A necessary condition for lower semicontinuity of line energies

We are interested in some energy functionals concentrated on the discontinuity lines of divergence-free 2D vector fields valued in the circle $\mathbb{S}^1$. This kind of energy has been introduced first by P. Aviles and Y. Giga. They show in particular that, with the cubic cost function $f(t)=t^3$, this energy is lower semicontinuous. In this paper, we construct a counter-example which excludes the lower semicontinuity of line energies for cost functions of the form $t^p$ with $0<p<1$. We also show that, in this case, the viscosity solution corresponding to a certain convex domain is not a minimizer.Comment: 13 page

Vortex, entropies et énergies de ligne en micromagnétisme

This thesis is motivated by mathematical questions arising from micromagnetism. One would say that a central topic of this thesis is curl-free vector fields taking value into the sphere. Such fields naturally arise as minimizers of micromagnetic-type energies. The first part of this thesis is motivated by the following question : can we find a kinetic formulation caracterizing curl-free vector fields taking value into the sphere in dimension greater than 2 ? Such a formulation has been found in two dimension by Jabin, Otto and Perthame in [Jabin_Otto_Perthame_Line_energy_2002]. De Lellis and Ignat used this formulation in [DeLellis_Ignat_Regularizing_2014] to caracterize curl-free vector fields taking value into the sphere with a given regularity. The main result of this part is the generalization of their kinetic formulation in any dimension and the proof that if d≻2, this formulation caracterizes only constant vector fields and vorteces, i. e. vector fields of the form ± {x-P}/{|x-P|}. The second part of this thesis is devoted to a generalization of the notion of entropy, which plays a key role in the article of De Lellis and Ignat we talked about above. We give a definition of entropy in any dimension, and prove properties quite similar to those enjoyed by the classical two-dimensional entropy. The third part of this thesis, which is the result of a joint work with Antonin Monteil, is about the study of an Aviles-Giga type energy. The main point of this part is a necessary condition for such an energy to be lower semi continuous. We give in particular an example of energy of this type for which the viscosity solution of the eikonal equation is not a minimizer. The last part, finally is devoted to the study of a Ginzburg-Landau type energy where we replace the boundary condition of the classical Ginzburg-Landau energy introduced by Béthuel, Brezis and Helein by a penalization within the energy at the critical scaling depending on a parameter. The core result of this part is the description of the asymptotic of the minimal energy, which, depending on the parameter, favorizes vortices-like configuration like in the classical Ginzburg-Landau case, or configurations singular along a line.Cette thèse traite de questions mathématiques posées par des problèmes issus du micromagnétisme ; un thème central en est les champs de vecteur de rotationnel nul et de norme 1, qu'on voit naturellement apparaître comme configurations minimisant des énergies micromagnétiques. Le premier chapitre est motivé par la question suivante : peut-on, en dimension plus grande que deux, caractériser les champs de vecteur de rotationnel nul et de norme 1 par une formulation cinétique ?Une telle formulation a d'abord été introduite en dimension 2 dans l'article [Jabin_Otto_Perthame_Line_energy_2002] de Jabin, Otto et Perthame où elle apparaît naturellement dans le cadre de la minimisation d'une énergie de type Ginzburg-Landau. Ignat et De Lellis ont ensuite montré dans [DeLellis_Ignat_Regularizing_2014] qu'une telle formulation cinétique caractérise les champs de rotationnel nul et de norme 1 possédant une certaine régularité en dimension 2. Le premier chapitre de cette thèse est consacré à l'étude d'une formulation cinétique similaire en dimension quelconque ; le résultat principal en est qu'en dimension strictement plus grande que 2, cette fomulation cinétique ne caractérise non plus tous les champs de rotationnel nul et de norme 1, mais seulement les champs constants ou les vortex. La caractérsation cinétique des champs de vecteur de rotationnel nul et de norme 1 en dimension 2, prouvée par De Lellis et Ignat et que nous venons de mentionner reposait sur la notion d'entropie. Ayant obtenu une formulation cinétique en dimension quelconque, il était naturel de vouloir l'exploiter un tentant d'étendre également la notion d'entropie aux dimensions supérieures à 2. C'est ce à quoi est consacré le deuxième chapitre de cette thèse ; nous y définissons en particulier une notion d'entropie en dimension quelconque. Le point central en est la caractérisation de ces entropies par un système d'équations aux dérivées partielles, et leur description complète en dimension 3, ainsi que la preuve pour ces entropies de propriétés tout à fait semblables à celles des entropies deux dimensionnelles. Le troisième chapitre de cette thèse, qui expose les résultats d'un travail en collaboration avec Antonin Monteil, s'intéresse à la minimisation d'énergies de type Aviles-Giga de la forme I_f(m)=∫_{J(m)}f(|m⁺-m⁻|) où m est un champ de rotationnel nul et de norme 1 et où J(m) désigne les lignes de saut de m. Deux questions classiques se posent pour ce type d'énergie : la solution de viscosité de l'équation eikonale est-elle un minimiseur et l'énergie est-elle semi-continue inférieurement pour une certaine topologie. Le résutat principal de cette partie est un construction, qui nous permet en particulier de répondre par la négative à ces deux questions dans les cas où f(t)= t^p avec p ∈ ]0,1[ en donnant une condition nécessaire sur f pour que I_f soit semi-continue inférieurement. Enfin, le dernier chapitre de cette thèse est consacré à l'étude d'une variante de l'énergie de Ginzburg-Landau introduite par Béthuel, Brezis et Helein où on a remplacé la condition de bord par une pénalisation dépendant d'un paramètre. Nous y décrivons le comportement asymptotique de l'énergie minimale qui, suivant la valeur de ce paramètre, soit se comporte comme l'énergie de Ginzburg-Landau classique en privilégiant une configuration vortex, soit privilégie au contraire une configuration singulière suivant une ligne

A necessary condition for lower semicontinuity of line energies

Abstract We are interested in some energy functionals concentrated on the discontinuity lines of divergence-free 2D vector fields valued in the circle S 1 . This kind of energy has been introduced first by P. Aviles and Y. Giga i

Semaine d'Etude Mathématiques et Entreprises 4 : Planification optimale de production d'énergie sous contraintes technologiques

Ce papier est une synthèse de notre travail de recherche durant la quatrième SEME (Semaine d'Etudes pour les Mathématiques en Entreprise), à l'Institut Henri Poincaré. L'objectif était de trouver une méthode pour approcher au mieux une courbe de consommation d'énergie anticipée sous des contraintes technologiques (par exemple le fait que les machines mettent du temps à changer de niveau de productivité, ou mettent parfois un temps incompressible minimal à se relancer si elles ont arrêté de produire. Nous proposons deux approches complémentaires : la première est inspirée de la théorie du contrôle optimal et la seconde s'appuie sur l'analyse convexe

Semaine d'Etude Mathématiques et Entreprises 2 : Analyse multivariées pour la production d'aluminium

Ce rapport présente l'étude statistique, menée au cours de la deuxième Semaine d'Étude Maths-Entreprises, d'un problème industriel rencontré par Rio Tinto Alcan. Productrice d'aluminium par électrolyse, cette entreprise cherche à expliquer des fluctuations de procédé. À partir d'un ensemble de mesures sur les anodes et sur les cuves à électrolyse, nous proposons d'utiliser des méthodes d'analyse multivariée pour construire des modèles explicatifs. Le but étant de permettre aux usines d'éviter les périodes avec des fluctuations. Dans une première section, nous présentons le problème et ses enjeux. Nous détaillons dans les sections suivantes les différentes méthodes explorées et les résultats obtenus : l'analyse du coefficient de corré- lation en présence d'un déphasage et l'auto-corrélation, l'analyse en composantes principales, les arbres de décisions, le clustering et la régression linéaire. Des résultats complémentaires sont donnés en annexe

Vortices, entropies and line-energies in micromagnetism

Cette thèse traite de questions mathématiques posées par des problèmes issus du micromagnétisme ; un thème central en est les champs de vecteur de rotationnel nul et de norme 1, qu'on voit naturellement apparaître comme configurations minimisant des énergies micromagnétiques. Le premier chapitre est motivé par la question suivante : peut-on, en dimension plus grande que deux, caractériser les champs de vecteur de rotationnel nul et de norme 1 par une formulation cinétique ?Une telle formulation a d'abord été introduite en dimension 2 dans l'article [Jabin_Otto_Perthame_Line_energy_2002] de Jabin, Otto et Perthame où elle apparaît naturellement dans le cadre de la minimisation d'une énergie de type Ginzburg-Landau. Ignat et De Lellis ont ensuite montré dans [DeLellis_Ignat_Regularizing_2014] qu'une telle formulation cinétique caractérise les champs de rotationnel nul et de norme 1 possédant une certaine régularité en dimension 2. Le premier chapitre de cette thèse est consacré à l'étude d'une formulation cinétique similaire en dimension quelconque ; le résultat principal en est qu'en dimension strictement plus grande que 2, cette fomulation cinétique ne caractérise non plus tous les champs de rotationnel nul et de norme 1, mais seulement les champs constants ou les vortex. La caractérsation cinétique des champs de vecteur de rotationnel nul et de norme 1 en dimension 2, prouvée par De Lellis et Ignat et que nous venons de mentionner reposait sur la notion d'entropie. Ayant obtenu une formulation cinétique en dimension quelconque, il était naturel de vouloir l'exploiter un tentant d'étendre également la notion d'entropie aux dimensions supérieures à 2. C'est ce à quoi est consacré le deuxième chapitre de cette thèse ; nous y définissons en particulier une notion d'entropie en dimension quelconque. Le point central en est la caractérisation de ces entropies par un système d'équations aux dérivées partielles, et leur description complète en dimension 3, ainsi que la preuve pour ces entropies de propriétés tout à fait semblables à celles des entropies deux dimensionnelles. Le troisième chapitre de cette thèse, qui expose les résultats d'un travail en collaboration avec Antonin Monteil, s'intéresse à la minimisation d'énergies de type Aviles-Giga de la forme I_f(m)=∫_{J(m)}f(|m⁺-m⁻|) où m est un champ de rotationnel nul et de norme 1 et où J(m) désigne les lignes de saut de m. Deux questions classiques se posent pour ce type d'énergie : la solution de viscosité de l'équation eikonale est-elle un minimiseur et l'énergie est-elle semi-continue inférieurement pour une certaine topologie. Le résutat principal de cette partie est un construction, qui nous permet en particulier de répondre par la négative à ces deux questions dans les cas où f(t)= t^p avec p ∈ ]0,1[ en donnant une condition nécessaire sur f pour que I_f soit semi-continue inférieurement. Enfin, le dernier chapitre de cette thèse est consacré à l'étude d'une variante de l'énergie de Ginzburg-Landau introduite par Béthuel, Brezis et Helein où on a remplacé la condition de bord par une pénalisation dépendant d'un paramètre. Nous y décrivons le comportement asymptotique de l'énergie minimale qui, suivant la valeur de ce paramètre, soit se comporte comme l'énergie de Ginzburg-Landau classique en privilégiant une configuration vortex, soit privilégie au contraire une configuration singulière suivant une ligne.This thesis is motivated by mathematical questions arising from micromagnetism. One would say that a central topic of this thesis is curl-free vector fields taking value into the sphere. Such fields naturally arise as minimizers of micromagnetic-type energies. The first part of this thesis is motivated by the following question : can we find a kinetic formulation caracterizing curl-free vector fields taking value into the sphere in dimension greater than 2 ? Such a formulation has been found in two dimension by Jabin, Otto and Perthame in [Jabin_Otto_Perthame_Line_energy_2002]. De Lellis and Ignat used this formulation in [DeLellis_Ignat_Regularizing_2014] to caracterize curl-free vector fields taking value into the sphere with a given regularity. The main result of this part is the generalization of their kinetic formulation in any dimension and the proof that if d≻2, this formulation caracterizes only constant vector fields and vorteces, i. e. vector fields of the form ± {x-P}/{|x-P|}. The second part of this thesis is devoted to a generalization of the notion of entropy, which plays a key role in the article of De Lellis and Ignat we talked about above. We give a definition of entropy in any dimension, and prove properties quite similar to those enjoyed by the classical two-dimensional entropy. The third part of this thesis, which is the result of a joint work with Antonin Monteil, is about the study of an Aviles-Giga type energy. The main point of this part is a necessary condition for such an energy to be lower semi continuous. We give in particular an example of energy of this type for which the viscosity solution of the eikonal equation is not a minimizer. The last part, finally is devoted to the study of a Ginzburg-Landau type energy where we replace the boundary condition of the classical Ginzburg-Landau energy introduced by Béthuel, Brezis and Helein by a penalization within the energy at the critical scaling depending on a parameter. The core result of this part is the description of the asymptotic of the minimal energy, which, depending on the parameter, favorizes vortices-like configuration like in the classical Ginzburg-Landau case, or configurations singular along a line

Kinetic formulation of vortex vector fields

International audienceThis article focuses on gradient vector fields of unit Euclidean norm in $\mathbb{R}^N$ . The stream functions associated to such vector fields solve the eikonal equation and the prototype is given by the distance function to a closed set. We introduce a kinetic formulation that characterizes stream functions whose level sets are either spheres or hyperplanes in dimension $N \geq 3$. Our main result proves that the kinetic formulation is a selection principle for the vortex vector field whose stream function is the distance function to a point

A kinetic selection principle for curl-free vector fields of unit norm

International audienceThis article is devoted to the generalization of results obtained in 2002 by Jabin, Otto and Perthame. In their article they proved that planar vector fields taking value into the unit sphere of the euclidean norm and satisfying a given kinetic equation are locally Lipschitz. Here, we study the same question replacing the unit sphere of the euclidean norm by the unit sphere of any norm. Under natural assumptions on the norm, namely smoothness and a qualitative convexity property, that is to be of power type p, we prove that planar vector fields taking value into the unit sphere of such a norm and satisfying a certain kinetic equation are locally 1/(p−1)-Hölder continuous. Furthermore we completely describe the behaviour of such a vector field around singular points as a vortex associated to the norm. As our kinetic equation implies for the vector field to be curl-free, this can be seen as a selection principle for curl-free vector fields valued in spheres of general norms which rules out line-like singularities

A kinetic selection principle for curl-free vector fields of unit norm

International audienceThis article is devoted to the generalization of results obtained in 2002 by Jabin, Otto and Perthame. In their article they proved that planar vector fields taking value into the unit sphere of the euclidean norm and satisfying a given kinetic equation are locally Lipschitz. Here, we study the same question replacing the unit sphere of the euclidean norm by the unit sphere of any norm. Under natural assumptions on the norm, namely smoothness and a qualitative convexity property, that is to be of power type p, we prove that planar vector fields taking value into the unit sphere of such a norm and satisfying a certain kinetic equation are locally 1/(p−1)-Hölder continuous. Furthermore we completely describe the behaviour of such a vector field around singular points as a vortex associated to the norm. As our kinetic equation implies for the vector field to be curl-free, this can be seen as a selection principle for curl-free vector fields valued in spheres of general norms which rules out line-like singularities

Semaine d'Etude Mathématiques et Entreprises 1 : Deux problèmes sur les parcs solaires.

Le premier problème consiste à étudier le placement quasi-optimal de parcs de panneaux solaires dans une région géographique définie. Si on suppose que la puissance d'un parc est directement proportionnelle à sa surface, on voudra maximiser la somme des surfaces des parcs. Néanmoins, la construction de tels parcs solaires est souvent soumise à des contraintes légales portant sur la puissance maximale de chaque parc et sur la distance entre deux parcs. Les idées proposées dans ce rapport tiendront donc compte de ces contraintes. Le deuxième problème concerne les outils de stockage pour l'optimisation de la vente d'énergie solaire. On suppose que l'on dispose d'un parc de panneaux solaires produisant une certaine puissance électrique en fonction de l'ensoleillement. A chaque instant on peut décider de vendre la totalité de la production au prix courant, ou bien d'en stocker une partie, ce qui occasionne un surcoût, mais peut permettre de différer la vente pour viser un meilleur prix. L'objectif est de calculer le profit maximal que l'on peut réaliser sur une année en connaissant pour chaque heure le prix de vente sur le marché ainsi que l'ensoleillement