SPLINE DISCRETE DIFFERENTIAL FORMS AND A NEW FINITE DIFFERENCE DISCRETE HODGE OPERATOR

We construct a new set of discrete differential forms based on B-splines of arbitrary degree as well as an associated Hodge operator. The theory is first developed in 1D and then extended to multi-dimension using tensor products. We link our discrete differential forms with the theory of chains and cochains. The spline discrete differential forms are then applied to the numerical solution of Maxwell's equations

Finite Element Hodge for Spline Discrete Differential Forms. Application to the Vlasov-Poisson Equations.

The notion of B-spline based discrete differential forms is recalled and along with a Finite Element Hodge operator, it is used to design new numerical methods for solving the Vlasov-Poisson equations

GEOMETRIC TWO-SCALE CONVERGENCE ON MANIFOLD AND APPLICATIONS TO THE VLASOV EQUATION.

International audienceWe develop and we explain the two-scale convergence in the covariant formalism, i.e. using di erential forms on a Riemannian manifold. For that purpose, we consider two manifolds M and Y , the rst one contains the positions and the second one the oscillations. We establish some convergence results working on geodesics on a manifold. Then, we apply this framework on examples

Electromagnetic wave propagation and absorption in magnetised plasmas: variational formulations and domain decomposition

We consider a model for the propagation and absorption of electromagnetic waves (in the time-harmonic regime) in a magnetised plasma. We present a rigorous derivation of the model and several boundary conditions modelling wave injection into the plasma. Then we propose several variational formulations, mixed and non-mixed, and prove their well-posedness thanks to a theorem by S\'ebelin et~al. Finally, we propose a non-overlapping domain decomposition framework, show its well-posedness and equivalence with the one-domain formulation. These results appear strongly linked to the spectral properties of the plasma dielectric tensor

GEOMETRIC TWO-SCALE CONVERGENCE ON MANIFOLD AND APPLICATIONS TO THE VLASOV EQUATION.

International audienceWe develop and we explain the two-scale convergence in the covariant formalism, i.e. using di erential forms on a Riemannian manifold. For that purpose, we consider two manifolds M and Y , the rst one contains the positions and the second one the oscillations. We establish some convergence results working on geodesics on a manifold. Then, we apply this framework on examples

Spline discrete differential forms. Application to Maxwell' s equations.

We construct a new set of discrete differential forms based on B-splines of arbitrary degree as well as an associated Hodge operator. The theory is first developed in 1D and then extended to multi-dimension using tensor products. We link our discrete differential forms with the theory of chains and cochains. The spline discrete differential forms are then applied to the numerical solution of Maxwell's equations

An axisymmetric PIC code based on isogeometric analysis

International audienceIsogeometric analysis has been developed recently to use basis functions resulting from the CAO description of the computational domain for the finite element spaces. The goal of this study is to develop an axisymmetric Finite Element PIC code in which specific spline Finite Elements are used to solve the Maxwell equations and the same spline functions serve as shape function for the particles. The computational domain itself is defined using splines or NURBS

Semaine d'Etude Mathématiques et Entreprises 5 : Reconstruction de couches géologiques à partir de données discrètes

Ce rapport synthétise le travail de recherche mis en oeuvre durant la cinquième Semaine d'Etude Maths-Entreprises à l'Ecole des Mines de Nancy. Le sujet a été proposé par le consortium GOCAD: comment reconstituer efficacement le sous-sol terrestre à partir de données discrètes éparses ? Un état de l'art est d'abord effectué sur les différentes méthodes existantes : cokrigeage statistique (Calcagno et al., 2008), discrétisation numérique (Caumon et al., 2013) et modélisation physique entre deux horizons géologiques (Hjelle and Petersen, 2011). Ensuite, nous avons tenté d'adapter l'approche (Hjelle and Petersen, 2011) à notre problématique. Il s'agit de représenter chaque couche géologique par les points d'annulation d'une fonction dont l'évolution est gérée par une loi qui contient les informations connues et permettra la reconstitution in fine du sous-sol. Finalement, on effectue la résolution numérique de l'équation de Hamilton-Jacobi associée à cette loi de propagation, s'aidant de (Osher and Fedkiw, 2003). Par souci de simplicité et surtout par manque de temps, le modèle sera résolu numériquement en 2-D et sans failles

Theorical and numerical study for the Vlasov-Maxwell equations in the covariant formalism

Un nouveau point de vue est proposé pour la simulation des plasmas utilisant le modèle cinétique qui couple les équations de Vlasov pour la distribution des particules et les équations de Maxwell pour la contribution des champs électromagnétique. On partA new point of view is proposed for the simulation of plasmas using the kinetic model which couples the equations of Vlasov for the distribution of particles and the equations of Maxwell for the electromagnetic contribution of fields. We use the followin

Theorical and numerical study for the Vlasov-Maxwell equations in the covariant formalism

Un nouveau point de vue est proposé pour la simulation des plasmas utilisant le modèle cinétique qui couple les équations de Vlasov pour la distribution des particules et les équations de Maxwell pour la contribution des champs électromagnétique. On part du principe que les équations de la Physique sont des objets mathématiques qui mettent en relation des objets géométriques. Afin de conserver les propriétés géométriques des différents objets intervenant dans une équation, on utilise, pour l'étude théorique et numérique, la géométrie différentielle. Il s'avère que toutes les équations de la Physique peuvent s'écrire à l'aide des formes différentielles et que sous ce point de vue celles-ci sont indépendantes du choix des coordonnées. On propose alors une discrétisation des formes différentielles en utilisant les B-splines comme fonctions d'interpolation. Afin d'être cohérent avec la théorie, on proposera également une discrétisation des différentes opérations de la géométrie différentielle agissant sur les formes différentielles. On teste notre schéma tout d'abord sur les équations de Maxwell avec plusieurs conditions aux bords et puisque ce schéma numérique obtenu est indépendant du système de coordonnées, on le teste également lorsque l'on effectue un changement de coordonnées. Enfin, on applique la même méthode sur les équations de Vlasov-Poisson 1D et on propose plusieurs schémas numériques.A new point of view is proposed for the simulation of plasmas using the kinetic model which couples the equations of Vlasov for the distribution of particles and the equations of Maxwell for the electromagnetic contribution of fields. We use the following principle: the equations of the Physics are mathematical objects which put in relation of the geometrical objects. To preserve the geometrical properties of the various objects in an equation, we use, for the theoretical and numerical study, the differential geometry. All of the equations of the Physics can be write with differential forms and this point of view no dependent of the choice of coordinates. We propose then a discretization of the differential forms by using B-splines. To be coherent with the theory, we shall also propose a discretization of the various operations of the differential geometry. We test our scheme first of all on the equations of Maxwell with several conditions for the boundary and since it is independent of the system of coordinates, we also test it when we change coordinates. Finally, we apply the same method to the equations of Vlasov-Poisson 1D and we propose several numerical scheme