs sous-jacents. Notre contribution est de deux ordres. En premier lieu nous caractérisons la région d'exercice optimale et établissons des formules d'évaluation pour un nombre de contrats d'options américaines à actifs multiples sous-jacents et à fonctions de gains convexes. Des exemples incluent les options sur le maximum de deux actifs, les options à double prix d'exercice, les options sur différentiels, les options d'échange, les options sur le produit et les puissances du produit, et les options sur la moyenne arithmétique de deux actifs. En deuxième lieu, nous considérons également une classe de contrats à gains non-convexes tels que les options d'échange américaines avec plafond. Pour cette option nous identifions de manière explicite la frontière d'exercice optimale et nous établissons une décomposition en termes d'une option d'échange avec plafond avec exercice automatique lorsque le plafond est atteint et d'une prime d'exercice prématuré qui dépend des bénéfices réalisés lorsque l'exercice précède l'atteinte du plafond. Outre la généralisation de la littérature présente sur l'évaluation des options américaines, notre analyse a également des conséquences pour la théorie macro-économique de l'investissement dans l'incertain. Une spécialisation d'un de nos modèles constitue également une nouvelle formule de représentation pour une option américaine avec plafond sur un actif sous-jacent unique.Option valuation; Underlying assets ; Capped exchange options, Évaluation d'options ; Actifs sous-jacents ; Options avec plafond

American Capped Call Options on Dividend Paying Assets

This paper addresses the problem of valuing American call options with caps on dividend paying assets. Since early exercise is allowed, the valuation problem requires the determination of optimal exercise policies. Options with two types of caps are analyzed: constant caps and caps with a constant growth rate. For constant caps the optimal exercise policy is to exercise at the first time at which the underlying asset's price equals or exceeds the minimum of the cap and the optimal exercise boundary for the corresponding uncapped option. For caps that grow at a constant rate the optimal exercise strategy can be specified by three endogeneous parameters. La présente étude a pour objet la valorisation des options d'achat américaines avec plafonds sur les actifs générateurs de dividendes. Comme le détenteur de l'option peut l'exercer avant l'expiration, la solution au problème de valorisation exige la détermination des politiques d'exercice optimales. Deux types de plafonds sont envisagés : les plafonds constants et les plafonds dotés d'un taux de croissance constant. Lorsque le plafond est constant, la politique optimale consiste à exercer l'option dès que le prix de l'actif sous-jacent est égal ou supérieur au minimum du plafond et de la frontière d'exercice optimale de l'option non plafonnée correspondante. Lorsque le plafond croît à un taux constant, la stratégie d'exercice optimale peut être spécifiée à partir de trois paramètres endogènes.Call options; Dividend paying assets, Options d'achat ; Actifs générateurs de dividendes

American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods

In this paper we provide lower and upper bounds on the prices of American call and put options written on a dividend paying asset. Based on the bounds, we provide two option price approximations. Our second approximation, which uses both lower and upper bound information, has an average accuracy comparable to a 1000-step binomial tree with a computation speed comparable to a 50-step binomial tree. Put another way, our second approximation is 6 times more accurate than a 200-step binomial tree and is about 15 times faster than a 200-step binomial tree. Furthermore, the approximations are sufficiently simple that they can be computed in a spreadsheet. In addition, we conduct a careful large-scale evaluation of many recent methods for computing American option prices. Comparisons are made on the basis of accuracy and speed of computation and lead to some surprising results. Dans cet article nous proposons des bornes inférieures et supérieures sur les prix d'options américaines à l'achat et à la vente. Sur la base de ces bornes nous proposons deux approximations du prix de l'option. Notre deuxième approximation qui utilise à la fois l'information sur la borne inférieure et supérieure a une précision moyenne comparable à un arbre binomial de 1000 pas avec une vitesse de calcul comparable à un arbre binomial de 50 pas. En d'autre termes notre deuxième approximation est 6 fois plus précise qu'un arbre binomial à 200 pas et est 15 fois plus rapide qu'un arbre binomial à 200 pas. De plus les approximations sont suffisamment simple pour être calculées dans un tableur (spreadsheet). En outre, nous effectuons une évaluation soigneuse et sur grande échelle des nombreuses méthodes numériques qui ont été proposées récemment pour calculer les prix des options américaines. Ces comparaisons sont faites sur la base de la précision et de la vitesse de calcul et conduisent à certains résultats surprenant.Option price approximations, Approximations du prix de l'option

Connecting discrete and continuous path-dependent options

This paper develops methods for relating the prices of discrete- and continuous-time versions of path-dependent options sensitive to extremal values of the underlying asset, including lookback, barrier, and hindsight options. The relationships take the form of correction terms that can be interpreted as shifting a barrier, a strike, or an extremal price. These correction terms enable us to use closed-form solutions for continuous option prices to approximate their discrete counterparts. We also develop discrete-time discrete-state lattice methods for determining accurate prices of discrete and continuous path-dependent options. In several cases, the lattice methods use correction terms based on the connection between discrete- and continuous-time prices which dramatically improve convergence to the accurate price.Peer Reviewedhttp://deepblue.lib.umich.edu/bitstream/2027.42/42332/1/780-3-1-55_90030055.pd